滲透思想方法 拓展解題思路
——以一道高考題的解法探究為例

云南省昆明市第三中學(650500) 太敬藝

2017年新課程標準提出高中數(shù)學教學活動的關鍵是啟發(fā)學生學會數(shù)學思考,引導學生會學數(shù)學、會用數(shù)學,并將數(shù)學基本思想和基本活動經(jīng)驗納入“四基”范疇.教師在教學過程中不僅要強調(diào)基礎知識和基本技能的掌握,還要深入挖掘題目蘊含的思想方法,鼓勵學生基于已有知識經(jīng)驗從多種角度解讀、分析、處理數(shù)學問題,從而逐步樹立敢于創(chuàng)新、善于思考、嚴謹求實的科學精神.

近年來,一線教師愈加重視培養(yǎng)學生運用數(shù)學思想方法解題的能力,但如果針對題目本身僅強調(diào)對應的某種思想方法則不免有失偏頗, 學生的思維不僅沒有得到充分的延展,也不利于對題目蘊含的思想方法有更深入的認識.筆者以一道高考題為例,全面剖析其中涵蓋的數(shù)學思想方法以及在教學實踐中的應用.

一、試題呈現(xiàn)

題目(2020年全國ⅠⅠⅠ卷理科第21 題)設函數(shù)f(x)=x3+bx+c,曲線y=f(x)在點處的切線與y軸垂直.

(1)求b;

(2)若f(x)有一個絕對值不大于1 的零點,證明:f(x)所有零點的絕對值都不大于1.

二、解法探究

問題(1)較為簡單,解答從略.下文著重探究問題(2)的解法.

解法一(函數(shù)思想)分析:第(1)問求得在b值已確定的情況下,c是f(x)唯一的參變量,啟發(fā)我們從兩種角度分析本題,其一是求導分析單調(diào)性和最值確定c的范圍,利用c的范圍解關于零點的不等式從而確定任意零點的取值范圍;其二是將f(x)的零點問題轉化為兩函數(shù)圖象交點橫坐標取值問題,采取數(shù)形結合和分類討論的思想方法,以形助數(shù).一目了然.

角度一(求導確定范圍)設x0為f(x)的一個零點且|x0|≤1,f(x0)=+c=0,c(x0)=求導得c′(x0)=c(-1)=,c(1)==所以

設x1為f(x)的任一零點,f(x1)=+c= 0, 由c=可得不等式組:解得-1 ≤x1≤1, 即|x1|≤1, 故f(x)所有零點的絕對值都不大于1,命題得證.

角度二(初等函數(shù)圖象的交點問題)令f(x)=x3-+c=0 即

①當x= 0 時,c= 0, 此時f(x)的零點分別為x1=0,x2=,x3=符合題意;②當x ?= 0 時有x2-令g(x)=x2-c ＞0 時函數(shù)圖象如下圖所示(這里應向?qū)W生強調(diào)在探究題目解法時利用函數(shù)圖象輔助分析,不能單獨作為嚴謹?shù)淖C明過程):

圖1

圖2

通過函數(shù)圖象的對稱性直觀看到, 若存在|x0|≤1,當-1 ≤x0＜0 時, 任意x1使得g(x1)=h(x1), 都有0＜ x1＜1(圖1); 當0＜ x0≤ 1 時, 任意x1使得g(x1)=h(x1), 都有-1 ≤x1＜0(圖2); 讀者可自行類比分析c ＜0 的情況.

解法二(方程思想)分析:方程與函數(shù)關系密切,可將本例中函數(shù)零點問題轉化為方程實根問題進行討論.原命題可等價轉化為:若方程x3-+c= 0 有一個絕對值不大于1 的實根,證明該方程所有實根的絕對值都不大于1.下面提供兩種角度確定c的范圍.

角度一(配方變形)

(1)4x3-3x+4c=(x+1)(2x-1)2+4c-1=0,

(2)4x3-3x+4c=(x-1)(2x+1)2+4c+1=0.

若存在實數(shù)解x1且|x1|≤ 1, 由(1), (2)式解得后續(xù)過程見解法一.

角度二(卡爾達諾公式(Cardano formula))一元三次方程的根的分布問題容易聯(lián)想到著名的卡爾達諾公式, 教師可以類比一元二次方程根據(jù)學生已有知識經(jīng)驗, 介紹一元三次方程的解法及卡爾達諾公式, 促進學生思維品質(zhì)的改善.特殊型一元三次方程x3+px+q= 0(p,q ∈R)的判別式為Δ =當Δ＞0 時,有一個實根和一對共軛虛根;當Δ = 0 時,有三個實根,其中一個為兩重根;當Δ＜0 時有三個不等實根.由于本例只討論實數(shù)根的情況,故要求Δ ≤0, Δ =同樣可得

解法三(反證法)分析:邏輯推理能力是高中階段數(shù)學核心素養(yǎng)之一,中學數(shù)學的推理論證能力是根據(jù)已知事實和已獲得的正確數(shù)學命題論證某一數(shù)學命題真實性的初步的推理能力.反證法是間接證明的一種重要方法,體現(xiàn)了化歸與轉化的數(shù)學思想.其原理是原命題和其逆否命題的真假性相同,基本證明過程為:反設(肯定題設而否定結論),歸謬(經(jīng)過推理導出矛盾),從而原命題得證.

①反設:x3-+c=0 有一個絕對值不大于1 的實根x1,假設該方程存在實根x2且|x2|＞1

三、總結

本例中解法一的求導分析法比較常規(guī), 學生容易想到,但運算過程冗長,思路固定化,不利于培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維;解法二對學生思維的靈活性要求較高,可以類比一元二次方程,逐步深入,適當引導學生探究一元三次方程的相關解法;解法三利用反證法,正難則反,即間接證明的思路幫學生打破僵化思維,開拓解題視野.

高中各章節(jié)數(shù)學知識之間存在著內(nèi)在聯(lián)系,呈現(xiàn)出很強的層次性和系統(tǒng)性,如函數(shù)與方程、零點與實根,直接證法和間接證法.為幫助學生將這些看似無關的知識整合起來,教師在教學活動中應當堅持問題驅(qū)動原則,提煉數(shù)學思想方法,有意識地引導學生從不同角度剖析問題,進行多解嘗試.此外,教師在教學中應當“道而弗牽,強而弗抑,開而弗達”,這樣學生有自主思考的空間才能舉一反三,事半功倍.