星凸形多擴展目標跟蹤中的傳感器控制方法

陳 輝 ，李國財，韓崇昭，杜金瑞

(1.蘭州理工大學(xué)電氣工程與信息工程學(xué)院，甘肅蘭州 730050;2.西安交通大學(xué)自動化科學(xué)與工程學(xué)院，陜西西安 710049)

1 引言

復(fù)雜的現(xiàn)代作戰(zhàn)環(huán)境必須配合以各種高精度傳感器作為智能感知設(shè)備，并借助傳感器的管理與優(yōu)化控制策略去進一步改善信息處理的質(zhì)量.多目標跟蹤(multi-target tracking，MTT)[1-4]中的傳感器控制是一個時變聯(lián)合決策與估計中的非線性控制問題，其核心任務(wù)是建立可參考并易于量化的目標函數(shù)，通過優(yōu)化目標函數(shù)選定或控制傳感器的工作方式及運行參數(shù)，最終使得對目標函數(shù)的評價(例如多目標跟蹤性能)達到最優(yōu).但在復(fù)雜不確定性環(huán)境下，涵蓋有目標不確定性和量測不確定性的MTT問題中做隨機決策解決傳感器控制問題仍面臨諸多挑戰(zhàn)[5-7].

近十幾年來，圍繞有限集統(tǒng)計(finite set statistics，F(xiàn)ISST)解決MTT問題已經(jīng)成為一種頗為有效的選擇，該方法的最大便利在于避免去處理復(fù)雜的不確定性數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)(data association)問題，實質(zhì)是將多目標的狀態(tài)和量測分別建模為隨機有限集(random finite set，RFS)，進而在多目標貝葉斯濾波框架下直接根據(jù)量測集遞推計算多目標的后驗概率密度.FISST解決MTT的便利，直接推動了傳感器管理技術(shù)的發(fā)展，尤其是在不區(qū)分個體目標，而需要在整體上優(yōu)化MTT性能的時候，F(xiàn)ISST可以發(fā)揮其得天獨厚的“集合優(yōu)勢”.相應(yīng)的，近幾年來以Ristic和Vo為代表的國內(nèi)外學(xué)者直接在FISST理論框架的推動下，提出了一些頗為有效的MTT中傳感器控制優(yōu)化決策的方案.例如，Ristic等人利用Rényi散度為評價函數(shù)，分別基于最優(yōu)多目標貝葉斯濾波器和SMC-PHD濾波器決策多目標跟蹤中的傳感器控制方案[8-9].隨后Hoang和Vo又借助多伯努利濾波器求解Rényi散度給出相應(yīng)的傳感器控制方法[10].之后陳輝等人以多模型多伯努利濾波器為基礎(chǔ)，利用巴氏距離提出機動多目標跟蹤中的傳感器控制策略[11].此外，Gostar等人基于最小化多目標后驗離差提出多目標跟蹤中的傳感器控制方案[12].

但是，傳統(tǒng)的MTT方法中都針對的是“點”目標，即假設(shè)每個采樣時刻每個目標只對應(yīng)一個傳感器量測，所以多目標跟蹤優(yōu)化的著眼點都集中于目標質(zhì)心運動狀態(tài)的估計.近些年，由于電子技術(shù)的發(fā)展，伴隨著許多高精度傳感器的應(yīng)用而生，目標每個時刻將會對應(yīng)多個傳感器量測，目標的量測信息呈現(xiàn)出一定的空間范圍，這樣的目標稱為擴展目標(extended target，ET).對于擴展目標跟蹤(extended target tracking，ETT)問題的研究在近幾年引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注，該方法最大的優(yōu)勢在于能夠估計目標的外圍輪廓(形狀)，而涵蓋有多目標形狀估計的多擴展目標跟蹤(multiple extended target tracking，METT)[13-15]問題的研究成為其研究的焦點.進一步的，為了提升多目標跟蹤性能，目標的跟蹤優(yōu)化不能再像傳統(tǒng)只優(yōu)化目標的質(zhì)心運動狀態(tài)，必須聯(lián)合考慮ET的形狀估計信息、傳感器量測信息和指揮系統(tǒng)的目標任務(wù)綜合制定決策控制方案對多目標跟蹤進行全面優(yōu)化.由于不能再遵循傳統(tǒng)MTT問題中目標與量測關(guān)聯(lián)指派的唯一性假設(shè)，這在很大程度上加劇了METT問題求解的難度，也進一步加劇了METT問題中求解傳感器控制問題的難度.而且，有限量測信息下構(gòu)建ET隨機時變的形狀觀測模型尚存在諸多的不確定性.針對復(fù)雜的跟蹤環(huán)境中規(guī)劃ET星凸形輪廓的量測源，Baum提出的星凸形隨機超曲面模型(random hypersurface model，RHM)[16-17]很好的解決了METT中星凸形不規(guī)則形狀的建模問題，該方法借助有限階傅里葉級數(shù)展開提取星凸形擴展目標的不規(guī)則輪廓形狀參數(shù)，再結(jié)合尺度因子縮放目標輪廓完成不規(guī)則形狀星凸形擴展目標量測源模型的建模.與此同時，近幾年基于FISST已經(jīng)出現(xiàn)了一些有效的多擴展目標濾波器[18-20]，由于可以將多擴展目標形狀信息和運動參數(shù)直接利用RFS進行描述，這就為METT傳感器控制的研究提供了極大的便利.

綜上所述，涵蓋有多擴展目標形狀估計的METT問題已成為基于現(xiàn)代高精度傳感器目標跟蹤技術(shù)的熱點，對帶有形狀信息在內(nèi)的狀態(tài)估計依據(jù)傳感器控制技術(shù)進行最大程度的優(yōu)化勢在必行.本文METT中的傳感器控制在部分可觀測馬爾可夫決策過程(partially observable Markov decision process，POMDP)[21]

的理論框架下進行.而與傳統(tǒng)MTT問題跟蹤優(yōu)化的不同在于，METT的跟蹤優(yōu)化需要考慮多目標的質(zhì)心運動狀態(tài)和多目標的隨機外圍輪廓(形狀)信息的聯(lián)合優(yōu)化.所以，本文的核心內(nèi)容和貢獻在于提出了METT中的傳感器控制方法.首先分析給出METT中基于信息論的傳感器控制方法.其次，利用RHM和擴展目標的泊松量測模型[22-23]聯(lián)合對星凸形ET的量測源進行建模，利用容積卡爾曼濾波器(cubature Kalman filter，CKF)[24]求解RHM的非線性偽量測方程，結(jié)合勢均衡多擴展目標多伯努利(cardinality balanced multiple extended target multi-Bernoulli，ETCBMeMBer)濾波算法，最終給出RHM容積卡爾曼高斯(Gaussian mixture，GM)混合ETCBMeMBer(RHM-CKGM-ETCBMeMBer)濾波器跟蹤多擴展目標.進一步的，利用高斯混合密度間的柯西施瓦茲(Cauchy-Schwarz，CS)散度[25]作為傳感器控制的評價函數(shù)，以信息增益最大化準則決策最優(yōu)傳感器控制方法.另外，本文還以擴展目標勢估計的后驗期望值(posterior expected mumber of extended targets，PENET)最大化為準則提出相應(yīng)的傳感器控制方法.最后，通過構(gòu)造不規(guī)則形狀多擴展目標跟蹤優(yōu)化的仿真實驗驗證文中所提傳感器控制方法的有效性.

2 問題描述

2.1 多擴展目標跟蹤中基于信息論的傳感器控制方法

本文在POMDP理論框架下，基于信息準則進行METT中傳感器控制方法的研究.POMDP理論框架下傳感器控制主要包含幾個關(guān)鍵要素，其中RFS框架下當前多擴展目標狀態(tài)信息的不確定性由當前時刻多擴展目標的后驗概率密度函數(shù)pk(Xk|Z1:k)表示，多擴展目標狀態(tài)集合可以表示為

m表示目標的個數(shù).基于RHM的擴展目標的狀態(tài)向量由運動狀態(tài)參數(shù)向量與形狀參數(shù)向量兩部分構(gòu)成，即k時刻第i個擴展目標的狀態(tài)向量可以表示為此外，通常利用Uk表示k時刻POMDP包含的可實現(xiàn)的傳感器的控制集合，每一個控制方案ν∈Uk決定了傳感器下一時刻的位置.而最為關(guān)鍵的要素是每個傳感器控制方案ν都需要建立傳感器控制優(yōu)化的評價函數(shù)R(ν).文中以多擴展目標先驗概率密度與后驗概率密度之間的信息散度作為多擴展目標跟蹤優(yōu)化的評價準則，進而決策出最優(yōu)的傳感器控制方案uk.

首先，表示傳感器控制質(zhì)量的評價函數(shù)為

其中:pk(Xk|Z1:k-1)，pk(Xk|Z1:k-1，Zk(ν))分別表示多擴展目標狀態(tài)的先驗與后驗概率密度函數(shù)，Zk(ν)表示包含控制方案ν的多擴展目標的預(yù)測理想量測集(predicted ideal measurement set，PIMS)，并且PIMS構(gòu)建需要結(jié)合具體擴展目標的量測源模型.然后，構(gòu)造目標函數(shù)去求解最優(yōu)的傳感器控制方案uk，即

2.2 星凸形隨機超曲面模型的描述

Baum提出的星凸形隨機超曲面模型是星凸形擴展目標的量測源模型，可以描述星凸形擴展目標的量測源隨機位置.該模型假設(shè)每個量測源是目標形狀邊界隨機縮放之后產(chǎn)生的隨機超曲面上的一個元素，因此星凸形RHM是一種量測集為超曲面的隨機集模型.下面將詳細分析給出利用星凸形RHM對本文研究對象星凸形ET的量測源建模過程.

其中形狀參數(shù)向量為

該形狀參數(shù)向量為目標狀態(tài)向量的重要組成部分，并為文中所提傳感器控制方法在形狀方面的優(yōu)化提供的了依據(jù).

即徑向函數(shù)可以表示為

其中:φk，l是未知的，通常用k時刻目標質(zhì)心位置的點估計值和量測之間的向量與x軸的夾角近似代替.進一步，式(9)可推導(dǎo)為如下偽量測方程:

利用式(10)不僅可以描述星凸形RHM的觀測模型，還可以利用它建立傳感器控制的PIMS，為多擴展目標的跟蹤優(yōu)化決策提供了基礎(chǔ).

3 基于RHM的多擴展目標跟蹤算法

基于RHM的容積卡爾曼GM勢均衡多擴展目標多伯努利跟蹤算法，其主要由預(yù)測步和更新步兩部分組成，具體的實現(xiàn)過程如下所示:

1) 預(yù)測步.

ET和點目標所對應(yīng)的量測數(shù)目不同，因此RHMCKGM-ETCBMeMBer算法和點目標CBMeMBer具有相同的預(yù)測步，即如果k-1時刻的多擴展目標后驗概率密度為多伯努利密度

可以看出式(12)由兩部分組成，其中:后一項表示k時刻新生目標的多伯努利參數(shù)，前一項為存活目標的多伯努利參數(shù)，并且概率密度函數(shù)可用高斯混合加權(quán)和的形式近似表示為

式(13)-(14)中:w(i，j)表示近似第i個伯努利RFS概率密度函數(shù)的第j個高斯分量的權(quán)值，μ(i，j)表示該分量的均值，P(i，j)為協(xié)方差矩陣.

2) 更新步.

如果每個ET每一時刻所產(chǎn)生的量測數(shù)目服從均值為γ的泊松分布，則結(jié)合文獻[23]提出的泊松似然模型就可以實現(xiàn)對多擴展目標概率密度函數(shù)的遞推更新.然而，泊松似然模型應(yīng)用于目標的一簇量測，因此在更新多擴展目標概率密度之前必須對量測集進行劃分，文中采用距離劃分(distance partitioning，DP)方法[26]進行量測集的劃分.下面將給出多擴展目標概率密度的量測更新過程.

量測更新部分為

式中:w?為每種量測集劃分?的權(quán)值，dW為每個劃分單元的權(quán)值，并且

式(18)中:λk為k 的雜波平均數(shù)，ck(z)為概率密度，為基于RHM的單個量測的似然函數(shù).由文獻[23]可知，如果每個擴展目標在采樣周期內(nèi)的量測數(shù)目服從均值為γ的泊松分布，那么(單)擴展目標的泊松似然函數(shù)為

其中φk(z)為量測所對應(yīng)的似然.進一步由文獻[20]多擴展目標多伯努利濾波器的高斯混合實現(xiàn)可知，式(18)是泊松似然模型在擴展目標跟蹤應(yīng)用的體現(xiàn).此外，概率密度函數(shù)可表示為

高斯混合中每個高斯分量對應(yīng)的權(quán)值為

首先，計算基本容積點ξi和對應(yīng)的權(quán)值wi，并依據(jù)ξi和k時刻每個高斯分量的預(yù)測均值以及協(xié)方差獲取容積點其中:

由三階容積原則可知nc表示容積點總數(shù)，且nc與狀態(tài)維數(shù)nx的關(guān)系為nc=2nx.其中，可通過對nx維單位向量e=[1 0··· 0]T的元素進行全排列和改變元素符號的方式得到式(21)中的完全對稱點集[1]，[1]i表示[1]中的第i個點.進一步，結(jié)合基本容積點ξi并通過下式計算容積點

最后，可得增益矩陣Kk=Pμz(Snz)-1，進一步結(jié)合偽量測0更新每個高斯分量的均值和協(xié)方差并計算似然函數(shù)

進而，更新計算式(17)-(20)的相關(guān)參數(shù).

4 多擴展目標跟蹤中傳感器控制方法

本節(jié)主要基于RHM 多擴展目標跟蹤算法研究METT 中的傳感器控制方法.由于而高斯混合分布間的CS散度明確存在閉式解[25]，這對基于高斯混合實現(xiàn)的多擴展目標濾波器的傳感器控制帶來了方法求解上的便利.首先，文中詳細給出基于CS散度的傳感器控制方法.然后推導(dǎo)GM-PENET的實現(xiàn)方式并給出基于該準則的傳感器控制方法.最后，詳細給出METT中上述兩種傳感器控制方法的實現(xiàn)偽碼.

4.1 基于柯西施瓦茲散度的多擴展目標跟蹤傳感器控制方法

假設(shè)p0和p1分別表示多擴展目標先驗和后驗兩個概率密度函數(shù)，則它們之間的CS散度可表示為

根據(jù)式(1)(30)，擴展目標跟蹤中傳感器控制的CS評價函數(shù)為

在RHM-CKGM-ETCBMeMBer中，利用多個伯努利過程去近似多擴展目標的概率密度函數(shù)，在此基礎(chǔ)上利用一組加權(quán)的高斯分量近似了每個伯努利過程的概率密度函數(shù).因此由式(31)可知，擴展目標跟蹤中傳感器控制CS散度的求解主要是兩個GM之間的計算.其具體的求解過程如下:

首先，由式(11)-(14)并結(jié)合擴展目標的存活概率pS，k可得預(yù)測多擴展目標概率密度函數(shù)，其中:

然后，確定傳感器控制集合Uk中每種控制方案ν的傳感器位置xs，k(ν).隨后對于每一種控制方案去產(chǎn)生唯一的一組PIMS，即

參照文獻[27]中的推導(dǎo)方式，借助式(36)可將式(31)推導(dǎo)為

z(i，j)(i1，j1)，z(i，j)(i′，j′)的計算也類似.與點目標CS不同的是，擴展目標的CS散度中每個高斯分布的均值和協(xié)方差都包含了目標的形狀信息，這就為擴展目標傳感器控制在形狀方面的優(yōu)化提供了依據(jù).

4.2 基于PENET準則的多擴展目標跟蹤傳感器控制方法

基于PENET準則的傳感器控制是從控制集合Uk中決策出相應(yīng)的控制方案，使得跟蹤系統(tǒng)對擴展目標勢估計的后驗期望值(PENET)達到最大.文獻[28]給出了點目標跟蹤中PENT準則的表達式，即對每種控制方案ν∈Uk，

其中:C為獨立于控制方案ν的常數(shù)，為量測個數(shù)，zm，k屬于理想量測集Zk(ν).結(jié)合式(39)給出的PENT準則計算公式，可推導(dǎo)出擴展目標中PENT準則的表達式，即PENET為

其中:N表示量測集劃分的個數(shù)，W(?)表示每種劃分?所對應(yīng)的量測簇的個數(shù).基于GM-CBMeMBer中對PENT準則的求解思路，本文將結(jié)合RHM-CKGMETCBMeMBer，推導(dǎo)PENET準則的詳細求解過程.其中

在RHM-CKGM-ETCBMeMBer的實現(xiàn)過程中，強度函數(shù)為

基于式(42)-(44)，下面將詳細推導(dǎo)給出式(41)的具體求解過程:首先，將式(44)代入式(43)中可將式(43)表示為

然后，結(jié)合式(36)對式(45)進行化簡，可將式(45)化簡為

最后，將式(46)(42)代入式(41)中，并再次利用高斯乘積公式可得

由RHM-CKGM-ETCBMeMBer的實現(xiàn)過程可以得到式(48)-(49)中高斯分布的均值和協(xié)方差.

4.3 算法程序的偽碼

為了更詳盡的說明算法流程，下面給出本文算法的偽碼.

步驟2傳感器控制.

a) 基于CS散度的傳感器控制.

對傳感器控制集合Uk中的每種控制方案ν∈Uk確定傳感器位置xs，k(ν).

依據(jù)每種控制方案的傳感器位置xs，k(ν)和式(35)產(chǎn)生相應(yīng)的理想量測集合Zk(ν).

對每種控制方案的Zk(ν)進行量測集劃分，然后根據(jù)式(15)-(29)進行偽更新.

通過式(37)計算每種控制方案所對應(yīng)的GM條件下評價函數(shù)(CS散度)的閉式解Rc(ν).

求取max(Rc(ν))，并確定最終控制方案uk.

傳感器在新控制位置xs，k(uk)產(chǎn)生實際量測Zk(uk).

b) 基于PENET準則的傳感器控制.

對傳感器控制集合Uk中的每種控制方案ν∈Uk確定傳感器位置xs，k(ν).

依據(jù)每種控制方案的傳感器位置xs，k(ν)和式(35)產(chǎn)生相應(yīng)的理想量測集合Zk(ν).

對每種控制方案的Zk(ν)進行量測集劃分，然后根據(jù)式(15)-(29)進行偽更新.

計算式(41)-(49)給出PENET準則高斯混合實現(xiàn)形式的相關(guān)參數(shù).

按式(40)計算Rp(ν)，并確定最終控制方案uk.

傳感器在新控制位置xs，k(uk)接收實際量測Zk(uk).

步驟3更新.

5 仿真實驗

5.1 傳感器控制集合與仿真場景

首先，如果已知k時刻傳感器最優(yōu)控制方案所決定的傳感器的位置xs，k=[xs，kys，k]T，那么k+1時刻傳感器的控制集合Uk+1為

其中設(shè)定NR=2，Nθ=8，則控制集合Uk+1總共有17種控制方案(包含傳感器靜止不動).設(shè)定傳感器的初始位置為原點，傳感器容許的控制速度vs，c=5 m/s.

然后，構(gòu)造做勻速直線運動的3個星凸型不規(guī)則形狀擴展目標進行跟蹤仿真實驗，k時刻每個擴展目標的狀態(tài)演化模型為

其中:狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Fk=過程噪聲協(xié)方差Qk=表示nf階的單位矩陣，nf為有限階傅里葉級數(shù)的階數(shù)，文中取nf=分別為

式(53)中采樣周期T=1 s，總共采樣50個時刻，過程噪聲標準差σq=0.01 m/s2.其他仿真參數(shù)分別取值為:傳感器的檢測概率pD，k與目標的存活概率pS，k均為0.99.雜波個數(shù)服從均值為10的泊松分布，且在觀測區(qū)域內(nèi)([-500，500]m×[-500，500]m)均勻分布，量測數(shù)據(jù)直接構(gòu)建在笛卡爾坐標系下，雜波密度為1×10-5m-2.另外，量測噪聲協(xié)方差為

標準差σe=0.1，尺度因子仿真建立泊松似然模型，每個擴展目標單個周期內(nèi)的量測數(shù)目服從均值γ=20的泊松分布，并且設(shè)定目標航跡刪除的閾值Tr和高斯分量的截斷閾值Tw分別為10-3和10-4，高斯分量的最大數(shù)Jmax=100，伯努利過程的閾值rm=0.5.

此外，初始時刻新生目標被建模為多伯努利RFS的形式，即有其中存在概率為0.03，每個伯努利隨機有限集的初始概率密度為

定義擴展目標初始形狀是半徑為3 m的圓，則

每個擴展目標的新生、消亡時刻、初始位置及真實形狀如表1所示.

表1 目標的初始參數(shù)及真實形狀Table 1 Initial parameter and true shape of target

5.2 仿真分析

首先，圖1給出每個擴展目標的真實運動軌跡.然后，利用RHM-CKGM-ETCBMeMBer跟蹤設(shè)定場景中多個不規(guī)則形狀的擴展目標.構(gòu)造5種傳感器控制方案對比驗證文中所提控制方法對多擴展目標跟蹤優(yōu)化的有效性.其中:方案1是“Stationary”，表示傳感器是靜止狀態(tài);方案2是“CS control”，即文中所提出的基于Cauchy-Schwarz散度的多擴展目標跟蹤傳感器控制方法;方案3是“Random control”，即每一個時刻從可實現(xiàn)的傳感器控制集合Uk+1中隨機選取控制方案;方案4是“Prior-control”，即先驗設(shè)定經(jīng)典的所謂Zigzag傳感器控制方案，其傳感器軌跡如圖2所示;方案5是“GM-PENET”，即文中所提“PENET”傳感器控制方法，旨在最大化多擴展目標勢估計的精度.

圖1 目標的真實軌跡Fig.1 Actual target trajectories

圖3是5種控制方案對多擴展目標的整體跟蹤效果圖，由于文中實驗方案比較多，導(dǎo)致整體跟蹤效果圖重合，但可以清晰可見上述5種傳感器控制方案與RHM-CKGM-ETCBMeMBer的結(jié)合都能實現(xiàn)對不規(guī)則形狀多擴展目標的有效跟蹤.

圖3 5種控制策略整體跟蹤效果圖Fig.3 The tracking result of five control strategies

圖4-6分別給出單次仿真實驗下，在多擴展目標接近消亡時刻，5種傳感器控制方案對擴展目標形狀的跟蹤效果圖以及形狀估計局部放大圖.可以得到，隨著量測信息的不斷累積，基于所有控制方案的目標跟蹤算法都基本能實現(xiàn)對多擴展目標的跟蹤估計.進一步的，由形狀估計的局部放大圖可知，方案1對應(yīng)估計效果最差.這是因為在多擴展目標跟蹤的過程中，并沒有介入傳感器控制的優(yōu)化過程.方案3和方案4有明確的傳感器控制動作，他們在多(點)目標的跟蹤優(yōu)化的有效性已得到驗證[9]，而在本論文的實驗中，進一步驗證了他們對于多擴展目標跟蹤中的形狀估計也有相對不錯的優(yōu)化效果.仔細甄別多擴展目標形狀估計的放大特征，文中所提的方案2與方案5對多擴展目標形狀輪廓細節(jié)的估計上更為精確，這主要是因為基于預(yù)知的PIMS和遞推的多擴展目標密度，決策了相對最優(yōu)的多擴展目標量測過程，從而提高了多擴展目標形狀跟蹤的性能.

圖4 目標1的形狀跟蹤局部放大圖Fig.4 The partial enlarged effect of shape estimation for Target 1

圖5 目標2的形狀跟蹤局部放大圖Fig.5 The partial enlarged effect of shape estimation for Target 2

圖6 目標3的形狀跟蹤局部放大圖Fig.6 The partial enlarged effect of shape estimation for Target 3

圖7-8分別給出與上述仿真對應(yīng)的方案2與方案5的傳感器控制軌跡.由控制軌跡可以看出，在整個跟蹤過程中，傳感器會始終依據(jù)最優(yōu)評價準則不斷地調(diào)節(jié)自身的位置，使得在當前時刻傳感器處于對所有擴展目標的最佳觀測位置.

圖7 單次MC方案2的傳感器控制軌跡Fig.7 Sensor control trajectory in the second control strategy

圖8 單次MC方案5的傳感器控制軌跡Fig.8 Sensor control trajectory in the fifth control strategy

本文利用最優(yōu)子模式分配(optimal subpattern assignment，OSPA)距離[29]去評價多擴展目標的質(zhì)心位置估計.由OSPA 的定義可知若集合X=的元素個數(shù)m小于集合Y=的元素個數(shù)n，則這兩個集合之間的OSPA距離為

其中:文中設(shè)定能調(diào)節(jié)集合元素數(shù)誤差的截斷系數(shù)c=1.5，距離階次p=1;式(54)中

Πk表示集合{1，2，···，k}的全排列，π(i)表示該全排列的第i種排列，當m＞n時，

由圖9所示的100次蒙特卡羅(Monte Carlo，MC)仿真實驗所得的5種傳感器控制方案OSPA距離的統(tǒng)計值可知，每種傳感器控制方案下，多擴展目標質(zhì)心位置估計的OSPA距離值都非常小，這是因為每個擴展目標都對應(yīng)了多個量測源，多源信息融合下會顯著提升目標質(zhì)心狀態(tài)估計的性能，而且傳感器控制會進一步優(yōu)化目標跟蹤的質(zhì)量.為了能夠區(qū)分不同控制方案之間的差別，對OSPA進行均值統(tǒng)計(如表2所示)發(fā)現(xiàn)，相比較其他方案，方案2和方案5的控制優(yōu)化效果較好一些，從而驗證了所提控制優(yōu)化算法的性能.

表2 質(zhì)心位置估計OSPA均值Table 2 OSPA average of centroid position estimation

圖10給出了100次MC仿真實驗驗證下，5種傳感器控制方案所對應(yīng)的多擴展目標跟蹤算法對多個擴展目標數(shù)目(勢)估計的統(tǒng)計值.圖10可知，5種傳感器控制方案都能對多擴展目標數(shù)目進行準確估計，但是由表3所統(tǒng)計的MC實驗中多擴展目標勢估計的誤差均值可得，方案5基于“GM-PENET”的傳感器控制方案對目標數(shù)目的估計要優(yōu)于其他控制方案，這驗證了GM-PENET是以擴展目標勢為優(yōu)化目的的傳感器控制方案.

圖10 5種傳感器控制方案的勢估計統(tǒng)計Fig.10 Cardinality estimation statistics of five control strategies

表3 5種方案勢估計誤差均值Table 3 Cardinality estimation error average

表4統(tǒng)計了MC仿真實驗中5種傳感器控制算法執(zhí)行效率的對比.由表4可知，方案1、方案3和方案4對應(yīng)計算復(fù)雜度最小，因為它們基本都沒有傳感器控制的決策計算過程參與其中.顯然，方案2與方案5對應(yīng)計算復(fù)雜度較高，通過分析，額外增加的計算復(fù)雜度花費在了相應(yīng)的傳感器控制方案的決策計算上，花費的計算代價換回了更高的估計精度(運動參數(shù)和形狀參數(shù))，即以時間效率為代價換取擴展目標估計精度的提升.所以，針對傳感器控制算法的進一步優(yōu)化和算法執(zhí)行效率的不斷提升也需要在今后的工作中不斷研究.另外，文中利用形狀估計的局部放大顯示估計的效果，但在形狀估計的性能評價上也需要做進一步的研究.

表4 5種控制算法執(zhí)行效率對比Table 4 Comparison of execution efficiency of five control algorithms

6 結(jié)論

本文提出了多擴展目標跟蹤中傳感器控制的優(yōu)化策略.首先利用RHM對多擴展目標的不規(guī)則形狀進行建模，然后基于RHM-CKGM-ETCBMeMBer多擴展目標跟蹤算法結(jié)合CS散度，基于信息增益最大化為目的進行多擴展目標跟蹤中傳感器控制方法的研究.此外，本文還詳細推導(dǎo)了GM-PENET的具體求解過程，該控制方案以多擴展目標勢估計的后驗期望最大化為優(yōu)化目標.最后，依據(jù)文中所提的傳感器控制方案對多個不規(guī)則形狀的擴展目標進行跟蹤估計，仿真結(jié)果驗證了文中所提傳感器控制方案在多擴展目標跟蹤定位、形狀估計和勢估計上的優(yōu)化效果.