經(jīng)歷估測 建立猜想 轉(zhuǎn)化驗證 提升素養(yǎng)
——關(guān)于“圓的面積”的教材對比與教學(xué)嘗試

翟運(yùn)勝（特級教師）

一、“圓的面積”教材版本對比

圓是學(xué)生在小學(xué)階段學(xué)的最后一個平面圖形，也是在小學(xué)階段唯一要學(xué)習(xí)的曲線圖形。圓在第一、二學(xué)段的數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)著重要地位，具有較高的教育價值。由于圓是曲線圖形，探索它的面積公式比直線圖形要稍難一些。在探索圓的面積公式的過程中可以使學(xué)生進(jìn)一步體會“轉(zhuǎn)化”的思想方法，滲透極限思想，增強(qiáng)空間觀念，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提升核心素養(yǎng)。各種版本的數(shù)學(xué)教材在編排“圓的面積推導(dǎo)”這部分內(nèi)容時，都力圖充分體現(xiàn)這一知識點的教育教學(xué)價值，讓學(xué)生在經(jīng)歷中成長?？v觀人教版、蘇教版、北師大版、浙教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中關(guān)于“圓的面積”的編排，大致可以分成兩類：一類是直奔主題，直截了當(dāng)，如北師大版、人教版；另一類是估計猜測，推導(dǎo)公式，如蘇教版、浙教版。

1.編排類型一：直奔主題，直截了當(dāng)。

北師大版（圖1）在編排“圓的面積”時，直接提問：如何得到一個圓的面積呢？學(xué)生以往的經(jīng)驗是數(shù)格子，但是由于圓是一個曲線圖形，會出現(xiàn)不滿整格的現(xiàn)象，這種方法僅能求出一個圓的大約面積，不能迅速準(zhǔn)確地求出圓的面積，顯然是不方便使用的?；谝延械臄?shù)學(xué)活動經(jīng)驗，學(xué)生順理成章地想到能否把圓轉(zhuǎn)化成以前學(xué)過的圖形，在這個過程中，強(qiáng)化了學(xué)生轉(zhuǎn)化的意識，提升了遷移類推的能力。這樣的編排相對直接，教師課堂教學(xué)實施相對比較容易，對學(xué)生可能想到的探究路徑進(jìn)行充分地預(yù)設(shè)與應(yīng)對，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，容易引發(fā)學(xué)生的探究興趣。

圖1

人教版教材在編排“圓的面積”教學(xué)時，與北師大版教材類似，創(chuàng)設(shè)了這樣一個問題情境：每平方米草皮8 元，這個圓形草坪的占地面積是多少平方米？引導(dǎo)學(xué)生提問：怎樣計算一個圓的面積，引發(fā)學(xué)生探求圓面積的內(nèi)在需要。在教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生想一想能否把圓轉(zhuǎn)化成以前學(xué)過的圖形，從而推導(dǎo)出圓面積的計算公式。這樣的編排在常態(tài)化的實施過程中，有的教師會直接演示把圓沿著直徑切開，拼擺成近似的長方形推導(dǎo)出公式，教學(xué)過程中學(xué)生有可能會成為“操作工”。教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)給學(xué)生嘗試、遇阻、折回，找最佳切割方式的機(jī)會，組織引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷思維曲折的探索過程。

2.編排類型二：估計猜測，推導(dǎo)公式。

蘇教版教材在編排“圓的面積”（圖2）教學(xué)時，設(shè)置了兩個例題，例7 是引導(dǎo)學(xué)生體會圓的面積與半徑的平方之間的關(guān)系。在此之前，學(xué)生沒有探究圓面積計算的需求，需要教師另外設(shè)計課堂教學(xué)，考慮到常態(tài)課的教學(xué)狀況，如果能把創(chuàng)設(shè)面積計算的情境隱含在其中，對一線教師能有所暗示就更好了。在例7 中，以正方形的邊長為半徑畫出大小不同的圓，讓學(xué)生借助正方形來估計圓的面積，通過數(shù)格子計算圓的面積大約是正方形的幾倍，也就是半徑的平方的幾倍。從而發(fā)現(xiàn)圓的面積與半徑的平方之間的關(guān)系。例8 則是把圓等分成若干份，然后拼成長方形來推導(dǎo)出圓的面積公式。在這個過程中發(fā)展學(xué)生有序思考和簡單推理的能力。在實際教學(xué)時，這兩個例題放在一節(jié)課中，在家常課的狀態(tài)下，一節(jié)課的教學(xué)時間是挺緊張的。從例7 的教學(xué)來看，教師引導(dǎo)組織的痕跡比較重，學(xué)生多是在教師的指令與點撥下操作與思考。因為一般情況下，學(xué)生很難想到以正方形的邊長為半徑畫出大小不同的圓，以此探索圓的面積除以它的半徑的平方是否存在規(guī)律。人類對于圓面積的研究經(jīng)歷了千百年的時間，想在一節(jié)課中幫助學(xué)生經(jīng)歷這一過程，自然需要教師精心地預(yù)設(shè)、點撥和講授。沒有教師點撥引導(dǎo)，學(xué)生很難想到借助正方形來嘗試求圓的面積，體會圓的面積可能是這樣的正方形面積的幾倍，也就是半徑的平方的幾倍，然后再通過例8 的公式推導(dǎo)進(jìn)行驗證。

圖2

浙教版教材在編排“圓的面積”（圖3）這部分內(nèi)容時，同樣也采用了類似估計與猜測的編排，引導(dǎo)學(xué)生思辨：圓的面積與小正方形的面積（圓的半徑的平方）有什么關(guān)系，利用圖形中的不同顏色來幫助學(xué)生思考。由于有顏色區(qū)分的暗示，多數(shù)學(xué)生能夠理解圓的面積大于它半徑的平方的2 倍，小于半徑的平方的4 倍。不過浙教版沒有安排數(shù)格子來具體計算圓的面積與小正方形面積之間的倍數(shù)關(guān)系。教學(xué)實踐證明，學(xué)生在數(shù)格子計算圓的面積時，很難把格子數(shù)清楚。在計算公式推導(dǎo)的過程中，不僅組織學(xué)生把等分后剪開的圓形拼成長方形，還引導(dǎo)學(xué)生把等分后剪開的圓形拼成梯形、三角形或者是把圓形等分成32 份后不剪開，把其中的一份看作是一個小三角形，從而推導(dǎo)出圓的面積計算公式。這個編排以數(shù)學(xué)知識內(nèi)在的魅力吸引學(xué)生，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)研究興趣。此處對學(xué)生的操作要求與思維能力，以及教師的課堂駕馭能力提出了較高的要求，學(xué)力水平較低的班級不適合采用這種教學(xué)方式。

圖3

二、思考：估計猜測的環(huán)節(jié)是否必要呢？

北師大版與人教版在編排中直截了當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生把圓的面積轉(zhuǎn)化成已學(xué)圖形，從而推導(dǎo)出圓面積的計算，此內(nèi)容較利于家常課的教學(xué)開展，而估測環(huán)節(jié)似乎不是必需的。蘇教版與浙教版在編排圓的周長計算時，借助一個圓的外切正方形和一個內(nèi)接的正六邊形，確定了圓的周長與直徑之間關(guān)系的范圍，從而使猜測有據(jù)可依，并通過這一過程培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。遵循這一設(shè)計思路，在編排圓的面積探索學(xué)習(xí)時，也加入了這樣一個估計猜測的環(huán)節(jié)，從提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的角度來看顯然是必要的，并且滲透了探究方法的習(xí)得。不同地域?qū)W生的學(xué)習(xí)背景差異較大，無論采用哪一種編排，在實施教學(xué)中都應(yīng)當(dāng)結(jié)合學(xué)生實際情況而定，不可概而論之。不過，即便加入這個猜測過程，也應(yīng)當(dāng)重新設(shè)計，讓學(xué)生在真實經(jīng)歷曲折探索的過程中提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

三、教學(xué)嘗試

1.創(chuàng)設(shè)情境，引起探究欲望。

師：（出示一個自動旋轉(zhuǎn)噴水器動畫）它旋轉(zhuǎn)一周所噴灌的地方是一個什么樣的圖形呢？

生：圓形。

師：關(guān)于圓我們已經(jīng)知道些什么？

（學(xué)生依次說出圓心、半徑、直徑、周長等相關(guān)的知識點）

師：根據(jù)這個情境，你會提出什么樣的問題呢？

生：自動旋轉(zhuǎn)噴水器旋轉(zhuǎn)一周所噴灌的土地面積是多少？

2.建立猜想，引發(fā)驗證需要。

師：這其實就是求圓的面積，通過對圓的周長的探索學(xué)習(xí)，我們得出了這樣一個結(jié)論：圓的周長是它直徑的π 倍，也就是三倍多一些。對于圓的面積，你會有怎樣的猜想呢？

生：圓的面積是不是與直徑之間有固定不變的倍數(shù)呢？

生：圓的面積與半徑之間是不是有固定不變的倍數(shù)呢？

師：（出示半徑為3cm、4cm、5cm 的圓）我們怎樣知道這些圓的面積，有什么方法嗎？

圖4

生：我們可以采用數(shù)方格的辦法來求出圓的面積。

師：為了方便數(shù)方格與計算，我們借助了與圓有一定關(guān)系的正方形，先數(shù)出四分之一圓的面積，再計算出整個圓的面積。

師：由于圓是曲線圖形，像圖中對角線兩端的兩個方格，非常接近滿格的算作滿格，其余不滿一格的按半格計算。

（學(xué)生填一填，然后依次匯報，完成下表）

?

師：你有什么發(fā)現(xiàn)呢？

生：我們發(fā)現(xiàn)用圓的面積除以半徑以后，商并不是一個固定不變的數(shù)。

師：用圓的面積去除以相應(yīng)圓的直徑呢？

（學(xué)生用計算器計算發(fā)現(xiàn)，圓的面積與直徑之間也沒有固定的倍數(shù)關(guān)系）

師：看來圓的面積與半徑和直徑都沒有明確的倍數(shù)關(guān)系，那么它與什么有關(guān)系呢？請看下圖。

（課件依次出示）

圖5

師：從這幅圖中，你能得出圓的面積與小正方形之間有怎樣的關(guān)系呢？先獨(dú)立思考，再小組討論。

生：圓的面積一定小于正方形面積的4 倍。

生：圓的面積一定大于正方形面積的2 倍。

師：圓的面積大于正方形面積的2 倍，而小于正方形面積的4 倍。

師：小正方形的邊長是圓的半徑，這句話還可以怎樣說呢？

生：圓的面積大于它半徑的平方的2 倍，而小于它半徑平方的4 倍。

師：根據(jù)這幅圖，你又會提出怎樣的猜想呢？

生：圓的面積會不會與半徑的平方之間有固定不變的倍數(shù)關(guān)系呢？

（教師出示下面的表格，學(xué)生填寫）

?

師：觀察表格，你有什么發(fā)現(xiàn)呢？

生：我發(fā)現(xiàn)圓的面積大約是它半徑的平方的3.1倍。

生：圓的面積大約是半徑的平方的3 倍多一些。

師：據(jù)此，你又會提出怎樣的猜想呢？

生：都是三倍多一點，這個數(shù)會不會就是圓周率呢？圓的面積會不會就是圓半徑的平方的π 倍呢？

師：大家真了不起！下面我們就來驗證這一猜想。

3.轉(zhuǎn)化推導(dǎo)，經(jīng)歷驗證過程。

師：同學(xué)們回憶一下，以前我們是用什么方法來推導(dǎo)平面圖形的面積計算公式呢？

生：通過剪、拼、旋轉(zhuǎn)等方法把新圖形轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的圖形。

師：圓的面積計算公式是不是也能這樣獲得呢?

生：我們可以嘗試一下，把圓轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的圖形。

師：好!要注意從哪兒下手剪拼最有可能轉(zhuǎn)化成所學(xué)過的平面圖形。

生：既然圓的面積和它的半徑有關(guān)，我們想沿著圓的半徑剪開。

師：究竟可不可以，我們來試試看。先把圓4 等分，誰來擺一擺？

學(xué)生操作如下（圖6）：

圖6

師：你還想把圓等分成多少份呢？（8 份）我們把這個圓平均分成8 份，再觀察這個圖形，你有什么發(fā)現(xiàn)呢？

學(xué)生操作如下（圖7）：

圖7

師：你們也想自己動手拼一拼嗎？老師在你們的材料袋里放了將圓16 等分的紙片，拿出來拼一拼，貼在《研學(xué)單》上。

師：從展示的幾組由圓轉(zhuǎn)化而來的圖形中你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：隨著份數(shù)的增加，平行四邊形的底這條曲線看起來就越來越直了。

師：想象一下，照這樣再平均分下去會怎樣呢？

生：拼成的圖形會變成一個長方形。

教師課件演示把圓等分成（64 份、128 份、256份……），學(xué)生由衷地發(fā)出贊嘆聲（圖8）。

圖8

師：你有什么發(fā)現(xiàn)呢？誰來代表你們小組匯報一下？

生：長方形的長是圓周長的一半，用字母表示就是πr，長方形的寬相當(dāng)于平行四邊形的高，是圓的半徑r。圓的面積公式就是：S=πr×r=πr2。

師：通過這個推導(dǎo)過程，驗證了我們的猜想，那就是——

生：圓的面積果然是它半徑的平方的π 倍！

師：“果然”一詞用得真好。到目前為止，我們發(fā)現(xiàn)了圓蘊(yùn)含著一個規(guī)律，圓的周長是它半徑的2π倍，圓的面積是它半徑的平方的π 倍?；叵胍幌?，我們是怎樣探索圓面積的呢？

生：我們是從圓的周長是它直徑的π 倍，推想圓的面積會不會也是直徑或是半徑的固定的倍數(shù)。

師：然后呢？

生：我們發(fā)現(xiàn)圓的面積除以直徑或是半徑不是一個固定不變的數(shù)，借助一個邊長是半徑的小正方形，我們發(fā)現(xiàn)圓的面積小于圓半徑的平方的4 倍，而大于圓的半徑的2 倍。

生：通過數(shù)格子計算得出圓的面積是它半徑的平方的3.1 倍，我們就猜想圓的面積會不會是它半徑的平方的π 倍。

師：再然后呢？

生：我們把圓轉(zhuǎn)化成長方形，推導(dǎo)出圓的面積，從而驗證了圓的面積果然是它半徑的平方的π 倍。

師：我們在其中運(yùn)用了推想、猜測、轉(zhuǎn)化等探究數(shù)學(xué)問題的方法。

師：其實，16 世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家開普勒就對圓的面積進(jìn)行過深入的探究。

（課件視頻介紹，圖9）

圖9

四、教后思考

在上面的教學(xué)過程中，教師首先組織學(xué)生猜測：圓的面積可能與什么有關(guān)系？學(xué)生一般會猜測圓的面積與半徑或是直徑有關(guān)系，這是不容忽視的事實。教師點撥：圓的周長除以它的半徑或者直徑的商是一個固定不變的數(shù)，那么，對于圓的面積你會有怎樣的猜想呢？學(xué)生通過圓的周長計算的類比推理，自然而然地提出第一個猜想：圓的面積除以它的半徑或者直徑，是一個固定不變的數(shù)。學(xué)生再通過數(shù)格子的方式得出圓的面積，用圓的面積除以它的半徑與直徑?jīng)]有得出一個固定的數(shù)。此時研究似乎走進(jìn)了一個“死胡同”，教師的引導(dǎo)作用就充分體現(xiàn)了出來，組織學(xué)生觀察圓的面積與那個小正方形之間的關(guān)系，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)圓的面積與它半徑的平方之間的倍數(shù)關(guān)系范圍，提出了第二個猜想：圓的面積與它半徑的平方之間的倍數(shù)會不會是一個固定不變的數(shù)呢？學(xué)生再用圓的面積除以它半徑的平方，發(fā)現(xiàn)了商都是三倍多一點。提問：據(jù)此，你又會有怎樣的猜想呢？學(xué)生提出了第三個猜想：圓的面積除以它半徑的平方的商，會是一個固定不變的數(shù)嗎？這個倍數(shù)是三倍多一點，會是圓周率嗎？至此，學(xué)生三次提出猜想，在迂回中不斷接近問題的本質(zhì)。帶著猜想，學(xué)生把圓轉(zhuǎn)化成已知圖形，從而推導(dǎo)出圓的面積公式，驗證了猜想。學(xué)生經(jīng)歷了推想、猜測、操作、轉(zhuǎn)化的過程，教師適時引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)探索方法，授之以漁，從而促進(jìn)推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升。