二維趨化N-S方程解的唯一性準則

郭貓駝，苑佳

(北京航空航天大學數學科學學院，北京100191)

1.引言

在本文中，我們研究的是不可壓趨化Navier-Stokes方程（簡稱為趨化N-S方程），其表達式如下：

系統(1.1)描述的是不可壓流體中微生物的趨化現象，關于這類方程的解的適定性問題有很多的研究工作.在2010年，DUAN和Lorz[3]證明了系統(1.1)在二維以及三維的有界區(qū)域（不含通量的邊界條件）內弱解的局部存在性；隨后，LIU和Lorz[4]在關于χ(c)，f(c)的假設

以及c0，Φ的初值很小的條件下，得到了系統(1.1)在二維空間中的整體存在性.在2013年，系統(1.1)的古典解在二維和三維空間中的局部存在性在文[5]中被建立.在2014年，Chae，KANG和Lee[6]證明了在二維以及三維空間中，系統(1.1)光滑解的局部適定性并且在Hm，m ≤3的框架中建立了解的某些爆破準則.之后，ZHANG[7]把該結果拓展到了Besov空間.同樣在2014年，在κ = 1且χ(c)為常數的情況下，ZHANG和ZHENG[8]獲得了能量解的整體適定性.在2017年，對系統(1.1)考慮一個額外的細菌密度增長源時，Braukhoff[9]在二維空間上建立了古典解的整體存在性和唯一性以及在三維空間下弱解的整體存在性.同時在2018年，在滿足‖n0‖L1(R2)足夠小并且對于χ(c)，f(c)滿足χ(c)，f(c)，χ′(c)，f(c) ≥0時，解的整體適定性以及時間衰減估計在文[10]中被建立.但是在三維條件下，系統(1.1) 帶有大初值問題的解是否整體存在、是否爆破依然是一個公開的問題.

我們要研究的是二維趨化N-S方程系統中的一類，其表達式如下：

對于上述系統(1.2)，在初值屬于X0?{(n0，c0，u0)|n0∈L1∩L2(R2)，n0＞0;c0∈L2∩L∞(R2)，c0＞0;u0∈H1(R2)}時，從文[1]中已經有了弱解的存在性的結果，其結果如下：

并且滿足n(x，t) ＞0，c(x，t) ＞0.但是系統(1.2)弱解的唯一性研究依然是一個公開的問題，本文主要工作就是為系統(1.2)的唯一性研究做進一步的推進工作，我們得到了系統(1.2)的唯一性準則，結果如下.

定理1.1對于任意的(n0，c0，u0)∈X0以及?φ ∈L∞(R2)，若系統(1.2)的弱解滿足

那么系統(1.4)的弱解具有唯一性.

2.預備知識

首先引入如下的單位分解定理[2]：

定理2.1設Ψ是一個以原點為中心，長半徑為短半徑為的環(huán)，則存在兩個徑向函數滿足且

在以上單位分解定理的基礎上，引入一些記號如下：

根據以上的Littlewood-Paley算子Δj的定義，有如下的非齊次Littlewood-Paley分解

同時可以有如下非齊次Besov空間的定義：

定義2.1設(p，r)∈[1，+∞]2，s ∈R，那么非齊次Besov空間(Rd) 定義為：

定義2.2當T ＞0，ρ ≥1時，記表示滿足下列表達式的所有緩增廣義函數的集合，

定義2.3當T ＞0，ρ ≥1時，我們記表示滿足如下條件的緩增廣義函數u的集合

根據Minkowski不等式，發(fā)現：當s ∈R，ρ ≥1且(p，r)∈[1，∞]2時，如果r ≥ρ，嵌入到如果ρ ≥r，嵌入到在本文定理證明的過程中需要用到以下引理.

引理2.1(Bernstein不等式) 令1 ≤p ≤q ≤∞，假設f ∈Lp，那么存在一個不依賴于f和j的常數C，滿足

3.定理1.1的證明

為證明定理1.1，我們需要首先證明以下的引理3.1與引理3.2，這兩個定理對于定理1.1的證明有很重要的作用.

引理3.1在初值屬于X0條件下，系統(1.2)的弱解有如下正則性:

證首先用算子Δq(q ≥0)作用系統(1.2)的第三個方程兩邊，從而有

然后在上述式子(3.1)兩邊同時乘以Δqu，并且對于空間變量積分，應用Bernstein不等式，可以得到

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將方程式子(3.2)的兩邊同時乘以tα22q，0 ＜α ＜1，方程變?yōu)?/p>

把I，II的估計式(3.4)，(3.5)式代入到(3.3)式，并且兩邊同時對于時間t進行積分，從而有

對式(3.6)兩邊同時對q ≥0進行求和，可以把(3.6)式轉化為如下(3.7)式

對于上述(3.7)式右邊的J1，J2，J3項，利用Besov空間與Sobolev空間的嵌入關系，以及Hlder不等式，有如下估計

把上述J1，J2，J3所得到的估計結果累加到(3.7)式中，有如下(3.8)式：

通過使用非齊次的Littlewood-Paley分解，成立

由于

所以可以得到

利用同樣的方法，也可以得到

引理3.2若系統(1.2)的弱解(n，c，u)滿足那么有

證首先對系統(1.2)的第一個方程兩邊用?i作用，并把g(n)=n(1-n)(n-a)代入，就有

對于上述(3.9)式做L3-估計得

對于N1，N2，N3，分別利用Hlder不等式和Young不等式，有

把N1，N2，N3估計帶入到(3.10)式，并且兩邊同時對于i求和，能夠得到

對于上式兩邊同時除以||?n||L3，可以得到

聯系已經證明的引理3.1的結果和引理3.2已給的條件，由Gronwall不等式可得

定理1.1的證明假設系統(1.2)有兩個弱解(n1，c1，u1)和(n2，c2，u2)，利用做差法，令δn =n1-n2，δc=c1-c2，δu=u1-u2，由此我們可以建立系統(1.2)的差分方程組

分別對于上述系統(3.11)的第一個，第二方和第三個方程做L2-估計，可以得

對于S1，S2，S3，S4應用利用Hlder不等式以及Young不等式，就有

同理對于K1，K2，K3，M1，M2利用Hlder不等式以及Young不等式，可以得到

把上述得到的S1，S2，S3，S4，K1，K2，K3，M1，M2估計導入到(3.12)，(3.13)，(3，14)式，并且把得到的三個式子累加，就有

其中

而C，C0，C1，C2，C3，C4，C5，C6，C7，C8分別代表不同非負常數.又由于

所以聯系所證明的引理3.1與引理3.2，能夠推出E(t)是非負可積的.所以利用Gronwall不等式，就有所以n1= n2，c1= c2，u1= u2，在任意的時間[0，T]內成立，由此我們完成了定理1.1的證明.