淺談判斷充分、必要條件的方法

王紅明

(江蘇省泰州市姜堰區(qū)羅塘高級中學(xué) 225500)

解決判斷充分、必要條件這類問題，需熟練掌握充要條件的概念，準(zhǔn)確理解其含義，結(jié)合題設(shè)條件分清條件與結(jié)論的關(guān)系，結(jié)合正確高效的解題方法，最終得出正確結(jié)果.

下面主要對如何準(zhǔn)確高效判斷條件的充要性作一歸納整理，希望可以有所幫助.

一、定義法

按照課本上面的定義，有如下基本結(jié)論：

1.若p?q，則p是q的充分條件；

2.若q?p，則p是q的必要條件；

3.若p?q,q?/p，則p是q的充分不必要條件；

4.若p?/q,q?p，則p是q的必要不充分條件；

5.若p?q,q?p,則p是q的充要條件；

6.若p?/q,q?/p,則p是q的既不充分也不必要條件.

例1 設(shè)集合M={x|log2x>1}，P={x|3x<27}，問“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的什么條件.

解析先解得集合M={x|x>2}，P={x|x<3}，條件p：x∈M或x∈P，即P∪M=R，結(jié)論q：x∈P∩M，而P∩M={x|2

顯然x∈P∩M?x∈M或x∈P，反之則不然.

所以“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的必要不充分條件.

點評從命題的角度判斷條件的充要性，應(yīng)先把題目寫成命題的形式，并對條件和結(jié)論進(jìn)行明確或者求解，然后按照定義，直接判斷.

練習(xí)1 試判斷“m=3”是“直線(m-1)x+2my+1=0與直線(m+3)x-(m-1)y+3=0相互垂直”的什么條件.

解析∵直線(m-1)x+2my+1=0與直線(m+3)x-(m-1)y+3=0互相垂直,

∴(m-1)(m+3)+2m[-(m-1)]=0，解得m=3或m=1.

∴“m=3”是“直線(m-1)x+2my+1=0與直線(m+3)x-(m-1)y+3=0互相垂直”的充分不必要條件.

二、集合法

一般地，若p以集合A的形式出現(xiàn)，q以集合B的形式出現(xiàn)，有如下基本結(jié)論：

1.若A?B，則p是q的充分條件；

2.若A?B，則p是q的必要條件；

3.若AB，則p是q的充分不必要條件；

4.若BA，則q是p的必要不充分條件；

5.若A=B，則p是q的充要條件；

6.若AB, 且AB，則p是q的既不充分也不必要條件.

解析設(shè)命題p、q分別對應(yīng)集合M、N，解得M=(-∞,-4]∪[1,+∞)，N=(-∞,-4]∪(1,+∞)，顯然NM，所以p是q的必要不充分條件.

點評用集合的觀點來判斷條件的充要性，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想，方便高效.

三、傳遞法

1.若p是q的充分條件，q是r的充分條件，則p是r的充分條件；

2.若p是q的必要條件，q是r的必要條件，則p是r的必要條件；

3.若p是q的充要條件，q是r的充要條件，則p是r的充要條件.

例3 若甲是乙的必要不充分條件，丙是乙的充要條件，試判斷丙是甲的什么條件.

解析∵甲是乙的必要不充分條件，

∴甲?/ 乙，乙?甲，

又∵丙是乙的充要條件，即丙?乙，

∴丙?甲，甲?/ 丙，

∴丙是甲的充分不必要條件.

點評對于看上去較復(fù)雜的關(guān)系，常用?、?、?/ 等符號進(jìn)行傳遞，畫出它們的綜合結(jié)構(gòu)圖，可降低解題難度，直觀快捷形象.

練習(xí)3已知p是r的充分不必要條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，那么p是q的什么條件？

解析依題意有：p?r,r?s,s?q,

∴p?r?s?q.

又∵r?/q，∴q?/p.∴p是q的充分不必要條件.

四、等價命題法

由于互為逆否命題的兩個命題具有相同的真假性，因而，當(dāng)判斷原命題真假比較困難時，可轉(zhuǎn)化為判斷它的逆否命題的真假，這就是常說的“正難則反”.

解析設(shè)命題p、q分別對應(yīng)集合P、Q，則

P={x|-2

Q={x|-22}.

點評由于原命題與逆否命題等價，逆命題與否命題等價，因此，對于那些帶有否定性的命題，可先轉(zhuǎn)化為它的等價命題，再進(jìn)行判斷，體現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)思維的靈活性.

練習(xí)4 已知條件p：x+y≠-2，條件q：x，y不都為-1，試判斷p是q的什么條件.

解析直接判斷比較困難，考慮采用原命題與逆否命題同真假的方法.

等價的逆否命題為“若x，y都為-1，則x+y=-2”，顯然成立，∴p是q的充分而不必要條件.

總之，條件充要性的判定是高中課程中很重要的知識，高考經(jīng)常進(jìn)行考查，我們在備考時一定要熟練掌握四種基本判斷方法：定義法、集合法、傳遞法、等價命題法.同時由于條件充要性的判定在出題時很容易與其他知識進(jìn)行交匯考查，所以我們有必要夯實基礎(chǔ)，適當(dāng)增加訓(xùn)練量，以到達(dá)穩(wěn)步拿分的理想狀態(tài).