考慮等待提示策略的呼叫中心流體近似方法

于 淼，宮 俊，孔凡文

(1.沈陽建筑大學(xué) 管理學(xué)院，遼寧 沈陽 110168; 2.東北大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110819)

0 引言

隨著我國(guó)服務(wù)產(chǎn)業(yè)的深入發(fā)展，以呼叫中心為紐帶的客戶服務(wù)已經(jīng)在各類企業(yè)運(yùn)營(yíng)中發(fā)揮重要作用，并且受到了越來越多企業(yè)的重視[1]。在高質(zhì)量服務(wù)管理現(xiàn)實(shí)目標(biāo)驅(qū)使下，排隊(duì)等待提示作為新的運(yùn)營(yíng)模式被大多數(shù)呼叫中心所應(yīng)用?！拔粗牡却喈?dāng)于無盡的等待”，這種不可視隊(duì)列的特點(diǎn)極大地降低了呼叫中心過程服務(wù)的顧客滿意度[2]，而排隊(duì)等待提示正是克服了這種系統(tǒng)缺陷，使得呼叫中心通過語音提示的方式來改善用戶的滿意度。因此，如何充分考慮顧客行為的影響，有效地構(gòu)造呼叫中心排隊(duì)系統(tǒng)模型，進(jìn)行等待時(shí)間預(yù)測(cè)及提醒已經(jīng)成為管理者與學(xué)術(shù)界關(guān)注的焦點(diǎn)。

目前服務(wù)系統(tǒng)等待提示問題研究文獻(xiàn)主要利用排隊(duì)分析的手段，通過準(zhǔn)確刻畫帶顧客放棄行為的等待提示排隊(duì)系統(tǒng)服務(wù)流程，進(jìn)行系統(tǒng)性能與效用的分析，從而為后續(xù)運(yùn)營(yíng)管理工作奠定基礎(chǔ)。Armony等[3]研究了帶有顧客回應(yīng)的呼叫中心提示等待時(shí)間問題，并進(jìn)行相應(yīng)的均衡性分析。Jouini等[4]研究了帶有提示可靠性選擇的呼叫中心等待時(shí)間提示問題，詳細(xì)考慮了等待提示信息對(duì)“直接退出”與“中途放棄”兩類顧客行為的控制。Yu等[5]詳細(xì)刻畫了多種與等待提示有關(guān)的顧客滿意度指標(biāo)，從而進(jìn)行有效的呼叫中心能力計(jì)劃研究。Ibrahim等[6]以現(xiàn)實(shí)的大規(guī)模呼叫中心為背景，研究了考慮顧客回應(yīng)的等待提示信息精確性問題。

除了以上排隊(duì)系統(tǒng)中顧客放棄行為的刻畫與分析，考慮顧客重?fù)苄袨橛绊懙暮艚信抨?duì)系統(tǒng)性能研究，亦是呼叫中心排隊(duì)模型研究中的一類重要問題。由于考慮顧客重?fù)苄袨楹蟮呐抨?duì)系統(tǒng)復(fù)雜性，使得利用傳統(tǒng)的排隊(duì)理論，兼顧構(gòu)造系統(tǒng)多行為特征及求解系統(tǒng)性能變得更加地困難。近年來，一類確定型流體模型得到廣泛應(yīng)用，用以刻畫顧客多行為模式下高負(fù)荷呼叫排隊(duì)系統(tǒng)[7～9]。該方法避免了排隊(duì)模型冗長(zhǎng)的推導(dǎo)過程，利用確定型的流體表達(dá)簡(jiǎn)單且快速的獲得排隊(duì)系統(tǒng)的性能指標(biāo)。Aguir等[10]最早通過流體近似方法構(gòu)建考慮重?fù)苄袨榈暮艚信抨?duì)系統(tǒng)，并且通過與仿真模型的對(duì)比驗(yàn)證了近似的有效性。Ding等[11]利用利用流體近似方法進(jìn)行帶有重?fù)芎椭芈?lián)行為的呼叫中心模型構(gòu)造，并且進(jìn)行了流體極限的證明。然而，目前還沒有針對(duì)帶等待提示的呼叫排隊(duì)系統(tǒng)，考慮顧客重?fù)苄袨橛绊懙南嚓P(guān)研究。

為此，利用該確定型流體方法近似帶有重?fù)苄袨榈牡却崾竞艚邢到y(tǒng)，豐富了文獻(xiàn)[4]與文獻(xiàn)[12]對(duì)于考慮顧客等待心理的提示等待呼叫系統(tǒng)，深入研究顧客提示更新行為基礎(chǔ)上，構(gòu)建更加符合現(xiàn)實(shí)呼叫中心多行為要素的呼叫排隊(duì)系統(tǒng)，進(jìn)行有效地等待時(shí)間預(yù)測(cè)以及性能分析。此外，基于離散事件調(diào)度法的仿真技術(shù)引用，有效地驗(yàn)證了該流體近似模型的精確性與實(shí)效性。該流體模型的構(gòu)建為呼叫中心管理者對(duì)此類呼叫系統(tǒng)的合理管理與決策提供了有價(jià)值的參考策略。

1 問題描述及模型建立

1.1 問題描述

以帶有等待時(shí)間提示機(jī)制的單技能多服務(wù)臺(tái)呼叫中心為背景，系統(tǒng)具有s個(gè)服務(wù)臺(tái)，排隊(duì)規(guī)則為先到先服務(wù)(FCFS)。假設(shè)顧客首次到達(dá)過程服從參數(shù)為λ的泊松到達(dá)過程，且顧客接受服務(wù)過程服從參數(shù)為μ的指數(shù)分布，顧客打電話時(shí)具有初始的耐心等待時(shí)間T，其服從參數(shù)為γ的指數(shù)分布。排隊(duì)服務(wù)流程如圖1所示：

圖1 帶等待時(shí)間提示、直接退出、中途放棄，重?fù)艿暮艚兄行姆?wù)流程

令等待隊(duì)列中的顧客數(shù)目為n。任意一個(gè)顧客到達(dá)時(shí)，如果系統(tǒng)中仍存在空閑服務(wù)人員，該顧客可以立即得到服務(wù)無需等待。否則，當(dāng)n>0時(shí)，該顧客需要面臨直接退出選擇：“直接退出1”，為不接受任何等待的“極端不耐煩顧客”，選擇退出的比率為α0，且放棄之后該部分顧客后續(xù)可能選擇重?fù)?，假設(shè)重?fù)芊膮?shù)為δ的指數(shù)分布，選擇重?fù)鼙壤秊閜；“直接退出2”，剩余顧客的行為選擇根據(jù)等待時(shí)間的信息提示，當(dāng)系統(tǒng)提示時(shí)間大于初始耐心時(shí)間，顧客選擇“直接退出2”，pb(n)表示該部分退出概率，且pb(n)為系統(tǒng)通過近似提示時(shí)間可調(diào)節(jié)的概率。需要注意的是，假設(shè)“直接退出2”的顧客也將具有同樣的比例p進(jìn)行重?fù)?，并且重?fù)苓^程同樣服從參數(shù)為δ的指數(shù)分布。沒有進(jìn)行退出選擇的顧客將接受提示信息進(jìn)入隊(duì)列進(jìn)行等待?，F(xiàn)實(shí)表明，選擇進(jìn)入隊(duì)列的顧客將根據(jù)提示時(shí)間更新其初始耐心，令T′為更新后耐心時(shí)間，且近似服從參數(shù)為γ′的指數(shù)分布。如果更新耐心時(shí)間的顧客在等待之后，等待時(shí)間仍大于新耐心值而選擇放棄則稱為“中途放棄”行為。同樣地假設(shè)中途放棄顧客以比例p進(jìn)行重?fù)埽負(fù)苓^程同樣服從參數(shù)為δ的指數(shù)分布。

由于重?fù)苄袨榈漠a(chǎn)生，使得系統(tǒng)總的被觀測(cè)到達(dá)可以分為首次到達(dá)和重?fù)艿竭_(dá)，令λ0表示被觀測(cè)顧客到達(dá)率，假設(shè)兩次到達(dá)過程相互獨(dú)立。此外，令ρ為排隊(duì)系統(tǒng)負(fù)荷(ρ=λ/sμ)。

1.2 等待時(shí)間提示策略

針對(duì)給定的呼叫中心排隊(duì)場(chǎng)景，進(jìn)行顧客等待時(shí)間的預(yù)測(cè)與提示策略設(shè)定。

定義1虛擬等待時(shí)間(Virtual waiting time)[13]:假設(shè)被提示等待信息的特定顧客有無窮大耐心時(shí)，近似得到隊(duì)列中每位顧客的等待時(shí)間。

提示給顧客的等待時(shí)間根據(jù)虛擬等待時(shí)間D近似而得。其中，最終的實(shí)際等待時(shí)間與虛擬等待時(shí)間的偏差在于是否考慮的顧客耐心閾值，如果顧客在有限耐心時(shí)間內(nèi)的等待時(shí)間則為實(shí)際等待時(shí)間，記作W，即顧客實(shí)際等待時(shí)間是虛擬等待時(shí)間與自身耐心時(shí)間比較后得到的結(jié)果，因此，

W=min{D,T′}

(1)

當(dāng)系統(tǒng)的等待隊(duì)列中的顧客數(shù)為n時(shí)，對(duì)于新到達(dá)的顧客，所近似的顧客虛擬等待時(shí)間為Dn和提示給顧客的等待時(shí)間為dn。此時(shí)，對(duì)于提示信息產(chǎn)生“直接退出2”概率pb(n)，由于顧客初始耐心的指數(shù)分布特性以及提示時(shí)間dn，可得：

pb(n)=P(T

(2)

不失一般性，當(dāng)隊(duì)列中具有個(gè)顧客n時(shí)，通過排隊(duì)分析近似出顧客的虛擬等待時(shí)間Dn，并且按照某種提示策略確定近似的虛擬等待時(shí)間為Dn和提示等待時(shí)間dn之間的關(guān)聯(lián)。具體地，由上文假設(shè)可知，留在隊(duì)列的顧客耐心時(shí)間由初始的T變?yōu)門′，且γ′為“進(jìn)入等待隊(duì)列顧客”的中途放棄率。Dn作為更新后的耐心閾值γ′影響下的變量，表示當(dāng)隊(duì)列具有n個(gè)人等待時(shí)，新進(jìn)入顧客欲獲得服務(wù)之前需要等待的時(shí)間，不考慮輸入過程，該顧客等待過程是純滅的隨機(jī)過程，如圖2所示。Dn是從狀態(tài)s+n+1到達(dá)吸收態(tài)s的等待時(shí)間，并且Dn的分布是參數(shù)為sμ，sμ+2γ′，…，sμ+nγ′的n+1個(gè)獨(dú)立同指數(shù)分布的卷積，服從“亞指數(shù)分布”。

圖2 系統(tǒng)純滅過程示意圖

令gn(t)表示變量Dn的概率密度函數(shù)，Gn(t)為Dn的累計(jì)分布函數(shù)，E(Dn)為Dn的期望值，因此有:

(3)

(4)

系統(tǒng)設(shè)定的提示策略：提示等待時(shí)間dn近似為虛擬等待時(shí)間Dn的平均值，即當(dāng)一個(gè)顧客到達(dá)系統(tǒng)后，系統(tǒng)所公布的時(shí)間為前面n個(gè)等待顧客的平均等待時(shí)間，因此每位新到達(dá)顧客獲得的提示時(shí)間隨著隊(duì)列的位置不同而變化:

dn=E(Dn)

(5)

因此，提示信息影響下的“直接退出2”概率可以改寫成，

pb(n)=P(T

(6)

此外，在不同的呼叫系統(tǒng)中可能采取不同的提示策略，可以利用等待提示時(shí)間dn大于虛擬等待時(shí)間Dn的概率進(jìn)行控制調(diào)節(jié)，即提示可靠性調(diào)節(jié)模型[14]：

β=P(Dn

(7)

該模型通過對(duì)β的整體控制用以完成對(duì)系統(tǒng)整體的提示時(shí)間策略，從而達(dá)到不同程度的緩解系統(tǒng)擁擠的目的。本文為了突出重?fù)苄袨榈淖兓?，設(shè)定的提示策略為平均等待時(shí)間，因此無需具體設(shè)置可靠性β的變化。給定提示策略后，接下來需要進(jìn)行γ′的近似求解。

(8)

定義4隊(duì)列中途放棄條件概率rθ(n)：表示當(dāng)?shù)却?duì)列存在n個(gè)顧客時(shí)，顧客在接受等待信息提示后，留在隊(duì)列最后選擇中途放棄的條件概率，可表示為:

rθ(n)=P(T′dn)

(9)

同時(shí)，由于T′的耐心系數(shù)權(quán)重表達(dá)，中途放棄概率可以寫成：

rθ(n)=P(θtk+(1-θ)dndn)

(10)

進(jìn)一步計(jì)算，得到

(11)

結(jié)合Dn的分布條件表達(dá)，rθ(n)可表達(dá)為

(12)

通過提示策略可以確定提示給每位顧客的等待時(shí)間表達(dá)式，然而當(dāng)考慮顧客重?fù)苄袨闀r(shí)，此系統(tǒng)無法簡(jiǎn)單直接地獲取穩(wěn)態(tài)概率及性能指標(biāo)。因此，接下來采用一類確定型流體近似方法，構(gòu)造考慮顧客重?fù)苡绊懙牡却龝r(shí)間提示排隊(duì)模型，并且求解相應(yīng)的性能指標(biāo)。

1.3 基于流體方法的提示排隊(duì)模型近似

基于以上的等待時(shí)間提示策略，考慮顧客重?fù)苡绊懸蛩兀瑢⒁陨想S機(jī)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化近似處理，過程如下：

第一，利用連續(xù)型流體方法對(duì)考慮等待提示的排隊(duì)模型進(jìn)行近似，具體地，通過連續(xù)型狀態(tài)空間表示相關(guān)隨機(jī)排隊(duì)模型，針對(duì)以上的排隊(duì)分析可知，該系統(tǒng)可分為現(xiàn)實(shí)空間及虛擬的重?fù)苘壍揽臻g，因此該排隊(duì)模型可利用二維空間模型表達(dá)。令向量(x1(t),x2(t))表示連續(xù)型狀態(tài)空間的狀態(tài)變量，x1(t)表示t(t≥0)時(shí)刻現(xiàn)實(shí)空間中系統(tǒng)的顧客數(shù)量，即正在服務(wù)的顧客與排隊(duì)隊(duì)列中的顧客數(shù)之和，x2(t)表示t(t≥0)時(shí)刻在虛擬的重?fù)苘壍揽臻g中顧客數(shù)量。結(jié)合首次到達(dá)與重?fù)艿竭_(dá)，系統(tǒng)總觀測(cè)到達(dá)率λ0為

λ0(t)=λ(t)+δx2(t)

(13)

第二，利用行為分析表示該連續(xù)性空間流量變化，現(xiàn)實(shí)空間流量x1(t)的變化取決于顧客四類行為因素： “直接退出1”和“直接退出2”，中途放棄及獲取服務(wù)。首先，直接退出的行為因素包括極端不耐煩顧客及等待提示導(dǎo)致的退出顧客，減去直接退出的顧客，x1(t)的實(shí)際進(jìn)入流量為(1-α0)(1-pb(x1(t)-s))λ0(t)，其中，α0表示t(t≥0)時(shí)刻現(xiàn)實(shí)空間中根據(jù)極端不耐煩顧客的概率，也就是系統(tǒng)顧客數(shù)為x1(t)時(shí)的“直接退出1”概率；pb(x1(t)-s)表示t(t≥0)時(shí)刻現(xiàn)實(shí)空間中根據(jù)等待提示放棄的概率，即當(dāng)系統(tǒng)顧客數(shù)x1(t)為時(shí)的“直接退出2”概率。

中途放棄行為導(dǎo)致的x1(t)的流出率，利用式(12)的中途放棄條件概率的計(jì)算方法，可得當(dāng)t(t≥0)時(shí)刻系統(tǒng)顧客數(shù)為x1(t)時(shí)，中途放棄的條件概率為rθ(x1(t)-s)，此時(shí)中途放棄行為導(dǎo)致的流出量x1(t)為(1-α0)(1-pb(x1(t)-s))rθ(x1(t)-s)λ0(t)。值得注意的是，還可以根據(jù)顧客更新耐心時(shí)為指數(shù)分布的假設(shè)，表達(dá)另一種中途放棄行為導(dǎo)致的x1(t)流出量為γ′max(x1(t)-s,0)，因此可得：

γ′max(x1(t)-s,0)

=(1-α0)(1-pbx1(t)-s))rθ(x1(t)-s)λ0(t)

(14)

獲得服務(wù)行為導(dǎo)致的x1(t)的流出率，可以寫作μmax(x1(t),s)。

第三，考慮穩(wěn)態(tài)條件下，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)。首先，現(xiàn)實(shí)空間緩沖區(qū)中顧客數(shù)x1(t)的總變化率如下：

γ′max(x1(t)-s,0)-μmax(x1(t),s)

(15)

在虛擬軌道空間上，顧客數(shù)x2(t)的增加來源于直接退出和中途放棄兩類行為，該軌道空間流量的減少來源于重?fù)苄袨榈陌l(fā)生，因此有

γ′max(x1(t)-s,0))-δx2(t)

(16)

當(dāng)排隊(duì)系統(tǒng)達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，滿足條件

(17)

因此，可得穩(wěn)態(tài)下兩個(gè)狀態(tài)變量趨于常數(shù)

(18)

當(dāng)系統(tǒng)低負(fù)荷的場(chǎng)景下ρ≤1時(shí)，虛擬軌道空間上的顧客流量數(shù)x2(t)穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)水平為0，此時(shí)流體近似方法提供的系統(tǒng)重?fù)苈市畔⒄`差較大。因此，重點(diǎn)考察超負(fù)荷ρ>1場(chǎng)景時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)的變化過程，此時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)條件下滿足x1≥s，并且max(x1-s,0)=x1-s與min(x1,s)=s。由以上條件可以構(gòu)造以(γ′,x1,x2)為向量解的方程組，

(19)

對(duì)應(yīng)地，式(19)中“直接退出2”概率pb(x1-s)與“中途放棄”條件概率rθ(x1-s)分別通過式(2)與式(12)的未知量γ′進(jìn)行計(jì)算，并利用式(13)獲取被觀測(cè)到達(dá)率λ0。由此，該排隊(duì)系統(tǒng)的性能指標(biāo)可以根據(jù)求解式(19)中三維向量(γ′,x1,x2)獲得。

1.4 基于流體方法的呼叫排隊(duì)模型求解

針對(duì)流體近似方法建立的呼叫排隊(duì)模型，設(shè)計(jì)一類蒙特卡洛計(jì)算方法[15]求解式(19)中向量解(γ′,x1,x2)，從而獲取系統(tǒng)的相應(yīng)性能指標(biāo)。具體地，f為表示式(19)的方程組函數(shù)，y為解向量。算法的主要步驟如下：

步驟1參數(shù)初始化i=0，令最大搜索步數(shù)為N，步長(zhǎng)向量h，并且初始解為y0，其中h=(h1,h2,h3)，y0=(y00,y01,y03)T。并計(jì)算

F(0)=f(y0)

(20)

步驟2更新i=i+1。如果，則h=h/2，i=0。

步驟3生成正態(tài)分布的隨機(jī)向量y1，其中，y1～N(y0,Σ)，Σ=diag(h1,h2,h3)。并且計(jì)算

F(1)=f(y1+h)

(21)

步驟4如果F(1)≥F(0)，則轉(zhuǎn)回步驟2；否則進(jìn)入步驟5。

步驟5如果|F(1)|≤ε，則y1是式(20)的解；否則，令y0=y1，然后返回步驟2。

由此可以利用(γ′,x1,x2)，求解穩(wěn)態(tài)條件下基于流體近似方法的呼叫排隊(duì)模型所有性能指標(biāo)。具體地，選取顧客直接退出的概率PB，顧客中途放棄的概率PR，顧客獲得服務(wù)的概率PS，同時(shí)包含考慮重?fù)苄袨橐蛩叵?，直接退出和中途放棄后共同生成的穩(wěn)態(tài)重?fù)苈蔜r，

PB=α0+(1-α0)pb(x1-s),
PR=(1-α0)(1-pb(x1-s))rθ(x1-s),
PS=1-PR-PB,Tr=δx2

(22)

2 近似模型驗(yàn)證及結(jié)果分析

通過分別與傳統(tǒng)的解析方法與仿真方法兩種不同的構(gòu)造方法對(duì)比，共同驗(yàn)證等待提示排隊(duì)系統(tǒng)中流體近似方法的有效性與精確性。首先，針對(duì)等待提示機(jī)制影響下的排隊(duì)模型，不考慮顧客重?fù)苄袨榍疤嵯?，通過流體近似方法與傳統(tǒng)的馬爾科夫方法兩類方法的對(duì)比分析，驗(yàn)證流體方法對(duì)此類高負(fù)荷排隊(duì)系統(tǒng)近似的有效性；其次，針對(duì)1.3節(jié)中的考慮等待提示機(jī)制及顧客重?fù)艿呐抨?duì)模型，由于該模型的高度復(fù)雜性，目前沒有解析方法的相關(guān)成果研究，僅能進(jìn)行流體近似方法與仿真方法建立的排隊(duì)提示模型對(duì)比，從而驗(yàn)證復(fù)雜排隊(duì)系統(tǒng)的近似有效性。其中，流體近似模型與解析模型采用Matlab實(shí)現(xiàn)，仿真模型采用C++實(shí)現(xiàn)，在Microsoft Visual Studio 2018 開發(fā)環(huán)境下運(yùn)行。所有數(shù)值實(shí)驗(yàn)在Intel(R)，Core(TM)i7-520M CPU，2.9GHz，4.00GB內(nèi)存的計(jì)算機(jī)上進(jìn)行。

2.1 基于馬爾科夫方法的等待提示模型驗(yàn)證分析

參照文獻(xiàn)[4]提出的考慮等待提示的排隊(duì)模型，該模型利用馬爾可夫近似的方法進(jìn)行等待提示時(shí)間預(yù)測(cè)，并且求解相應(yīng)的系統(tǒng)性能。首先針對(duì)無重?fù)苄袨榈牡却崾九抨?duì)系統(tǒng)，對(duì)比文獻(xiàn)[4]的解析方法進(jìn)行驗(yàn)證分析。同樣地，通過流體近似方法構(gòu)造該等待提示系統(tǒng)，排隊(duì)系統(tǒng)狀態(tài)變量?jī)H含t(t≥0)時(shí)刻現(xiàn)實(shí)空間中顧客數(shù)量x1(t)，由于無重?fù)苄袨?，此時(shí)顧客首次到達(dá)率λ即為被觀測(cè)到達(dá)率。參照式(19)構(gòu)造方法，可得以(γ′,x1)為向量解的系統(tǒng)方程：

(23)

同樣地通過蒙特卡洛算法求解式(23)，可以獲得無顧客重?fù)艿牡却崾鞠到y(tǒng)的性能指標(biāo)PB與PR。接下來，在該無重?fù)艿牡却崾九抨?duì)模型中，利用流體近似方法與馬爾可夫近似方法[4]求解的直接退出概率PB及中途放棄概率PR比較，進(jìn)而驗(yàn)證流體方法對(duì)該排隊(duì)系統(tǒng)近似的有效性。為了驗(yàn)證近似方法的性能指標(biāo)差值，定義顧客直接退出及中途放棄兩類行為相對(duì)誤差值，例如顧客直接退出概率的相對(duì)誤差值為|PB(流體)-PB(隨機(jī))|/PB(隨機(jī))。選取系統(tǒng)參數(shù)μ=1，γ=0.8，θ=0.1，α0=0.05，以下無特殊說明則相關(guān)參數(shù)設(shè)置不變。

首先，固定系統(tǒng)的人力資源配置水平s=20，如表1所示，通過顧客首次到達(dá)率λ的變化從而變換系統(tǒng)負(fù)荷ρ的值，分別獲取兩類方法的放棄行為指標(biāo)的相對(duì)誤差結(jié)果。隨著ρ逐漸增大，流體近似方法的相對(duì)誤差值大幅降低，說明流體方法的精度隨著系統(tǒng)負(fù)荷增加而增加，直至趨于解析方法的結(jié)果，符合對(duì)流體近似方法的變化原理預(yù)期。此外，直接退出的近似效果明顯好于中途放棄的近似效果，原因可能是由于兩類方法的“中途放棄”行為均需要中途放棄率γ′的雙層近似，兩部分近似疊加而從而導(dǎo)致兩類方法的不精確性，誤差值增加。

表1 無重?fù)苄袨榈牡却崾鞠到y(tǒng)的性能比較s=20

其次，固定ρ=150%，如表2所示，考察人力資源配置水平s不斷增加下，系統(tǒng)規(guī)模增大導(dǎo)致流體方法的近似精度變化。當(dāng)s逐漸增大，兩類方法的性能指標(biāo)誤差值逐漸降低，說明在該場(chǎng)景下流體近似方法的精度隨著s的增加而增加。與表1的對(duì)比下，s變化導(dǎo)致的誤差變化幅度明顯小于系統(tǒng)負(fù)荷產(chǎn)生的作用幅度，綜合兩表說明系統(tǒng)負(fù)荷是影響流體方法近似效果的關(guān)鍵因素，并且大規(guī)模呼叫中心同時(shí)系統(tǒng)負(fù)荷較大時(shí)，流體方法具有較好的近似效果。

表2 無重?fù)苄袨榈牡却崾鞠到y(tǒng)的性能比較ρ=1.5

2.2 基于仿真方法的近似排隊(duì)模型驗(yàn)證分析

考慮顧客重?fù)苄袨闀r(shí)，由于傳統(tǒng)的隨機(jī)方法[4]無法進(jìn)行近似求解系統(tǒng)性能，利用仿真方法構(gòu)建等待提示排隊(duì)模型，用以對(duì)照1.3節(jié)所提出的流體近似方法模型下的系統(tǒng)指標(biāo)，從而驗(yàn)證確定型流體方法的近似質(zhì)量。具體地，流體方法利用蒙特卡洛算法求解式(19)，從而獲得模型的相關(guān)性能。仿真模型采用的是離散事件仿真技術(shù)[16]，即利用事件的變化描述系統(tǒng)狀態(tài)隨時(shí)間的推進(jìn)。該仿真模型為穩(wěn)態(tài)仿真，利用重復(fù)刪除法，仿真結(jié)果采用500次重復(fù)仿真所取均值。

首先，考察兩種方法下，重?fù)苈实南鄬?duì)誤差結(jié)果。如表3所示，選取p=0.5與δ=0.5，固定系統(tǒng)的人力資源配置水平s=20，通過顧客首次到達(dá)率λ的變化從而變換系統(tǒng)負(fù)荷ρ的值，從而觀察流體方法與仿真模型兩類方法獲取的Tr誤差結(jié)果。與傳統(tǒng)馬爾科夫方法對(duì)比結(jié)論相同，當(dāng)ρ=100%時(shí)，流體近似方法誤差較大，誤差率達(dá)到100%，而隨著系統(tǒng)負(fù)荷增加，流體方法的近似精度逐漸提高直至趨于精確的結(jié)果，符合1.3節(jié)中的假設(shè)分析。

表3 考慮重?fù)苄袨榈姆抡娣椒ㄅc流體方法性能比較s=20

其次，選取p=0.5，當(dāng)重?fù)芊祷貢r(shí)間分布率δ=0.2，δ=0.5，δ=0.8三種情況時(shí)，流體方法的近似相對(duì)誤差變化規(guī)律。如圖3所示，隨著ρ逐漸增大，不同重?fù)芊祷貢r(shí)間分布率下的重?fù)苈蔜r相對(duì)誤差值全部降低，直到趨近0，說明流體方法的精度隨著系統(tǒng)負(fù)荷增加而增加，與之前的對(duì)比變化趨勢(shì)相同。并且隨著重?fù)芊祷貢r(shí)間分布率的值越大，近似精度相對(duì)更高。因此，增加考慮重?fù)苄袨榈谋尘跋?，通過與仿真方法的對(duì)比分析，驗(yàn)證了流體方法對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)近似應(yīng)用的有效性。

圖3 確定型流體近似方法的顧客重?fù)苈氏鄬?duì)誤差值

3 結(jié)論

本研究通過一類確定型的流體近似方法，克服排隊(duì)系統(tǒng)復(fù)雜的背景建模要素，針對(duì)等待信息提示的呼叫中心的服務(wù)系統(tǒng)，從排隊(duì)心理學(xué)角度出發(fā)，考慮等待過程中的顧客耐心變化，以及顧客放棄與重?fù)苄袨榈奶攸c(diǎn)，突破性地對(duì)該模式下的呼叫系統(tǒng)進(jìn)行構(gòu)造及分析，并提出了基于蒙特卡洛法的模型求解算法。通過流體模型與兩類模型的比較分析，包括“傳統(tǒng)馬爾科夫”的解析模型與“離散事件技術(shù)”的仿真模型，得出如下結(jié)論：無論是否考慮顧客重?fù)苄袨榈牡却崾九抨?duì)系統(tǒng)，對(duì)于大規(guī)模呼叫中心同時(shí)系統(tǒng)負(fù)荷較大時(shí)，流體近似方法的性能誤差值較小，即該結(jié)果表明流體方法近似效果較好?？傊?，研究結(jié)果顯示流體方法的模型表達(dá)可以快速且有效地獲得等待提示影響下排隊(duì)系統(tǒng)性能，對(duì)于考慮等待時(shí)間提示的呼叫系統(tǒng)運(yùn)營(yíng)具有重要指導(dǎo)作用。