RLC諧振與物理共振的原理共性

李潮銳

(中山大學(xué) a.物理學(xué)院；b.物理國家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，廣東 廣州 510275)

核磁共振是量子現(xiàn)象，但通常本科量子力學(xué)課程未能對(duì)核磁共振吸收頻域展寬和時(shí)域弛豫給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撁枋?，從而也增加了核磁共振?shí)驗(yàn)的教學(xué)難度. 由經(jīng)典振動(dòng)動(dòng)力學(xué)可知，共振展寬和弛豫等現(xiàn)象源于阻尼力(矩)的作用. 基于角動(dòng)量定理并引入阻尼力矩的核磁共振半經(jīng)典理論，可以得到與經(jīng)典共振相似的動(dòng)力學(xué)行為的布洛赫方程組. 另一方面，由于RLC電路穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)過程與經(jīng)典受迫、共振和阻尼振動(dòng)等現(xiàn)象的頻域和時(shí)域特性相似[1],可以認(rèn)為RLC諧振、經(jīng)典共振和核磁共振(布洛赫方程組)三者具有明顯的物理原理共性. 關(guān)注上述邏輯關(guān)系，既有助于深刻理解核磁共振的物理原理，又使核磁共振實(shí)驗(yàn)事實(shí)更加淺顯易懂. 相對(duì)于經(jīng)典振動(dòng)實(shí)驗(yàn)觀測，RLC電路諧振特性測量方法更簡單，且易于調(diào)節(jié)實(shí)驗(yàn)條件而直觀地展示共振展寬和弛豫等實(shí)驗(yàn)事實(shí). 文獻(xiàn)[2-4]已介紹RLC電路相位測量及其阻抗或?qū)Ъ{分析方法，本文重點(diǎn)分析RLC電路中各元件(或組合)的作用及其與共振物理參量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系. 根據(jù)基爾霍夫電壓定律和電流定律分別建立RLC串聯(lián)電路和并聯(lián)電路的二階微分方程， 分析表明RLC串聯(lián)電路中電容C兩端的電壓和RLC并聯(lián)電路中電感L兩端的電壓分別類似于經(jīng)典振動(dòng)的振動(dòng)位移和振動(dòng)速度，利用頻域和時(shí)域?qū)嶒?yàn)事實(shí)展示RLC電路與經(jīng)典振動(dòng)的物理共性. 由布洛赫方程組得到核磁共振半經(jīng)典動(dòng)力學(xué)描述，結(jié)合核磁共振實(shí)驗(yàn)事實(shí)，凸顯RLC諧振、經(jīng)典共振和核磁共振的原理共性.

1 實(shí)驗(yàn)技術(shù)方法

RLC串聯(lián)電路如圖1所示，電感L、電容C、(波段開關(guān))步進(jìn)式電位器RS和電壓源(經(jīng)隔離變壓器)組成串聯(lián)回路. 回路串聯(lián)電阻R由電位器RS和電感L的內(nèi)部損耗電阻RL串聯(lián)而成的等效電阻.

圖1 RLC串聯(lián)實(shí)驗(yàn)接線圖

觀測響應(yīng)量uC及duC/dt穩(wěn)態(tài)頻域特性時(shí)，使用泰克示波器MDO4034觀測1～5間電壓uE、3～4間電壓uC(使用差分探頭)和2～3間電壓uS. MDO4034內(nèi)置波形發(fā)生器提供頻率可調(diào)的簡諧源信號(hào).

觀測響應(yīng)量uC及duC/dt暫態(tài)時(shí)域過程時(shí)，信號(hào)采樣方法同上. MDO4034內(nèi)置波形發(fā)生器輸出合適固定頻率的方波源信號(hào).

RLC并聯(lián)電路如圖2所示，電感L、電容C和(波段開關(guān))步進(jìn)式電位器RP先并聯(lián)，再與取樣電阻RS和電壓源(經(jīng)隔離變壓器)組成回路.RLC并聯(lián)回路等效電阻R由電位器RP和電感L的內(nèi)部損耗電阻RL并聯(lián)而成.

圖2 RLC并聯(lián)實(shí)驗(yàn)接線圖

觀測響應(yīng)量變化率diL/dt穩(wěn)態(tài)頻域過程時(shí)，使用泰克示波器MDO4034觀測1～5間電壓uE、3～4間電壓uC(使用差分探頭)和2～3間電壓uS.RLC并聯(lián)回路驅(qū)動(dòng)電流iE由取樣電阻RS兩端壓降uS求得. MDO4034內(nèi)置波形發(fā)生器提供頻率可調(diào)的簡諧源信號(hào).

實(shí)驗(yàn)元件參量：C=13.25 nF，L=19.63 mH，損耗電阻RL=82.39 Ω. 圖1中RS步進(jìn)阻值39 Ω；圖2中RP步進(jìn)阻值39 kΩ，取樣電阻RS=99.16 Ω.

采用文獻(xiàn)[5]方法測量核磁共振穩(wěn)態(tài)吸收，使用蘇州紐邁核磁共振成像分析儀NMI120-015V-I觀測橫向弛豫. 實(shí)驗(yàn)樣品為CuSO4飽和水溶液.

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

2.1 RLC串聯(lián)諧振特性

根據(jù)基爾霍夫電壓定律，圖1RLC串聯(lián)回路電壓滿足

uL+uR+uC=uE

,

(1)

其中，uL，uR和uC分別為電感L、電阻R和電容C兩端電壓(壓降)，uE為信號(hào)源經(jīng)隔離變壓器輸出電壓. 若回路電流為i，則

(2)

(3)

(4)

考慮信號(hào)源輸出電壓為uE=u0cos (ωt)情形，將式(3)和(4)代入式(1)，可得

(5)

若以u(píng)0cos (ωt)為激勵(lì)而uC為響應(yīng)量，式(5)與彈簧振子的動(dòng)力學(xué)方程[6]比較可知，式(5)左側(cè)分別為慣性項(xiàng)、阻尼項(xiàng)和彈性項(xiàng)，右側(cè)為激勵(lì)項(xiàng)(或策動(dòng)項(xiàng)). 式(5)可改寫為

(6)

uC=A0(ω)cos (ωt+φ)+B0(ω1)e-β tcos (ω1t+φ1),

(7)

2.1.1RLC串聯(lián)穩(wěn)態(tài)頻域

由上述分析可知，RLC串聯(lián)電路由式(6)描述電容C兩端電壓uC對(duì)電壓源信號(hào)u0cos (ωt)激勵(lì)作用的響應(yīng). 實(shí)驗(yàn)事實(shí)也顯示穩(wěn)態(tài)過程uC與激勵(lì)源信號(hào)u0cos (ωt)存在相位差φ，而且響應(yīng)量uC穩(wěn)態(tài)過程幅值A(chǔ)0(ω)和相位φ都隨激勵(lì)頻率而改變.

圖3 RLC串聯(lián)響應(yīng)量幅值及其相位頻率特性

由式(3)可知，若測量RLC串聯(lián)電路中電阻R兩端電壓uR獲得回路電流i，則可得響應(yīng)量uC變化率duC/dt的實(shí)驗(yàn)值. 由于電阻R包含了電感損耗電阻RL而無法直接測量電壓uR，實(shí)驗(yàn)改由測量電位器RS兩端的電壓uS獲得回路電流i.

考慮RLC串聯(lián)回路的電流i關(guān)系

(8)

可得

(9)

由式(9)可知，通過測量RS兩端電壓uS可得到響應(yīng)量uC變化率duC/dt的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).

圖4顯示與圖3相同實(shí)驗(yàn)參量的穩(wěn)態(tài)過程響應(yīng)量變化率duC/dt的幅值和相位隨頻率變化情況. 與圖3比較可知，圖4所示響應(yīng)量變化率duC/dt的相位比響應(yīng)量uC的相位超前π/2. 由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可見，RLC串聯(lián)電路穩(wěn)態(tài)過程響應(yīng)量變化率duC/dt與彈簧振子的振動(dòng)速度的物理過程相似.

圖4 RLC串聯(lián)響應(yīng)量變化率幅值及其相位頻率特性

2.1.2RLC串聯(lián)暫態(tài)時(shí)域

考慮電壓源輸出信號(hào)為低頻方波，即uE交替輸出2個(gè)不同電平信號(hào)，使電容C兩端電壓uC都經(jīng)歷了暫態(tài)過程才到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)，或稱弛豫過程. 在弱阻尼情形，RLC串聯(lián)響應(yīng)量uC及其變化率duC/dt暫態(tài)時(shí)域過程如圖5所示. 圖5結(jié)果實(shí)驗(yàn)條件：方波幅值Vpp=5.00 V，頻率f=500 Hz，步進(jìn)式電位器阻值為38.50 Ω.

圖5 RLC串聯(lián)電路響應(yīng)量及其變化率暫態(tài)過程

響應(yīng)量uC暫態(tài)過程由式(7)右側(cè)第2項(xiàng)描述,

uC=B0(ω1)e-t/τcos (ω1t+φ1),

(10)

其中，τ=1/β為衰減時(shí)間或弛豫時(shí)間. 由式(10)可知，響應(yīng)量變化率duC/dt暫態(tài)時(shí)域具有與響應(yīng)量uC相似的衰減過程，而且由圖5的結(jié)果得到了驗(yàn)證.

上述理論分析和實(shí)驗(yàn)事實(shí)表明，RLC串聯(lián)電路響應(yīng)量uC等效于彈簧振子的振動(dòng)位移，而uR或uS則包含著響應(yīng)量變化率duC/dt信息，即類比于彈簧振子的振動(dòng)速度. 不管是圖3與圖4穩(wěn)態(tài)過程，還是圖5暫態(tài)過程，實(shí)驗(yàn)結(jié)果都顯示響應(yīng)量uC與變化率duC/dt相位差π/2. 根據(jù)式(9)由uS獲得duC/dt，且采用差分探頭解決信號(hào)共地問題，從而實(shí)現(xiàn)uC和duC/dt兩者同步測量. 圖6為RLC串聯(lián)電路諧振相圖. 可見，其結(jié)果與經(jīng)典振動(dòng)相圖[7]一致.

圖6 RLC串聯(lián)電路暫態(tài)過程相圖

2.2 RLC并聯(lián)諧振特性

根據(jù)基爾霍夫電流定律，圖2節(jié)點(diǎn)3或4處的電流滿足

iL+iR+iC=iE,

(11)

其中，iL,iR和iC分別為流經(jīng)電感L、電阻R和電容C的電流，而iE則為信號(hào)源經(jīng)隔離變壓器輸出的電流. 若RLC并聯(lián)電路兩端電壓為u，那么

(12)

(13)

(14)

考慮驅(qū)動(dòng)電流為iE=i0cos (ωt)情形，將式(13)和(14)代入式(11)，可得

(15)

若以i0cos (ωt)為激勵(lì)而iL為響應(yīng)量，同理可知，式(15)左側(cè)分別為慣性項(xiàng)、阻尼項(xiàng)和彈性項(xiàng)，右側(cè)為激勵(lì)項(xiàng)(或策動(dòng)項(xiàng)). 式(15)可改寫為

(16)

iL=C0(ω)cos (ωt+φ)+D0(ω1)e-β tcos (ω1t+φ1),

(17)

在RLC串聯(lián)電路，由式(6)分析電容C兩端電壓uC對(duì)電壓源信號(hào)u0cos (ωt)激勵(lì)作用的響應(yīng). 對(duì)RLC并聯(lián)電路，在電流源信號(hào)i0cos (ωt)激勵(lì)作用下，以流經(jīng)(純)電感L電流iL為響應(yīng)量的諧振特性則用式(16)描述. 由圖2電路可知，實(shí)驗(yàn)上難以直接測量響應(yīng)量iL，但是可以通過測量RLC并聯(lián)電路兩端電壓u再由式(12)求得響應(yīng)量變化率diL/dt. 上述分析可見：RLC并聯(lián)電路以電流激勵(lì)，而非串聯(lián)電路所用的電壓激勵(lì)；RLC并聯(lián)電路以響應(yīng)量變化率為直接測量物理量，而串聯(lián)電路則響應(yīng)量及其變化率都可以直接測量.

圖7顯示了響應(yīng)量變化率diL/dt幅值及其相位隨驅(qū)動(dòng)(策動(dòng))頻率ω變化情況. 圖7結(jié)果的實(shí)驗(yàn)條件：i0≈10.00 mA(uS=1.00 V，歸一化)，并聯(lián)RP=39 kΩ. 與RLC串聯(lián)電路所得的圖3和圖4實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較，可見RLC并聯(lián)電路穩(wěn)態(tài)過程響應(yīng)量變化率diL/dt與經(jīng)典振動(dòng)速度的物理過程相似.

圖7 RLC并聯(lián)響應(yīng)量變化率幅值和相位頻率特性

2.3 暫態(tài)弛豫與穩(wěn)態(tài)展寬

由步進(jìn)式電位器調(diào)節(jié)RS,從而改變回路電阻R，根據(jù)式(6)即可改變回路阻尼系數(shù)β. 圖8和圖9分別為不同阻尼(即不同的回路電阻R)條件下RLC串聯(lián)電路響應(yīng)量uC和變化率duC/dt幅值頻率特性. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，隨阻尼增強(qiáng)(即隨RS增大)，穩(wěn)態(tài)過程響應(yīng)量uC及其變化率duC/dt頻域半高全寬Δf逐漸增大，同時(shí)諧振頻率ω1向低頻端移.

圖8 不同阻尼情形RLC串聯(lián)uC幅值頻率特性

圖9 不同阻尼情形RLC串聯(lián)duC/dt幅值頻率特性

圖10 RLC串聯(lián)回路暫態(tài)弛豫時(shí)間τ與電阻R的關(guān)系

圖8～10結(jié)果表明，隨阻尼變化，當(dāng)穩(wěn)態(tài)過程頻域半高全寬Δf增大則其對(duì)應(yīng)的暫態(tài)時(shí)域弛豫時(shí)間τ縮短. 上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果與經(jīng)典振動(dòng)理論[6]描述一致.

圖11 不同阻尼情形RLC并聯(lián)diL/dt幅值頻率特性

2.4 核磁共振半經(jīng)典理論

根據(jù)角動(dòng)量定理并引入阻尼力矩，描述核磁共振半經(jīng)典理論的布洛赫方程為

(18)

其中，B,M,TD和γ分別為外磁場、單位體積磁矩、阻尼力矩和磁旋比.

考慮外磁場

B=[b0cos (ωt)]i-[b0sin (ωt)]j+B0k，

其中，[b0cos (ωt)]i-[b0sin (ωt)]j為圓偏振射頻磁場(激發(fā)光子)，且b0?B0,式(18)可改寫為布洛赫方程組

(19)

(20)

(21)

式中，T1和T2分別為縱向弛豫時(shí)間和橫向弛豫時(shí)間，前者描述受激核磁矩處于激發(fā)態(tài)的壽命，后者還考慮了自旋-自旋作用所引起的退相干. 顯然，T2(遠(yuǎn))小于T1. 為了簡化數(shù)學(xué)處理，分析Mx和My隨時(shí)間變化時(shí)，可近似認(rèn)為Mz不變. 同時(shí)，忽略B0不均勻性.

利用拉莫頻率ω0=γB0，且令η=γMzb0,分別對(duì)式(19)和式(20)再次微分，可得

(22)

(23)

首先，將式(19)和式(20)分別代入式(22)和式(23)右側(cè)，可得到

(24)

(25)

再利用式(19)中My與Mx和dMx/dt關(guān)系，及式(20)中Mx與My和dMy/dt關(guān)系，式(24)和式(25)可改寫為

(26)

(27)

式中，

令復(fù)數(shù)Mxy=Mx+iMy，則式(26)和式(27)可合并為

(28)

即為拉莫頻率，它與阻尼系數(shù)無關(guān). 另一差別是，簡單經(jīng)典振動(dòng)或者RLC諧振使用線偏振驅(qū)動(dòng)，而核磁共振采用圓偏振驅(qū)動(dòng). 在核磁共振過程，原子核磁矩和激發(fā)光子為整體必須同時(shí)滿足能量守恒和角動(dòng)量守恒，圓偏振驅(qū)動(dòng)是角動(dòng)量守恒所要求的. 實(shí)驗(yàn)上直接提供圓偏振激發(fā)光子是困難的，通常使用線偏振射頻場驅(qū)動(dòng). 根據(jù)線偏振可以分解為互反方向同頻圓偏振原理，其中之一可以產(chǎn)生有效核磁共振，另一個(gè)圓偏振光子則不起作用(質(zhì)子核自旋能級(jí)中不存在可被激發(fā)的其他激發(fā)態(tài)).

考慮弱阻尼情形，方程(26)和(27)的解為

Mx=ξx(ω)cos (ωt+φ)+ζx(ω0)e-t/T2cos (ω0t+φ0),

(29)

My=ξy(ω)sin (ωt+φ)+ζy(ω0)e-t/T2sin (ω0t+φ0),

(30)

上述等式中，右側(cè)兩項(xiàng)分別代表核磁共振響應(yīng)量Mx和My所描述的穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)(橫向弛豫)過程. 其中，ξx(ω)和ξy(ω)與φ分別為穩(wěn)態(tài)信號(hào)幅值及相對(duì)于激勵(lì)(激發(fā))的相位差，而ζx(ω0)和ζy(ω0)與φ0則分別為暫態(tài)信號(hào)幅值與初相位.

事實(shí)上，式(29)和式(30)描述同一物理過程在xy平面的投影，令系數(shù)ξx(ω)=ξy(ω)=ξ(ω)以及ζx(ω0)=ζy(ω0)=ζ(ω0)，式(29)和(30)可以簡化為

Mx=ξ(ω)cos (ωt+φ)+ζ(ω0)e-t/T2cos (ω0t+φ0),

(31)

My=ξ(ω)sin (ωt+φ)+ζ(ω0)e-t/T2sin (ω0t+φ0).

(32)

在上述分析中，考慮了T2(遠(yuǎn))小于T1，并假設(shè)在Mx和My變化過程中Mz近似不變. 盡管圖12實(shí)驗(yàn)結(jié)果來自縱向弛豫和橫向弛豫的共同貢獻(xiàn)，但是不同濃度CuSO4水溶液的共振展寬與弛豫關(guān)系與RLC諧振或經(jīng)典振動(dòng)規(guī)律是一致的.

圖12 核磁共振穩(wěn)態(tài)吸收

“尾波”是核磁共振弛豫的實(shí)驗(yàn)事實(shí)[7]. 圖13顯示經(jīng)過90°射頻脈沖作用且撤除之后，核磁矩處于xy平面繞z軸(即B0方向)進(jìn)動(dòng)時(shí)，自由感應(yīng)衰減(Free induction decay, FID)信號(hào)在x方向和y方向的投影，兩者的相位差π/2. 當(dāng)忽略B0不均勻性，由FID信號(hào)可得橫向弛豫時(shí)間T2. 若對(duì)FID時(shí)域信號(hào)離散傅里葉分析，可獲得共振穩(wěn)態(tài)頻域分布[8-9]. 其結(jié)果與圖12相似，但是可以更準(zhǔn)確地描述自旋-自旋相互作用對(duì)頻域展寬的影響.

圖14再次顯示圖13中FID信號(hào)的π/2相位差，更重要的是，它直觀地展示了核磁矩M末端在xy平面由外到里的螺線運(yùn)動(dòng)軌跡. 有別于圖6或經(jīng)典共振相圖，它是同一物理量(響應(yīng)量)在正交方向的投影，圖14結(jié)果也反映了由方程(28)所描述的處于外磁場B0中核磁矩M對(duì)圓偏振驅(qū)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng).

圖13 核磁共振橫向弛豫FID信號(hào)

圖14 核磁矩末端在xy平面運(yùn)動(dòng)軌跡

綜合上述分析可知，不管是RLC諧振方程式(6)與式(16)，還是核磁共振方程式(28)，都可由簡單受迫阻尼振動(dòng)方程統(tǒng)一描述，充分說明這些過程存在物理原理共性，其共振頻率和阻尼系數(shù)(共振弛豫時(shí)間)具有相同的物理涵義. 針對(duì)不同情形的關(guān)鍵差異體現(xiàn)于：

(33)

1)RLC諧振頻率和經(jīng)典機(jī)械共振頻率與系統(tǒng)內(nèi)部損耗有關(guān)，而核磁共振頻率(即為拉莫頻率)與阻尼系數(shù)無關(guān)；

2)RLC諧振和經(jīng)典機(jī)械共振由線偏振驅(qū)動(dòng)產(chǎn)生，實(shí)驗(yàn)上采用線偏振分解實(shí)現(xiàn)核磁共振的圓偏振有效激發(fā).

3 結(jié)束語

實(shí)驗(yàn)事實(shí)是物理教學(xué)不可或缺的重要基礎(chǔ). 顯然，對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象深刻理解更有助于透徹講解物理概念和原理. 核磁共振物理原理和實(shí)驗(yàn)技術(shù)原理就是很有代表性的物理課程教案. 核磁共振半經(jīng)典描述與經(jīng)典振動(dòng)理論相似，而核磁共振測量則是RLC諧振特性的技術(shù)應(yīng)用. 根據(jù)基爾霍夫定律及實(shí)驗(yàn)事實(shí)的分析表明，RLC諧振特征與經(jīng)典振動(dòng)具有相似的物理行為. 另一方面，由布洛赫方程組所得到核磁共振半經(jīng)典動(dòng)力學(xué)方程與受迫阻尼經(jīng)典振動(dòng)方程或RLC諧振方程相似. 由此可見，利用RLC諧振實(shí)驗(yàn)物理分析有助于掌握核磁共振原理.