新工科背景下應(yīng)用型本科高校高等代數(shù)課程教學(xué)改革探索

摘?要：高等代數(shù)作為理科數(shù)據(jù)科學(xué)與大數(shù)據(jù)技術(shù)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和應(yīng)用能力起著至關(guān)重要的作用。在當(dāng)前新工科建設(shè)的背景下，應(yīng)用型本科高校的高等代數(shù)課程的教學(xué)理念、內(nèi)容和教學(xué)模式亟須進(jìn)行改革。結(jié)合新工科建設(shè)機(jī)制，以及大數(shù)據(jù)專(zhuān)業(yè)的本科生培養(yǎng)方案指南，從教學(xué)內(nèi)容優(yōu)化實(shí)現(xiàn)高等代數(shù)知識(shí)模塊的多元化，增加案例式教學(xué)提高高等代數(shù)課程的教學(xué)效果，挑選合適教材改革高等代數(shù)教學(xué)模式三方面提出了教學(xué)改革建議;并結(jié)合具體實(shí)例，具體闡述了高等代數(shù)課程改革的思路和方法。這些改革措施有助于全面提升學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力，為培養(yǎng)高層次數(shù)據(jù)科學(xué)和大數(shù)據(jù)技術(shù)人才打下堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：高等代數(shù);大數(shù)據(jù)專(zhuān)業(yè);案例式教學(xué);新工科;應(yīng)用型本科

2017年教育部發(fā)布了《新工科研究與實(shí)踐項(xiàng)目指南》以后，各高校逐步商討形成了“復(fù)旦共識(shí)”“天大行動(dòng)”和“北京指南”。至此，高等教育中的新工科路徑建設(shè)已經(jīng)成型。無(wú)論是新工科的“新”時(shí)代背景，還是新工科的“新”價(jià)值意蘊(yùn)，其目標(biāo)是培養(yǎng)未來(lái)多元化、創(chuàng)新型卓越工程人才。因此，在“新工科”大背景下，作為地方應(yīng)用型本科高校，需要思考如何深度融合新的工程教育理念來(lái)支撐新工科專(zhuān)業(yè)建設(shè)，積極探索分類(lèi)培養(yǎng)、因地制宜多樣化應(yīng)用型理工科人才培養(yǎng)模式，建構(gòu)“產(chǎn)教融合、協(xié)同育人”的新機(jī)制，全面培養(yǎng)多學(xué)科交叉復(fù)合型人才，培養(yǎng)面向未來(lái)的人才[1]。

2015年8月31日，國(guó)務(wù)院印發(fā)的《促進(jìn)大數(shù)據(jù)發(fā)展行動(dòng)綱要》標(biāo)志著將大數(shù)據(jù)納入國(guó)家戰(zhàn)略層面。為了滿足社會(huì)對(duì)大數(shù)據(jù)人才的需求，教育部2016年增加了數(shù)據(jù)科學(xué)與大數(shù)據(jù)技術(shù)專(zhuān)業(yè)（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“大數(shù)據(jù)專(zhuān)業(yè)”），畢業(yè)生學(xué)位授予門(mén)類(lèi)分為工學(xué)和理學(xué)，其專(zhuān)業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)要求學(xué)生具有實(shí)踐應(yīng)用能力和融合創(chuàng)新能力，“應(yīng)用驅(qū)動(dòng)”是該專(zhuān)業(yè)的特點(diǎn)[2-3]。這是教育部為落實(shí)《促進(jìn)大數(shù)據(jù)發(fā)展行動(dòng)綱要》而批準(zhǔn)設(shè)立的新工科專(zhuān)業(yè)，完全契合了“新工科”建設(shè)的需求，即學(xué)科交叉融合、文理素養(yǎng)兼?zhèn)?、解決產(chǎn)業(yè)新問(wèn)題與引領(lǐng)未來(lái)技術(shù)和產(chǎn)業(yè)[2，4]。截止到2020年，教育部已批準(zhǔn)612所高校開(kāi)設(shè)數(shù)據(jù)科學(xué)與大數(shù)據(jù)技術(shù)專(zhuān)業(yè)，大數(shù)據(jù)專(zhuān)業(yè)已成為國(guó)內(nèi)最熱門(mén)的新增專(zhuān)業(yè)之一。

大數(shù)據(jù)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生要求具有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng);學(xué)位授予類(lèi)型為理學(xué)，依托學(xué)科為數(shù)學(xué)或統(tǒng)計(jì)學(xué)的大數(shù)據(jù)專(zhuān)業(yè)均將高等代數(shù)課程設(shè)置為基礎(chǔ)課程;學(xué)位授予類(lèi)型為工學(xué)，依托學(xué)科為計(jì)算機(jī)或統(tǒng)計(jì)學(xué)的大數(shù)據(jù)專(zhuān)業(yè)則將線性代數(shù)課程設(shè)置為基礎(chǔ)課程[5]。因此，無(wú)論是高等代數(shù)還是線性代數(shù)，都是大數(shù)據(jù)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要的基礎(chǔ)課程，該課程的教學(xué)效果將直接影響大數(shù)據(jù)專(zhuān)業(yè)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和其他核心課程的學(xué)習(xí)，也關(guān)系到學(xué)生自身的發(fā)展。在地方應(yīng)用型本科院校，為了培養(yǎng)大數(shù)據(jù)專(zhuān)業(yè)學(xué)生的探索和創(chuàng)新精神，增強(qiáng)學(xué)生的能力，應(yīng)當(dāng)改變以理論教學(xué)為主的傳統(tǒng)教學(xué)模式[6]，將數(shù)據(jù)科學(xué)思維、人工智能技術(shù)理念結(jié)合相關(guān)應(yīng)用性案例融入傳統(tǒng)的高等代數(shù)課程教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)新技術(shù)、新業(yè)態(tài)、新變革等的接納思維與應(yīng)變能力[3]。

1 高等代數(shù)課程教學(xué)中面臨的問(wèn)題

1.1 共性問(wèn)題

從學(xué)科特征上來(lái)看，高等代數(shù)的理論具有高度的抽象性、邏輯的嚴(yán)密性和方法的靈活多變性，這決定了其課程教學(xué)在教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)上更偏重講解定義、定理和證明，強(qiáng)調(diào)理論性和邏輯推理，缺乏實(shí)踐工程示例;在教學(xué)方式上，理論性的講解意味著教師需按照課本編寫(xiě)順序講解，教學(xué)方法單一，缺少混合式教學(xué)模式，學(xué)生學(xué)習(xí)被動(dòng)、積極性不高。

高等教育出版社的《高等代數(shù)》是大部分任課教師選取的教材，該教材內(nèi)容豐富、知識(shí)點(diǎn)全面[7]。但對(duì)于大一新生而言，其從初等數(shù)學(xué)的直觀性過(guò)渡到高等代數(shù)的抽象性尚未適應(yīng)，思維模式?jīng)]能立即轉(zhuǎn)換到矩陣或線性空間等層面，所以具有一定的難度。因此，如何在較短時(shí)間內(nèi)，讓學(xué)生形成新的數(shù)學(xué)思維模式和邏輯推理能力是高等代數(shù)教學(xué)中必須解決的問(wèn)題。

1.2 差異問(wèn)題

大一新生無(wú)論是基礎(chǔ)知識(shí)、興趣愛(ài)好，還是學(xué)習(xí)目的、學(xué)習(xí)方法等均存在較大差異，理論教學(xué)不可能按照每個(gè)學(xué)生的狀況進(jìn)行針對(duì)性教學(xué)，基礎(chǔ)較好的學(xué)生會(huì)缺乏學(xué)習(xí)高等代數(shù)的熱情，基礎(chǔ)較差的學(xué)生會(huì)產(chǎn)生畏難厭學(xué)情緒。大數(shù)據(jù)專(zhuān)業(yè)與數(shù)學(xué)類(lèi)、統(tǒng)計(jì)學(xué)類(lèi)專(zhuān)業(yè)相比，“新工科”特色決定了其數(shù)學(xué)課程和專(zhuān)業(yè)課程必須有機(jī)融合，需要高等代數(shù)知識(shí)作為數(shù)據(jù)挖掘、機(jī)器學(xué)習(xí)、最優(yōu)化理論等后續(xù)核心課程的數(shù)學(xué)理論支撐模塊，注重與其他課程之間的關(guān)聯(lián)性和有效性;對(duì)學(xué)生的邏輯和計(jì)算思維提出了更高要求，以便在后續(xù)的學(xué)習(xí)中夠用能用[5，8]。

因此，鑒于大數(shù)據(jù)專(zhuān)業(yè)的高等代數(shù)課程教學(xué)中面臨的問(wèn)題，必須打破傳統(tǒng)理論教學(xué)模式，從知識(shí)體系、教材選擇和教學(xué)方法上進(jìn)行改革與實(shí)踐;探索混合式教學(xué)模式，進(jìn)行合理的分層教學(xué)，照顧各層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

2 強(qiáng)化高等代數(shù)和數(shù)據(jù)科學(xué)與大數(shù)據(jù)技術(shù)專(zhuān)業(yè)課程內(nèi)容的融合

2.1 教學(xué)內(nèi)容的優(yōu)化

傳統(tǒng)高等代數(shù)教學(xué)內(nèi)容主要由多項(xiàng)式理論和線性代數(shù)兩部分組成;其中，線性代數(shù)是重要部分。多項(xiàng)式理論主要講授一元多項(xiàng)式;線性代數(shù)部分主要包括行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空間、線性變換、λ矩陣、歐幾里得空間、雙線性函數(shù)與辛空間章節(jié)。以“應(yīng)用驅(qū)動(dòng)”為特色的大數(shù)據(jù)專(zhuān)業(yè)顯然不能、也不應(yīng)該照搬傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行高等代數(shù)課程講授，而應(yīng)該在深入調(diào)研大數(shù)據(jù)專(zhuān)業(yè)核心課程所需的數(shù)學(xué)知識(shí)模塊的基礎(chǔ)上[5，8]，根據(jù)人才培養(yǎng)方案對(duì)高等代數(shù)課程的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行選擇、優(yōu)化和補(bǔ)充;既要使學(xué)生掌握基本的代數(shù)思想和研究方法，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的理性思維和邏輯推理能力，又能契合大數(shù)據(jù)專(zhuān)業(yè)人才培養(yǎng)方案，實(shí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)和數(shù)據(jù)科學(xué)的課程融合。

借鑒其他高校試行高等代數(shù)課程改革方案[6，9]，我們對(duì)教學(xué)內(nèi)容優(yōu)化的具體做法包括：①多項(xiàng)式、λ矩陣、雙線性函數(shù)與辛空間與大數(shù)據(jù)專(zhuān)業(yè)的后繼課程沒(méi)有直接聯(lián)系，這三部分內(nèi)容不講不會(huì)對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)造成影響。②行列式、矩陣、線性方程組、二次型、線性空間這些知識(shí)點(diǎn)既是高等代數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是大數(shù)據(jù)專(zhuān)業(yè)后繼課程的基礎(chǔ)，應(yīng)作為教學(xué)的重點(diǎn)，要求學(xué)生熟練掌握。③線性變換和歐式空間中的思想和方法與數(shù)據(jù)科學(xué)的主要方法聯(lián)系緊密，需要重點(diǎn)講解。但其中涉及的線性變換的值域與核、不變子空間、若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的理論證明可略講或不講。這是因?yàn)榇髷?shù)據(jù)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生更多是需要對(duì)這些概念的實(shí)際運(yùn)用，所以對(duì)于理論證明可適當(dāng)降低要求。④增加空間解析幾何以及高維空間幾何學(xué)知識(shí)，形成與數(shù)學(xué)分析、數(shù)據(jù)科學(xué)導(dǎo)論課程的恰當(dāng)融合，彌補(bǔ)因缺乏幾何課程所導(dǎo)致的學(xué)生空間想象能力低下的缺陷，鍛煉學(xué)生數(shù)形結(jié)合和離散與連續(xù)結(jié)合的思維能力。⑤增加矩陣分析中的范數(shù)和矩陣微積分知識(shí)點(diǎn)，補(bǔ)充數(shù)據(jù)挖掘、機(jī)器學(xué)習(xí)和最優(yōu)化理論等專(zhuān)業(yè)課的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，強(qiáng)化與后繼應(yīng)用型課程的有序銜接。

2.2 案例式教學(xué)的滲透

高等代數(shù)在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的許多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用[10]，但現(xiàn)行的國(guó)內(nèi)教材注重代數(shù)系統(tǒng)本身的邏輯結(jié)果，并不介紹具體的應(yīng)用性案例[6];導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)興趣低下，反映課程內(nèi)容枯燥、概念抽象，最終不能系統(tǒng)理解和掌握高等代數(shù)課程知識(shí)[11]。為了充分體現(xiàn)高等代數(shù)自身的價(jià)值和其在大數(shù)據(jù)專(zhuān)業(yè)相關(guān)核心課程中的基礎(chǔ)地位和融合支撐程度，必須在理論教學(xué)之外增加應(yīng)用性案例教學(xué)，尤其是代數(shù)學(xué)與數(shù)據(jù)科學(xué)之間相互滲透的案例，將理論與實(shí)際相結(jié)合，使學(xué)生掌握“具體→抽象→具體”的代數(shù)學(xué)研究方法;讓學(xué)生切身體會(huì)到高等代數(shù)理論在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用，從而增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)和應(yīng)用代數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力和積極性，符合“應(yīng)用驅(qū)動(dòng)”的專(zhuān)業(yè)特色。

例如，學(xué)習(xí)行列式時(shí)，引入柯西使用行列式計(jì)算多面體體積的公式，讓學(xué)生了解行列式在幾何學(xué)中的應(yīng)用;通過(guò)實(shí)例介紹行列式在解析幾何中的應(yīng)用歷史，能揭示新知識(shí)引入的必要性，從而激發(fā)學(xué)生掌握新的數(shù)學(xué)工具的興趣。學(xué)習(xí)線性方程組時(shí)，引入劍橋食譜中的營(yíng)養(yǎng)元素配比問(wèn)題以及城市道路網(wǎng)絡(luò)交通流問(wèn)題，使學(xué)生體會(huì)線性方程組在社會(huì)科學(xué)中的應(yīng)用;這種實(shí)例來(lái)源于日常飲食和交通，十分貼近生活，易使學(xué)生產(chǎn)生興趣，且學(xué)生能從中感受到代數(shù)學(xué)與營(yíng)養(yǎng)學(xué)、交通科學(xué)的緊密聯(lián)系。學(xué)習(xí)矩陣代數(shù)運(yùn)算時(shí)，介紹現(xiàn)代飛機(jī)的設(shè)計(jì)問(wèn)題，讓學(xué)生了解求解大規(guī)模線性方程組的時(shí)間消耗是驚人的，從而自然地引出分塊矩陣和矩陣分解的使用效果，可以節(jié)約大量的時(shí)間成本;這種實(shí)例直接來(lái)源于現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)應(yīng)用，凸顯了代數(shù)學(xué)與高新技術(shù)學(xué)科之間的關(guān)聯(lián)，能有效激發(fā)學(xué)生的科學(xué)情懷和學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。通過(guò)在教學(xué)中引入應(yīng)用性案例，不僅有助于鍛煉學(xué)生的抽象思維能力，熟練掌握代數(shù)方法;而且可以有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

2.3 教材的選擇

基于上述要求，我們選擇了美國(guó)線性代數(shù)課程現(xiàn)代化領(lǐng)導(dǎo)人、世界頂尖教育家戴維·C.雷（David C.Lay）教授主編的《線性代數(shù)及其應(yīng)用》（原書(shū)第5版，中譯本[10]）作為教材（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“教材”）。教材正文有8章，分別是線性方程組、矩陣代數(shù)、行列式、向量空間、特征值與特征向量、正交性和最小二乘法、對(duì)稱(chēng)矩陣和二次型、向量空間的幾何學(xué)。結(jié)合教學(xué)內(nèi)容優(yōu)化要求，需要補(bǔ)充空間解析幾何、范數(shù)、矩陣微積分3個(gè)教學(xué)章節(jié)。教材的前7章涵蓋了n上的線性代數(shù)概念和內(nèi)容，并拓展至部分矩陣分析的內(nèi)容（如LU分解、奇異值分解等）。在第8章向量空間的幾何學(xué)授課前需講授空間解析幾何知識(shí)。這兩章關(guān)于幾何學(xué)知識(shí)的教學(xué)，一方面可將代數(shù)對(duì)象幾何直觀化，使學(xué)生深入理解幾何意義，例如二次型與二次曲線的對(duì)應(yīng)關(guān)系;另一方面則可為后續(xù)機(jī)器學(xué)習(xí)等課程鋪墊，例如超平面在支持向量機(jī)算法中的使用。范數(shù)章節(jié)的教學(xué)是為數(shù)據(jù)科學(xué)中常用的各種距離概念提供了統(tǒng)一的數(shù)學(xué)工具范式的衡量。最后矩陣微積分知識(shí)點(diǎn)的介紹則是為最優(yōu)化理論、機(jī)器學(xué)習(xí)等課程提供數(shù)學(xué)工具以及夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)。

教材廣泛選取了線性代數(shù)在工程學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)等眾多領(lǐng)域的應(yīng)用問(wèn)題[10]，很好地體現(xiàn)了線性代數(shù)教學(xué)改革的世界潮流和方向，一直是國(guó)內(nèi)高等代數(shù)和線性代數(shù)現(xiàn)行教材改革借鑒的范本[11，12]，也被國(guó)內(nèi)部分高校試行課程教學(xué)改革時(shí)選用[13]。教材的一大特色是處處滲透數(shù)據(jù)科學(xué)和智能計(jì)算思維。最小二乘法、線性回歸模型、主成分分析方法的應(yīng)用性案例極大拓展了學(xué)生使用代數(shù)方法實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)分析的思路;教材中出現(xiàn)的算法總結(jié)體現(xiàn)出現(xiàn)代計(jì)算機(jī)科學(xué)算法思想，同時(shí)也會(huì)涉及算法比較和優(yōu)化，這些都和智能計(jì)算思維密切相關(guān)。

3 結(jié)論

高等代數(shù)課程教學(xué)改革關(guān)系到大數(shù)據(jù)專(zhuān)業(yè)人才培養(yǎng)質(zhì)量高低的基礎(chǔ)環(huán)節(jié)，應(yīng)該依照“新工科”建設(shè)要求和地方應(yīng)用型本科高校實(shí)際需要，對(duì)高等代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和教學(xué)模式進(jìn)行改革。雖然限于篇幅，本文未對(duì)具體的教學(xué)模式和教學(xué)方法改革進(jìn)行進(jìn)一步闡述，但是線上線下混合式、分層教學(xué)模式以及結(jié)合Python/R開(kāi)源軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的理論+實(shí)踐教學(xué)方法已使得絕大部分學(xué)生對(duì)高等代數(shù)課程感興趣、喜愛(ài)，學(xué)習(xí)積極性高漲，起到了教學(xué)相長(zhǎng)的目的;最終為大數(shù)據(jù)專(zhuān)業(yè)學(xué)生發(fā)現(xiàn)自我、發(fā)展自我和實(shí)現(xiàn)自我奠定了堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

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基金項(xiàng)目：教育部協(xié)同育人項(xiàng)目（201901051023）;湖州師范學(xué)院教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目成果，編號(hào)JGJX1926;湖州師范學(xué)院校級(jí)科研項(xiàng)目成果，編號(hào)2018XJKJ49

*通訊作者：宋濤，博士，講師，研究方向：交通科學(xué)和交通大數(shù)據(jù)分析。