一道“倍半角”習(xí)題解法分析與拓展

廣東省化州市第四中學(xué)(525100) 呂明勇

筆者以一道習(xí)題為例,依托學(xué)生現(xiàn)在的知識結(jié)構(gòu),通過多角度分析,從解題探究發(fā)展為解題策略探究,構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò),從而促進(jìn)學(xué)生自身數(shù)學(xué)解題能力深入發(fā)展,培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力和實(shí)踐應(yīng)用能力.

1 題目呈現(xiàn)

如圖, 在等腰直角三角形ABC中,AC=BC, ∠C= 90°, 點(diǎn)P為線段AC的中點(diǎn), 連結(jié)PB,PD, 若∠BPD=45°,CD=2,求CP的長.

思路分析: 此題的背景是在等腰直角三角形中,含有90°和45°,是“倍半角”關(guān)系;故可以從兩個(gè)特殊角出發(fā),尋求問題解決的方法.從幾何角度,可以利用45°角構(gòu)造“一線三等角”相似,或者添加一條垂線,構(gòu)造兩個(gè)“手拉手”模型相似的直角三角形,也可以通過添加平行線構(gòu)造相似三角形,從代數(shù)角度,容易聯(lián)想到利用建立直角坐標(biāo)系用直線斜率公式或三角函數(shù)或三角形面積公式來解決問題.

2 教學(xué)過程簡錄

學(xué)生1: 勾股定理, 如圖1, 過點(diǎn)D作DE ⊥BP交BP于點(diǎn)E, 設(shè)CP=x, ∴BC= 2x, 由勾股定理得:已知CD=2,在RtΔCDP中,DP=∵ ∠BPD= 45°, ∴DE=PE=在RtΔBDE中,由勾股定理得:DE2+BE2=BD2,即:=(2x－2)2.解得x1=6,x2=

學(xué)生2: 勾股定理+相似,如圖1,過點(diǎn)D作DE ⊥BP交BP于點(diǎn)E, 易證ΔBDE～ ΔBPC, 設(shè)CP=x,∴BC= 2x, 由勾股定理得:BP=已知CD= 2,在RtΔCDP中,DP=∵∠BPD=45°,∴DE=PE=∵ΔBDE～ΔBPC,∴∴解得x1=6,x2=

在上述兩種方法后,教師帶領(lǐng)學(xué)生思考這方法是如何想到的? 因?yàn)椤螧PD= 45°,所以想到作垂線構(gòu)造等腰直角三角形,利用勾股定理可解題.方法1 要求學(xué)生運(yùn)算能力比較強(qiáng).

觀察圖形,不難發(fā)現(xiàn),里面有不少基本相似圖形,所以我引導(dǎo)學(xué)生從基本圖形入手探尋相似三角形解題.

學(xué)生3:“X”字模型相似,如圖2,過點(diǎn)B作BE ⊥PD于PD的延長線于點(diǎn)E,由“X”字模型易證ΔPCD～ΔBED,設(shè)CP=x, ∴BC= 2x,DP=由勾股定理得:BP=∵∠BPD= 45°,∠E= 90°,∴ΔPBE是等腰直角三角形,∴BE=PE=,∵ΔPCD～ΔBED,∴解得x1= 6,

學(xué)生4: “手拉手”模型相似, 如圖3, 過點(diǎn)P作PE ⊥AB交AB于點(diǎn)E, 易得ΔAPE是等腰直角三角形,∴∠APE= 45°= ∠BPD,∴∠CPD+∠BPE= 90°.又∵∠BPE+ ∠EBP= 90°, ∴∠CPD= ∠EBP, 易證ΔPCD～ΔBEP.設(shè)CP=x, ∴AP=x,BC= 2x,BP=∴AE=PE=∵ΔPCD～ΔBEP, ∴解得x1=6,x2=－6(舍).

學(xué)生5: 相似, 如圖4, 過點(diǎn)D作DE//AC交BP于點(diǎn)E, 易證ΔDEP～ΔBPA.設(shè)CP=x, ∴BC= 2x,∵DE//AC,∴DE=x －1,∵ΔDEP～ΔBPA, ∴=解得x1=6,x2=

在上述三種方法呈現(xiàn)后,教師引導(dǎo)學(xué)生思考在構(gòu)造直角三角形后又是如何想到接下去的操作呢? 這三位學(xué)生一致指出根據(jù)條件可獲得角度相等(即“導(dǎo)角”、“AA”型相似),學(xué)生4、學(xué)生5 兩人構(gòu)造“手拉手”相似模型.根據(jù)已有一角相等(圖3 直角相等,圖4 含45°角相等,再尋找另一角相等;這是相似最常用的證明方法.由此積累添加輔助線構(gòu)造不同的圖形的解題經(jīng)驗(yàn),體驗(yàn)不同方向構(gòu)造相似圖形的方法.

學(xué)生6: “一線三等角”相似, 如圖5, 反向延長AC到點(diǎn)E, 使CE=CD= 2, 所以ΔCDE是等腰直角三角形, ∴∠E= 45°, ∴∠A= ∠BPD= ∠E= 45°.運(yùn)用“一線三等角”模型易證: ΔDEP～ ΔPAB.設(shè)CP=x, ∴PE=x+ 2,AB=∵ΔDEP～ΔPAB, ∴解得x=6.

這位同學(xué)指出,“一線三等角”是相似的常用方法,因?yàn)锳C所在的直線上已有兩個(gè)角是45°,只要構(gòu)造一個(gè)45°角就能成為“一線三等角”相似模型,所以想到構(gòu)造等腰直角三角形CDE,順利找到解題突破口.

學(xué)生7: 三角函數(shù),如圖6,過點(diǎn)P作PE//BC,過點(diǎn)B作BE ⊥PE于點(diǎn)E,構(gòu)造矩形BCPE,已知∠BPD=45°,∴∠1+∠2=45°.設(shè)CP=x,∴BC=2x,∵BE=CP=x,PE=BC= 2x,∴tan ∠1 =∵tan(∠1+∠2)=tan 45°=1,解得x=6.

第7 位同學(xué)指出,前面幾種方法從相似的角度來解決的,能用相似來解決的問題也可以用銳角三角函數(shù)來解決,所以求CP的長可以采用銳角三角函數(shù)的思路來搭建橋梁.

學(xué)生8: 建直角坐標(biāo)系, 如圖7, 以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),CB所在直線為橫軸,AC所在直線為縱軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè)CP=n,則CB= 2n,所以點(diǎn)坐標(biāo):C(0,0),P(0,n),B(2n,0),D(2,0), ∴yP D=tan ∠BDP= tan 45°= 1 是直線PB,PD夾角的正切值,=tan 45°=1,解得n=6.

第8 位同學(xué)指出,建系根據(jù)已知條件求出直線PB,PD的關(guān)系式,然后用正切和差公式解題,解析幾何真正實(shí)現(xiàn)幾何方法與代數(shù)方法的結(jié)合,坐標(biāo)系則是溝通幾何代數(shù)的橋梁,如果在結(jié)合證明中一籌莫展的時(shí)候建系用解析法也是一種不錯(cuò)的選擇.

學(xué)生9: 面積法, 如圖1, 在學(xué)生1 的基礎(chǔ)上解答, 設(shè)CP=x, ∴BC= 2x, 由勾股定理得:CP=已知CD=2,在Rt ΔBDP中,DP=∵∠BPD=45°,∴DE=∵SΔBDP==解得

學(xué)生10: 面積法, 設(shè)CP=x,BC= 2x,BP=DP=SΔBDP=|BD|·|PC|=sin ∠BPD,(2x－2)·x=·sin 45, 解得x1=6,x2=

以上兩位同學(xué)指出, 因?yàn)棣DP是含45°的特點(diǎn), 構(gòu)造ΔBDP面積的不同表達(dá)方法, 融數(shù)的形式在幾何特征的圖形中, 設(shè)CP的長度為x, 用含x的代數(shù)式分別表示BD,DP,BP的長度,用不同的方法表示ΔBDP的面積,建立方程計(jì)算解決問題.

在這些方法呈現(xiàn)之后,教師指出簡捷、巧妙的解法7 與解法8 關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化,注重目標(biāo)引領(lǐng),加強(qiáng)理性探索.當(dāng)然,目標(biāo)的選擇與確定要自然、合理;目標(biāo)的轉(zhuǎn)化與分解要適時(shí)、果斷;目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)與達(dá)成要理性、靈活.同時(shí)帶領(lǐng)學(xué)生感悟解決這個(gè)問題的主要思想方法有哪些? 遇到45°角問題一般有哪些思考方法? 基本圖形對解題思路的形成起到怎樣的作用? 可如何變更條件與結(jié)論得到類似的“倍半角”問題?

3 類題遷移

3.1 如圖8, 在ΔABC中, ∠A= ∠B= 30°,AC= 8,AD= 3BD, 若∠FDE= 60°, ∠FDE的兩邊分別與BC,AC交于點(diǎn)F、點(diǎn)E,則線段EF的最小值是____.

解: 如圖9,因?yàn)棣BC中,∠A= ∠B= 30°,AC= 8,AD= 3BD, 易求BD=過點(diǎn)D分別作DG ⊥BC,交BC于點(diǎn)G,DH ⊥AC,交AC的延長線于點(diǎn)H.∵∠A= ∠B= 30°, ∠BGD= ∠DHE= 90°,∴ ∠BDG= ∠ADH= 60°, ∴ ∠GDH= 60°, 易得DG=∵∠EDH+∠HDF= ∠EDF=∠GDH= ∠GDF+ ∠HDF, ∴ ∠EDH= ∠GDF, ∴ΔDHE～ ΔDGF, ∴設(shè)DF=x,DE= 3x,EF=(ΔDEF已知兩邊及夾角是60°,過點(diǎn)F作DE垂線,用勾股定理可求EF長).當(dāng)DF=DG=時(shí),EF有最小值為

這一解法與學(xué)生4 方法一致,都是構(gòu)造“手拉手”模型解答.這是因?yàn)轭}目中都含“倍半角”條件;這是運(yùn)用模型巧解“倍半角”題的通法.

3.2 如圖10, 在四邊形ABCD中,AB=AD,BC=BD,∠ABD==40°,求∠BDC的度數(shù)?

解: 如圖11,反向延長DA使AE=AC,∵AB=AD,∴∠ADB= ∠ABD= 40°, ∠BAD= 100°, ∴∠BAE=80°= ∠BAC,AB=AB,∴ΔBAC～= ΔBAE,∴BC=BE=BD,∴∠E=∠ADB=40°,∴∠ACB=∠E=40°,∴ ∠ABC= 180° －40° －80°= 60°, ∴ ∠CBD=∠ABC－∠ABD=60°－40°=20°,∴∠BDC=80°.

這一解法是利用80°與40°倍半角關(guān)系構(gòu)造全等三角形,通過巧妙導(dǎo)角來解答.

3.3 (3.2)變式題: 如圖10,在四邊形ABCD中,AB=AD,BC=BD,若∠ABD==α,求∠BDC的度數(shù)? (用含α的式子表示)

在類題遷移中,都含有“倍半角”關(guān)系,如果學(xué)生熟練掌握例題中基本幾何圖形的性質(zhì),內(nèi)化為自身的幾何素養(yǎng),在解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí), 就能準(zhǔn)確找到與之對應(yīng)的幾何模型,然后采取行之有效的解題方法與策略,合理使用幾何模型能使原本復(fù)雜的問題變得簡單,使學(xué)生少走彎路,從而提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

4 拓展小結(jié)

求線段長度的通法: ①、勾股定理.②、相似或全等.③、解直角三角形.④、建直角坐標(biāo)系,兩點(diǎn)間距離.⑤、等面積法.⑥、四點(diǎn)共圓托勒密定理.

章建躍博士在《圖形的變化》的數(shù)學(xué)思維方式中指出:“幾何就是要研究和理解幾何圖形的本質(zhì)和結(jié)構(gòu),研究結(jié)果:幾何圖形的定性性質(zhì)與定量性質(zhì)”,把定性的結(jié)果變成定量的結(jié)果,把存在的東西具體表現(xiàn)出來,這是數(shù)學(xué)的基本追求.

三角形中二倍角問題輔助線常見處理有4 種方法:

5 結(jié)束語

習(xí)題教學(xué)要盡力做到3 個(gè)“堅(jiān)持”——堅(jiān)持以知識轉(zhuǎn)化為思路引領(lǐng);堅(jiān)持以“怎樣做、怎么想到這樣做和同一類型還可怎么做”三步曲為操作模式; 堅(jiān)持以“培養(yǎng)學(xué)生分析問題能力”為解題宗旨.習(xí)題教學(xué)的過程是一種研究的過程,不僅要尋找解題方法, 還要洞察命題意圖、試題背景, 指向與發(fā)展,并通過解題研究與反思,提煉出這一類問題的常用解題方法和技能技巧, 及時(shí)歸納和梳理題目中包含的基本數(shù)學(xué)模型,優(yōu)化思維路徑,最終轉(zhuǎn)化為學(xué)生已知的知識與活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)去解決問題,真正做到從“教教材”到“用教材教”的轉(zhuǎn)變;其次,通過學(xué)生親身經(jīng)歷詳細(xì)解一題,結(jié)合同類試題的舉一反三,在主動(dòng)探究和問題解決的體驗(yàn)中,在方法的碰撞和對比中,收獲知識方法,逐步提高分析、綜合、抽象、概括和運(yùn)用轉(zhuǎn)化遷移的思想解決問題的能力,形成良好的思維習(xí)慣,全面提高學(xué)生的思維品質(zhì).