基于布魯姆教育目標(biāo)的數(shù)學(xué)思維導(dǎo)圖分類及運(yùn)用

廣東省珠海市紫荊中學(xué)(519000) 曾飛鵬

思維導(dǎo)圖特有的簡潔、思維可視化特征,吸引了眾多數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中加以應(yīng)用.但是在應(yīng)用過程中,不少教師將思維導(dǎo)圖簡單地等同于知識(shí)框圖,僅限于將思維導(dǎo)圖應(yīng)用于對(duì)知識(shí)加以梳理,而沒有充分發(fā)揮思維導(dǎo)圖的作用.實(shí)際上,思維導(dǎo)圖這個(gè)名詞的關(guān)鍵詞在“思維”兩字.它不僅可以幫助梳理知識(shí),還可以通過圖式模擬人的思維過程,從而使無形的思維過程形象化,達(dá)到加強(qiáng)人的思維能力的目的.所以在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中,我們要用好思維導(dǎo)圖,必須先清楚地認(rèn)識(shí)到思維導(dǎo)圖能在哪些地方用,為什么要用,怎么用等問題.本文依據(jù)布魯姆教育目標(biāo)分類學(xué),嘗試將數(shù)學(xué)思維導(dǎo)圖分類,并以舉例的方式說明各類思維導(dǎo)圖的應(yīng)用.布魯姆將教育目標(biāo)從認(rèn)知維度分為記憶、理解、運(yùn)用、分析、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造六個(gè)方面[1].相應(yīng)地用以達(dá)到記憶和理解目標(biāo)的思維導(dǎo)圖我們歸結(jié)為“記憶理解型思維導(dǎo)圖”;用以達(dá)到運(yùn)用和分析目標(biāo)的思維導(dǎo)圖我們稱為“運(yùn)用分析型思維導(dǎo)圖”;通過思維導(dǎo)圖捕捉和表達(dá)發(fā)散性思維,從而達(dá)到評(píng)價(jià)和創(chuàng)造目的的思維導(dǎo)圖稱為“評(píng)價(jià)創(chuàng)造型思維導(dǎo)圖”.

1 記憶理解型思維導(dǎo)圖

一場(chǎng)“新冠”肺炎顛覆了傳統(tǒng)的教育教學(xué)的模式,信息化的、以學(xué)生為中心的、開放式的教學(xué)模式正在形成.面對(duì)多元的教學(xué)媒體、教學(xué)資源,學(xué)生不僅要掌握知識(shí)和技能,還要學(xué)會(huì)有條理地管理好自己的知識(shí).相應(yīng)的,教師需要改變傳統(tǒng)的以知識(shí)傳授為主教學(xué)觀念,要變“授人以魚”為“授人以漁”,日常教學(xué)中,要有意識(shí)地教學(xué)生掌握知識(shí)的方法與技巧.學(xué)生可能在微課、導(dǎo)學(xué)案、課堂等多種渠道獲得大量的信息:概念、解題模型、解題方法、重難點(diǎn)的理解等.如果不對(duì)這些知識(shí)技能加以整理和反思,將會(huì)理解不透、混亂且快速遺忘.記憶理解型思維導(dǎo)圖獨(dú)有的特性能為解決這類問題提供可能.主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面:

1.1 繪制的過程加深記憶與理解

學(xué)生在繪制記憶理解型思維導(dǎo)圖時(shí),首先要從記憶中提取相關(guān)知識(shí),在經(jīng)過手腦并用的過程中,記憶被強(qiáng)化.其次,思維導(dǎo)圖以圖示的方式,以一個(gè)中心詞發(fā)散,各個(gè)分支以簡短的詞語或圖形加以表述,每個(gè)分支并不是照抄概念或題型原文,而是盡最大努力使語言精簡,這就要求學(xué)生用與原文不一樣的方式描述,需要將信息從一種形式轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌问?如基本概念可以用數(shù)學(xué)語言、圖、分類、比較或通過舉一些例子來加以描述.在此過程,學(xué)生對(duì)概念的構(gòu)建或解題方法技能的理解將達(dá)到新的高度.再次,思維導(dǎo)圖的繪制并不是一蹴而就的,一張豐富的思維導(dǎo)圖往往會(huì)經(jīng)歷以下幾個(gè)階段:在課前自主學(xué)習(xí)階段,將零散的雜亂的知識(shí)點(diǎn)、方法用思維導(dǎo)圖整理出來;在課中通過進(jìn)一步學(xué)習(xí),對(duì)相應(yīng)的內(nèi)容有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)后,對(duì)課前所做思維導(dǎo)圖作適時(shí)補(bǔ)充或者修改;在課后,通過小組研究進(jìn)一步完善思維導(dǎo)圖.在小組研究的過程中,學(xué)生要思考、表達(dá)甚至或者教授給其它同學(xué),按照美國緬因州國家訓(xùn)練實(shí)驗(yàn)室提出的學(xué)習(xí)金字塔理論,這種主動(dòng)學(xué)習(xí)的知識(shí)留存率高、理解透徹.

1.2 導(dǎo)圖的結(jié)構(gòu)加強(qiáng)記憶與理解

傳統(tǒng)的筆記呈線性排列,而人的思維是多面的、發(fā)散性的.思維導(dǎo)圖模擬人的思維過程,本質(zhì)上,思維導(dǎo)圖是在重復(fù)和模仿發(fā)散性思維,這反過來又放大了大腦的本能,讓大腦更加有力[2].學(xué)生繪制思維導(dǎo)圖的過程,即是一個(gè)將大腦的思維過程形象化的過程.通過繪制思維導(dǎo)圖,既加強(qiáng)了大腦的思維能力,又將知識(shí)的脈絡(luò)梳理清楚,從而加深對(duì)知識(shí)技能的記憶與理解.其次,記憶理解型思維導(dǎo)圖可以作為一項(xiàng)必不可少的作業(yè),呈現(xiàn)在作業(yè)本或筆記本的回憶欄中,其獨(dú)特的圖形結(jié)構(gòu),豐富的表現(xiàn)形式,構(gòu)成對(duì)感官特有的吸引力,有助于復(fù)習(xí)階段的知識(shí)再現(xiàn).

圖1 二次根式的概念

圖1是學(xué)生在學(xué)習(xí)完二次根式第一課時(shí)后所做的記憶理解思維導(dǎo)圖,對(duì)于定義的要點(diǎn)既有用不同于二次根式定義本身的語言來解釋,又有舉例子的方法從反面來說明.對(duì)于解題模型的總結(jié)既有明確的分類,又有簡潔明了的題型特征描述及方法總結(jié).課后作出這樣一張思維導(dǎo)圖,有助于提高知識(shí)留存率,跳出題海,升華知識(shí)技能.

2 運(yùn)用分析型思維導(dǎo)圖

在解決綜合題,特別是幾何綜合題時(shí),有些學(xué)生往往在老師講解時(shí)能聽懂,但遇到新的問題卻找不到思路.出現(xiàn)這種情況的根本原因是沒有形成良好的分析問題和解決問題的習(xí)慣.遇到綜合問題,首先要研究目標(biāo),依據(jù)解題經(jīng)驗(yàn)判斷:解決該類問題有哪些可行的途徑或基本模型?再根據(jù)題目條件選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}策略,這即為認(rèn)知維度的應(yīng)用與分析.而在應(yīng)用與分析的過程中,最困難的莫過于在條件與目標(biāo)之間尋找恰當(dāng)?shù)耐?為了使這條通路更顯性化,我們可以借助思維導(dǎo)圖來助力分析問題和解決問題.繪制運(yùn)用分析型思維導(dǎo)圖大致有如下幾個(gè)關(guān)鍵步驟:

2.1 基于目標(biāo)的程序提取

所謂程序,在數(shù)學(xué)解題中指的是解題的方法或模型.如:幾何中求最值問題,常見的解題方法即幾何最值法、函數(shù)最值法.而在幾何最值法中常見的模型有兩定點(diǎn)型(利用“兩點(diǎn)之間,線段最短”解決)、一定點(diǎn)定線型(利用“垂線段最短”解決)、運(yùn)動(dòng)軌跡分析性(通過幾何直觀解決),函數(shù)最值法也可能建立各種不同的函數(shù)模型.在這一步驟的思維導(dǎo)圖作用在于為條件整合建立可視的方向,避免分析條件的盲目性與無序性,為解決綜合問題打下基礎(chǔ).

2.2 基于條件的整合運(yùn)用

面對(duì)目標(biāo)解決的諸多方法與模型,解題者需要面臨如何選擇方法與模型的問題.首先,要區(qū)別哪些條件與相應(yīng)的方法或模型是相關(guān)的.然后,將相關(guān)的條件組織起來,以達(dá)到能利用上述模型或方法求解的目的.這一步驟是解題的關(guān)鍵步驟,思維導(dǎo)圖也在此起到了“導(dǎo)”思維的作用.

以一個(gè)等積式的證明為例:在ΔABC中,AD為頂角A的角平分線交底邊于D,求證:BD·AC=AB·CD.

3 評(píng)價(jià)創(chuàng)造型思維導(dǎo)圖

本題的解題思維導(dǎo)圖如圖2,基于目標(biāo)“BD·AC=AB·CD”,依據(jù)解題經(jīng)驗(yàn),我們有相似法與面積法兩種基本解題方法.而如何構(gòu)造相似,及如何運(yùn)用面積法?這就需要基于條件“AD為頂角A的角平分線”加以發(fā)散.目標(biāo)與條件的發(fā)散是雜亂的,它們之間的聯(lián)系是無形的,而思維導(dǎo)圖起到了有效梳理這兩者的發(fā)散,及將兩者之間的連系顯性化的作用,使得解題思路明晰,方法多樣.

圖2 等積式的證明

波利亞指出“拿一個(gè)有意義而又不復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘問題的各個(gè)方面,使得通過這道題目就好像通過一道門戶,把學(xué)生引入一個(gè)完整的領(lǐng)域.”我們常要求學(xué)生做一題會(huì)一片,但我們很少有人教學(xué)生怎樣才能達(dá)到這種效果.所謂做一題會(huì)一片,實(shí)際上就是要求用最少的例題或習(xí)題,通過一定的程式,去發(fā)掘該問題的方方面面.從數(shù)學(xué)思維的維度來看,通過發(fā)散思維,創(chuàng)造性地挖掘題目的內(nèi)涵外延,屬于高階思維范疇.以幾何問題為例,在教學(xué)過程中,教師可引導(dǎo)學(xué)生按照如圖3所示的思維導(dǎo)圖對(duì)問題加以剖析.

按照這個(gè)模式,我們從教材一道習(xí)題出發(fā),運(yùn)用思維導(dǎo)圖引導(dǎo)學(xué)生通過自主探索或合作交流,通過層層深入探究,逐步揭示本質(zhì)、從不同角度縱橫溝通,發(fā)散問題,將問題合理演化、適度拓展,在此過程中培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、廣闊性和創(chuàng)造性.

圖3 幾何問題的發(fā)散模式

圖4 習(xí)題

例:(人教版習(xí)題24.2第14題改編)如圖4,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點(diǎn),AD和過C點(diǎn)的切線互相垂直,垂足為D,求證:AC平分∠DAB.(AD交⊙O于點(diǎn)E,直線DC與直線AB交與點(diǎn)P)

如圖5,在本題研討過程中,對(duì)原命題的條件結(jié)論位置互換,得到兩組命題“CD為切線,AC平分∠DAB→AD⊥CD”,“AD⊥CD,AC平分∠DAB→CD為切線”再對(duì)其加以驗(yàn)證,通過觀察、測(cè)量、猜想得到形如“弧EC=弧BC”等一系列結(jié)論,并運(yùn)用不同的方法加以證明.這個(gè)過程即為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要途徑.而在對(duì)圖形加以變形的過程中又培養(yǎng)了學(xué)生的求異思維,在將題型由證明變?yōu)橛?jì)算后,既可以積累解題經(jīng)驗(yàn),站在命題人的角度思考問題,又可以利用已得的結(jié)論優(yōu)化解題過程.另外,利用思維導(dǎo)圖去創(chuàng)造發(fā)掘是可持續(xù)的,在教學(xué)過程中,還可以繼續(xù)補(bǔ)充完善形如圖5的思維導(dǎo)圖.

圖5 幾何習(xí)題發(fā)散示例

總而言之,對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中的思維導(dǎo)圖加以分類研究及應(yīng)用,有助于我們?cè)诮虒W(xué)過程中目標(biāo)明確,運(yùn)用得法.比如教師運(yùn)用記憶理解型思維導(dǎo)圖最好放在復(fù)習(xí)課,特別是畢業(yè)年級(jí)的總復(fù)習(xí)階段,為了防止出現(xiàn)教師照本(復(fù)習(xí)資料)宣科,學(xué)生昏昏欲睡的課堂場(chǎng)景,不妨通過PPT制作思維導(dǎo)圖,詳略得當(dāng)?shù)厥崂碇R(shí)點(diǎn)及解題方法.學(xué)生運(yùn)用記憶理解型思維導(dǎo)圖最好是放在課后作業(yè)的最后一環(huán)節(jié),這樣做的目的是既起到重現(xiàn)知識(shí)的作用,又可以及時(shí)總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)和解題方法.而運(yùn)用分析型思維導(dǎo)圖主要用于解題教學(xué)之前的解題分析,這類思維導(dǎo)圖最為關(guān)鍵的作用在于將目標(biāo)與條件的發(fā)散顯性化并建立線性聯(lián)系,對(duì)于幫助學(xué)生打通思路,訓(xùn)練學(xué)生一題多解習(xí)慣與能力有不可替代的作用.評(píng)價(jià)創(chuàng)造型思維導(dǎo)圖既可以幫助教師發(fā)掘經(jīng)典問題,為命題提供素材,又可以增強(qiáng)教與學(xué)的趣味性,還可以培養(yǎng)學(xué)生一題多變的習(xí)慣,達(dá)到能舉一反三的能力.