2020年廣州市中考數(shù)學(xué)第25題評析與教學(xué)思考

廣東省廣州市第二中學(xué)(510631) 盧 奕

2020年中考廣州考卷第25 題一如既往的以二次函數(shù)拋物線為背景壓軸出場.拋物線和各種幾何圖形組合易于綜合考查多個知識點(diǎn),蘊(yùn)涵豐富的數(shù)學(xué)思想方法,特別適合考查學(xué)生的綜合各項(xiàng)信息,解決問題的能力.下面筆者將對該二次函數(shù)綜合題進(jìn)行試題特色分析,賞析各類解法,并在此基礎(chǔ)上為教學(xué)提供建議.

1 原題呈現(xiàn)

平面直角坐標(biāo)系xOy中, 拋物線G:y=ax2+bx+c(0＜a ＜12)過點(diǎn)A(1,c－5a),B(x1,3),C(x2,3).頂點(diǎn)D不在第一象限,線段BC上有一點(diǎn)E,設(shè)ΔOBE的面積為S1,ΔOCE的面積為S2,S1=S2+

(1)用含a的式子表示b;

(2)求點(diǎn)E的坐標(biāo);

(3)若直線DE與拋物線G的另一個交點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為+3,求y=ax2+bx+c在1＜x ＜6 時(shí)的取值范圍(用含a的式子表示).

2 試題特色

本題考查多個知識點(diǎn), 包括二次函數(shù)圖象的基本性質(zhì),坐標(biāo)與面積,函數(shù)值取值范圍等.考查起點(diǎn)低、入口寬,不同層次的學(xué)生都有機(jī)會著手解答問題,如第(1)問考生只需了解圖象上的點(diǎn)這一概念,將點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式,可順利得到結(jié)論.考查的知識點(diǎn)豐富.考生需要調(diào)用的知識模塊包括解析式與點(diǎn)的坐標(biāo)互相轉(zhuǎn)化,圖形面積與點(diǎn)的坐標(biāo)的互相轉(zhuǎn)化,最值問題的求解,含參數(shù)問題的計(jì)算等,有良好解題習(xí)慣的考生有機(jī)會展示自身的積累.問題的呈現(xiàn)獨(dú)具匠心,沿襲了幾年來廣州中考壓軸題的風(fēng)格,不拘于常規(guī)表達(dá),既注重考查考生概念的本質(zhì)的理解,又重視對考生數(shù)學(xué)思想方法的自覺運(yùn)用的考查,最大限度的克服當(dāng)下的“套路”解題,真正關(guān)注優(yōu)等生的能力發(fā)展.鼓勵創(chuàng)新,考生可構(gòu)思解決問題的途徑及策略多樣,在尋找途徑的過程中,就蘊(yùn)含運(yùn)用不同的思想方法、對應(yīng)不同的推理過程,這里所有的不同,均體現(xiàn)了創(chuàng)新,意在鼓勵考生的創(chuàng)造性思維.很好地體現(xiàn)了中考數(shù)學(xué)壓軸題的選拔功能.

3 試題分析及解法賞析

第(1)問考查點(diǎn)與函數(shù)圖象的位置關(guān)系,本小題的設(shè)計(jì)有效考查了考生對圖形與坐標(biāo)部分基本內(nèi)容的理解, 解答是只需要將點(diǎn)A 的坐標(biāo)代入拋物線解析式中,可得解.解答如下: (1)∵拋物線G:y=ax2+bx+c(0＜a ＜12)過點(diǎn)A(1,c－5a),∴c－5a=a+b+c,∴b=－6a;

第(2)問考查知識模塊圖形面積與點(diǎn)的坐標(biāo)相互轉(zhuǎn)化.題目沒有給出圖象, 需要考生自覺運(yùn)用數(shù)形結(jié)合畫出示意圖,直觀分析,形成思路,再全面考慮,自覺運(yùn)用分類討論,完善解答.首先,根據(jù)拋物線的基本性質(zhì),畫出包含對稱軸,頂點(diǎn)坐標(biāo)大致位置的示意圖是良好的開始, 再根據(jù)題意畫出ΔOBE和ΔOCE的大致位置,分析圖形性質(zhì),把握利用圖形面積求點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)鍵就是將S1,S2的面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段BE、CE的關(guān)系,再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)E的坐標(biāo),實(shí)現(xiàn)三者相互轉(zhuǎn)化解決圖形面積問題,最后考慮B、C位置的不確定從而要分類討論,完善結(jié)果.

以上除了選擇直接由EM線段長度求點(diǎn)E坐標(biāo)外, 還可以應(yīng)用方程思想,先設(shè)點(diǎn)E(m,3) 將點(diǎn)坐標(biāo)條件轉(zhuǎn)化為線段長,再轉(zhuǎn)化為面積關(guān)系.解法本質(zhì)仍然是實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)、線段、面積三者相互轉(zhuǎn)化解決圖形面積問題,故解法不再贅述.

第(3)問以拋物線和直線相交為問題背景,對參數(shù)方程進(jìn)行運(yùn)算,求特定自變量取值范圍下的函數(shù)取值范圍.具有良好解題習(xí)慣的考生,能夠在解題過程注重解題的方向,大膽猜想,敢于動手,也同時(shí)相對繁雜的含參數(shù)計(jì)算也需要考生有穩(wěn)定的心理素質(zhì),小心求解,尋求a與c的等量關(guān)系的方法多樣,需要考生積累各個基礎(chǔ)知識模塊間的橫向聯(lián)系與運(yùn)用,熟悉數(shù)學(xué)知識的關(guān)聯(lián)性,靈活建構(gòu)解題思路、選擇解題方法.解題思思維導(dǎo)圖如圖2.

不難發(fā)現(xiàn)求得a,c數(shù)量是解題的核心,是溝通結(jié)論與條件的必經(jīng)之路.其解法關(guān)鍵仍在于坐標(biāo)圖象、坐標(biāo)與圖形的相互轉(zhuǎn)化.具有多種解題思路:

類型一: 待定系數(shù)法求直線DE解析式后,代入點(diǎn)的坐標(biāo),得到含a,c的式子表示的等式.

法1.利用點(diǎn)D和點(diǎn)E坐標(biāo),求直線DE解析式,再將點(diǎn)F的坐標(biāo)代入,可得a,c的關(guān)系式;

法2.利用點(diǎn)D和點(diǎn)F坐標(biāo),求直線DF解析式,再將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入,可得a,c的關(guān)系式;

法3.利用點(diǎn)E和點(diǎn)F坐標(biāo),求直線EF解析式,再將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入,可得a,c的關(guān)系式;

法4.利用點(diǎn)E和點(diǎn)F坐標(biāo),求得直線EF解析式,利用點(diǎn)D和點(diǎn)E坐標(biāo),求得直線DE解析式,D,E,F在同一直線上,所得兩解析式的k值相等,可得a,c的關(guān)系式.

以法2 為例, 后續(xù)解答過程如下: 出直線DF的解析式為:y= 6x －18 +c －9a把點(diǎn)代入得,c=9a,∴拋物線解析式為:y=ax2－6ax+9a,∵1＜x ＜6, 拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),∴當(dāng)x= 3 時(shí),ymin= 0,當(dāng)x=6 時(shí),ymax=9a,∴0 ≤y ＜9a.

類型二: 應(yīng)用相似三角形性質(zhì)得點(diǎn)D,E,F有關(guān)的線段關(guān)系.

法5: 如圖過F點(diǎn)作對稱軸x= 3 的垂線, 垂足為N, ∴ΔDME～ΔDNF, ∴∴c=9a,繼而解答如上法2.

類型三: 應(yīng)用三角函數(shù)得點(diǎn)D,E,F有關(guān)的線段關(guān)系.

法6: 如圖過F點(diǎn)作對稱軸x= 3 的垂線, 垂足為N,tan ∠EDM=繼而解答如上法2.

還有許多方法,限于篇幅,不再贅述.

4 試題對教學(xué)的啟示

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容,歷來都是中考必不可少的一項(xiàng)內(nèi)容,常廣泛結(jié)合各知識,突出考查幾何思維水平和數(shù)學(xué)思想方法,這為我們教師今后的教學(xué)給予了一定的啟示.

4.1 重夯實(shí)基礎(chǔ),讓知識變得透徹

正確的解題思路源于對基礎(chǔ)知識、基本技能的熟練掌握.教學(xué)上應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生避免浮躁地堆砌知識,而應(yīng)著重深度理解最基本的概念和原理,真正理解基礎(chǔ)知識.如教學(xué)上引導(dǎo)學(xué)生對某個一元二次方程的根的認(rèn)識,形成四個層次: 首先有直觀感知,將根代入方程,等式成立;進(jìn)一步可以運(yùn)用根的判別式了解根的存在情況;還想知道根的大致范圍,可以運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系;最后應(yīng)用求根公式明確求根.從這四個對根的認(rèn)識,由淺入深,符合人們對事物的認(rèn)知規(guī)律能幫助學(xué)生深度理解根的意義,構(gòu)建學(xué)生良好的基礎(chǔ)知識水平.

數(shù)學(xué)運(yùn)算作為數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一,是良好的解題習(xí)慣,解題速度和準(zhǔn)確度的保證.運(yùn)算能力作為課標(biāo)核心詞,不應(yīng)狹隘、極端地理解為短時(shí)間、高效率、準(zhǔn)確性.《課標(biāo)》指出:“運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力.培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理,尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題.”運(yùn)算的正確、靈活、合理、簡潔是運(yùn)算能力的主要特征,良好的運(yùn)算能力是優(yōu)等生形成與自身綜合實(shí)力匹配的穩(wěn)定的心理素質(zhì)的前提.

4.2 重深度思考,讓思維得以延續(xù)

解題教學(xué)中,不僅需要教師引導(dǎo)學(xué)生分析問題,從不同方向思考,尋求解題途徑,還需要教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度思考,挖掘問題的本質(zhì),避免落入花式技巧和套路的學(xué)習(xí)怪圈.只有提升學(xué)生思維的深廣度,才能真正收獲解題方法和經(jīng)驗(yàn),形成解題能力.如在代數(shù)綜合類問題解題教學(xué)中,特別是與函數(shù)相關(guān)的內(nèi)容,常依據(jù)問題的背景做一些分類: 函數(shù)與平行四邊形,函數(shù)與面積,函數(shù)與全等等.但教學(xué)上要避免陷入學(xué)生機(jī)械地套路解題,而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生深刻認(rèn)識到圖形與坐標(biāo)關(guān)系的本質(zhì),是點(diǎn)的坐標(biāo)、線段長之間的相互轉(zhuǎn)化.函數(shù)與多方面知識結(jié)合形成千變?nèi)f化的問題,其本質(zhì)為歸納出線段的關(guān)系,進(jìn)而轉(zhuǎn)化點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系.

4.3 重積累經(jīng)驗(yàn),讓數(shù)學(xué)本質(zhì)得以挖掘

經(jīng)歷深度思考的解題之后,學(xué)生要學(xué)會將知識置于整個知識體系中,積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)題目所蘊(yùn)含的結(jié)論以及所涉及的思想方法.學(xué)生構(gòu)建合理的知識結(jié)構(gòu)與知識系統(tǒng), 才能在解決問題是能夠順暢地提取知識.初中幾何有許多的知識是以圖形為線索展開的,如與中點(diǎn)相關(guān)的定理在幾何各個章節(jié)里都有出現(xiàn),教師在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生歸納與中點(diǎn)有關(guān)的定理,讓學(xué)生“見到中點(diǎn)能想到什么……”,學(xué)生在總結(jié)和歸納中發(fā)現(xiàn)知識的縱橫聯(lián)系,有助于提高學(xué)生在新問題情境下準(zhǔn)確把握核心知識、形成解題決策的能力,從而提高運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)解決新問題的能力.類似的經(jīng)驗(yàn)還有“證明線段相等的方法”,“用軸對稱變換的觀念添加輔助線”等.