一道解析幾何自招試題的探究與思考*

北京市第十二中學(xué)高中部(100071) 劉 剛

1 試題

題目如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)F1、F1分別為橢圓E:=1(a ＞b ＞0)的左、右焦點(diǎn),A、B分別是橢圓E的左、右頂點(diǎn),D(1,0)為線段OF2的中點(diǎn),且

圖1

(1)求橢圓E的方程;

(2)若M為橢圓E上的動(dòng)點(diǎn)(異于A、B),連接MF1并延長(zhǎng)交橢圓E于點(diǎn)N,連接MD、ND并分別延長(zhǎng)交橢圓E于點(diǎn)P、Q,連接PQ,設(shè)直線MN、PQ的斜率存在且分別為k1、k2,試問(wèn)是否存在常數(shù)λ,使得k1+λk2= 0 恒成立? 若存在,求出λ的值;若不存在,說(shuō)明理由.

這是2018年武漢大學(xué)自主招生中的一道試題,考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系以及定值問(wèn)題,考查了方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想以及坐標(biāo)法的應(yīng)用,檢驗(yàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).試題平中見(jiàn)奇,解法多樣,內(nèi)涵豐富,是一道具有研究性學(xué)習(xí)價(jià)值的好題.

2 解法探究

(2)解法1設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4),則直線MD的方程為x=+1,代入橢圓E的方程=1,整理,得所以y1+y3=從而得y3=所以x3=+1 =即點(diǎn)同理,可得點(diǎn)因?yàn)镸,F1,N三點(diǎn)共線,所以即x1y2-x2y1=2(y1-y2).因?yàn)?/p>

點(diǎn)評(píng)試題(2)問(wèn)涉及多動(dòng)點(diǎn),這給學(xué)生解答帶來(lái)了很大的困難,解決的基本方法還是坐標(biāo)法,雖然解題過(guò)程中設(shè)出了M,N,P,Q這四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),但通過(guò)分別聯(lián)立直線MD、ND與橢圓E的方程并借助韋達(dá)定理,可以實(shí)現(xiàn)用M點(diǎn)坐標(biāo)表示P點(diǎn)坐標(biāo)以及N點(diǎn)坐標(biāo)表示Q點(diǎn)坐標(biāo),從而達(dá)到消元的目的,體現(xiàn)了設(shè)而不求的思想方法.

解法2設(shè)直線MP、NQ的斜率分別為k3、k4,因?yàn)橹本€MP、NQ過(guò)點(diǎn)D(1,0),所以直線MP、NQ的方程分別為k3x-y-k3= 0,k4x-y-k4= 0.設(shè)直線PQ的方程為k2x-y+m= 0,又直線MN過(guò)點(diǎn)F1(-2,0),所以直線MN的方程為k1x-y+2k1=0,所以過(guò)M,N,P,Q四點(diǎn)的曲線系方程為

整理,得

與5x2+9y2-45=0 比較系數(shù),得

由①, 得10uk3k4=-2mk1-9k1k2, 代入③, 得m=.由②④,得k2=-3k1-m,所以k2=-3k1+即k1-=0,故存在滿足條件的常數(shù)λ=

點(diǎn)評(píng)在解決圓錐曲線上四點(diǎn)問(wèn)題時(shí)可借助曲線系方程, 具體為:設(shè)直線AB,CD的方程分別lAB(x,y)= 0,lCD(x,y)= 0, 直線AC,BD的方程分別lAC(x,y)= 0,lBD(x,y)=0,則過(guò)A、B、C、D四點(diǎn)的二次曲線系方程可以設(shè)成lAB(x,y)lCD(x,y)+λlAC(x,y)lBD(x,y)= 0,然后化成一般式方程再與已知圓錐曲線方程比較系數(shù)求解,體現(xiàn)了變換的思想和整體處理的解題策略,提高了解題效率.

解法3設(shè)則

同理,

點(diǎn)評(píng)解法3 先借助橢圓的參數(shù)方程表示出點(diǎn)M、N、P、Q的坐標(biāo),接下來(lái)借助三角公式進(jìn)行邏輯推理,并適時(shí)進(jìn)行消元.在解答過(guò)程中雖然對(duì)運(yùn)算有一定的要求,但解題思路明確,易操作,不失為一種好方法.參數(shù)法是解決橢圓問(wèn)題的一種常用方法.

3 思考

解析幾何是一門用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的學(xué)科,代數(shù)是工具,幾何是本質(zhì),解答時(shí)通常遵循先幾何后代數(shù)的解題策略.本道試題能否用幾何法解決? 具有怎樣的幾何背景?帶著這樣的思考,筆者進(jìn)行了深入的研究,下面先給出高等幾何中的幾個(gè)定義和性質(zhì).

(1)極點(diǎn)與極線

(Ⅰ)幾何定義.如圖2,點(diǎn)P不在圓錐曲線Γ 上,過(guò)點(diǎn)P引兩條割線與Γ 依次交于A、B、C、D四點(diǎn),直線AD與BC交于點(diǎn)G, 直線AC與BD交于點(diǎn)H, 連接PG,HG,PH,則直線HG為點(diǎn)P對(duì)應(yīng)Γ 的極線,直線PG為點(diǎn)H對(duì)應(yīng)Γ的極線,直線PH為點(diǎn)G對(duì)應(yīng)Γ 的極線.若點(diǎn)P在圓錐曲線Γ 上,則過(guò)點(diǎn)P的切線即為極線.

(Ⅱ)代數(shù)定義.已知圓錐曲線Γ :Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F= 0,則稱點(diǎn)P(x0,y0)和直線l:Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0 是Γ 的一對(duì)極點(diǎn)和極線.

圖3

(2)調(diào)和點(diǎn)列與調(diào)和線束

(Ⅰ)定義.一條直線上的四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D如果滿足那么稱A、B、C、D為調(diào)和點(diǎn)列,亦稱B、D調(diào)和分割線段AC.過(guò)調(diào)和點(diǎn)列A、B、C、D所在直線外一點(diǎn)P,向A、B、C、D引四條線束(射線),稱這四條線束PA、PB、PC、PD為調(diào)和線束.

(Ⅱ)性質(zhì).如圖3, 設(shè)直線l與調(diào)和線束PA、PB、PC、PD分別交于點(diǎn)A′、B′、C′、D′,則A′、B′、C′、D′為調(diào)和點(diǎn)列.

證明由A、B、C、D是調(diào)和點(diǎn)列,得即于是

(3)完全四邊形及性質(zhì)

(Ⅰ)定義.我們把兩兩相交,且沒(méi)有三線共點(diǎn)的四條直線及它們的六個(gè)交點(diǎn)所構(gòu)成的圖形,叫做完全四邊形.如圖4,直線ABE、BCF、ECD、ADF兩兩相交于B、C、D、E、F、A六點(diǎn),則四邊形ABECFD為完全四邊形,線段AC、BD、EF為其三條對(duì)角線.

(Ⅱ)性質(zhì).完全四邊形的一條對(duì)角線所在直線與其他兩條對(duì)角線相交, 則這條對(duì)角線被交點(diǎn)調(diào)和分割.如圖5,在完全四邊形ABECFD中, 直線AC與BD交于點(diǎn)G, 與EF交于點(diǎn)H, 則(或AG·CH=AH ·CG).

圖4

證明若BD//EF,如圖5,則得證.若BD與EF不平行,如圖6,設(shè)這兩條直線交于點(diǎn)M,對(duì)ΔACD及點(diǎn)B應(yīng)用塞瓦定理,得

對(duì)ΔACD及割線EHF應(yīng)用梅涅勞斯定理,得

⑦÷⑧, 得類似地, 還可證明成立.

圖5

圖6

有了以上知識(shí)的介紹,下面從幾何的角度再認(rèn)識(shí)一下這道試題:

圖7

解法4如圖7,設(shè)直線MN與PQ交于點(diǎn)R, 直線MQ與NP交于點(diǎn)S, 則直線RS是點(diǎn)D對(duì)應(yīng)橢圓E的極線,其方程為x= 9.設(shè)直線RS與x軸交于點(diǎn)H,直線PQ與x軸交于點(diǎn)T,直線NQ與RS交于點(diǎn)G, 由此可得完全四邊形NMRQSP.于是D、G調(diào)和分割NQ,連接DR,所以射線RN、RD、RP、RH為調(diào)和線束,于是x軸與調(diào)和線束的交點(diǎn)F1、D、T、H為調(diào)和點(diǎn)列, 所以解得而k1=tan ∠RF1H=,k2=tan ∠RTH=所以故存在滿足條件的常數(shù)λ=

點(diǎn)評(píng)幾何法揭示了問(wèn)題的本質(zhì),體現(xiàn)了過(guò)程的簡(jiǎn)潔性.將試題一般化,并類比雙曲線、拋物線,可以得到圓錐曲線的一個(gè)統(tǒng)一結(jié)論.

定理如圖8,已知P是圓錐曲線Γ 的軸l上一點(diǎn)(P不在Γ上),過(guò)P引兩條直線與Γ 依次交于點(diǎn)A、B、C、D,直線AB與CD交于點(diǎn)R, 直線AD與BC交于點(diǎn)S,直線RS與l交于點(diǎn)H,直線AB與l交于點(diǎn)M, 直線CD與l交于點(diǎn)N,則(請(qǐng)讀者參考解法4,限于篇幅不再贅述)

圖8

高考及自招試題都是集體智慧的結(jié)晶,具有典型性與創(chuàng)新性等特點(diǎn),在研究這些考題時(shí),除了關(guān)注通解通法以外,還要注意挖掘其背后所蘊(yùn)含豐富、深刻的數(shù)學(xué)背景,在這一過(guò)程中,體現(xiàn)出了對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)認(rèn)識(shí)的“螺旋式”上升,提升了核心素養(yǎng).

以下試題供讀者練習(xí):

1.(2018年徐州一模)如圖9, 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓= 1(a ＞b ＞0)的離心率為且過(guò)點(diǎn),F為橢圓的右焦點(diǎn),A,B為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),連接AF,BF分別交橢圓于C,D兩點(diǎn).

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若|AF=|FC|,求的值;

(3)設(shè)直線AB,CD的斜率分別為k1,k2, 是否存在實(shí)數(shù)m, 使得k2=mk1, 若存在, 求出m的值; 若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖9

2.(2017年數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北預(yù)賽)過(guò)拋物線y2= 4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn),E(m,0)為x軸上一點(diǎn),ME、NE的延長(zhǎng)線分別交拋物線于點(diǎn)P、Q.若MN、PQ的斜率k1、k2滿足k1=3k2,則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)___.

答案:1.(1)= 1;(2);(3)存在實(shí)數(shù)2.m=3.