齊次線性方程組的互質(zhì)正整數(shù)解在配平化學(xué)方程式中的應(yīng)用

趙曉慧 戴志亮

(山東省交通運輸學(xué)校，山東 泰安 271000)

配平化學(xué)方程式有很多方法，我們舉一個用待定系數(shù)法配平化學(xué)方程式的例子：

鐵在空氣中燃燒：

(1)

設(shè)x1x2x3是三個正整數(shù)，使得：

(2)

我們可以得到

這是三個未知數(shù)，兩個方程的齊次線性方程組。令x3=1，可得互質(zhì)的正整數(shù)解：

因此，我們可將化學(xué)方程式(1)或(2)式配平如下：

但對于未知數(shù)較多的方程組，就不太容易求其互質(zhì)的正整數(shù)解了。

一 齊次線性方程組相關(guān)理論

關(guān)于x1，x2…xn的齊次線性方程組

(3)

(我們只討論aij(i=1,2,…m,j=1,2,…,n)為有理數(shù)的情況。)

若記

則方程組(3)也可寫成向量方程A = 0

(4)的形式。

1 齊次線性方程組的互質(zhì)正整數(shù)解

定義1：若存在某向量

滿足向量方程(4)，則稱向量x*線性方程組為(3)或(4)的一個解向量，此時，若各個分量x1，x2，…，xn均為正整數(shù)且互質(zhì)，則稱x1，x2，…，xn為齊次線性方程組(3)一個互質(zhì)的正整數(shù)解。

定理1[1]設(shè)x1，x2，…，齊次線性方程組(3)的r個解向量，則對于任意常數(shù)，c1，c2，…，cr，則c1+c2+…+cr也是齊次線性方程組(3)的一個解向量。

定理2齊次線性方程組(3)有互質(zhì)正整數(shù)解的充分必要條件是齊次線性方程組(3)有正有理數(shù)解。

證明：必要性是顯然的。

由推論可知，只要求出齊次線性方程組(3)的正有理數(shù)解，就能求出它的正整數(shù)解，進(jìn)而求出它的互質(zhì)的正整數(shù)解。

2 用初等行變換求線性方程組的解法

定義2[1]：線性方程組的同解變換即初等行變換是指下列三種變換：

(1)交換線性方程組的任意兩個線性方程式

(2)線性方程組的任意一個線性方程式乘以非零常數(shù)k

(3)線性方程組任意一個線性方程式的常數(shù)k倍加到另外一個線性方程式上去

顯然，線性方程組的初等行變換和矩陣的初等行變換是一樣的，我們可以對矩陣A的初等行變換求齊次線性方程組(3)的解。

3齊次線性方程組(3) 有非零解的條件

定理3[1]已知由m個方程n個未知數(shù)的齊次線性方程組Ax=0，則齊次線性方程組(3)有非零解的充分必要條件是：秩r(A)

推論1：當(dāng)齊次線性方程式的個數(shù)少于未知量的個數(shù)時，齊次線性方程有非零解。

推論2[1]：對于齊次線性方程組Ax=0，若秩r(A)=n-1，則齊次線性方程組(3)有非零解且其基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)為1..

根據(jù)以上論述，對于齊次線性方程組(3)，若秩r(A)

(5)

其中xr+1，xr+2，…，xn為自由未知量。則有下列結(jié)論：

方程組(3)有正有理數(shù)解的充分條件是：在xr+1，xr+2，…，xn中，存在某個xi，使得xi,的系數(shù)全為正有理數(shù)。

若方程組(3)中存在某個方程，使得各自由未知量系數(shù)均為負(fù)數(shù)，則方程組(3)無正數(shù)解。

方程組(3)有正有理數(shù)解的必要條件是，對于方程組(3)中任一個方程，至少存在一個自由未知量，使得其系數(shù)為正有理數(shù)。

由于在化學(xué)方程式配平中，由待定系數(shù)所得的方程組一定是齊次的，且所有系數(shù)均為正整數(shù)，由結(jié)論b)，若將方程組(3)化為方程組(3)的形式后，出現(xiàn)某個方程各自由未知量系數(shù)均為負(fù)數(shù)，則必然是解的過程出現(xiàn)了錯誤。

對于在化學(xué)方程式配平中的齊次線性方程組，若其解只有一個自由未知量，則所得的互質(zhì)正整數(shù)解是唯一的。

應(yīng)用以上理論我們可以求得齊次線性方程組的互質(zhì)正整數(shù)解。

例1求下列齊次線性方程組的一個互質(zhì)正整數(shù)解的基礎(chǔ)解系

解：對系數(shù)矩陣A施行初等行變換將左邊4×4塊化成上單位矩陣

上面最后一陣對應(yīng)的齊次線性方程組為：

令(x5，x6，x7)T=(8，2，1)T，則(x1，x2，x3，x4)T=(1，8，1，1)T

令(x5，x6，x7)T=(6，1，1)T，則(x1，x2，x3，x4)T=(2，6，1，1)T

令(x5，x6，x7)T=(22，3，1)T，則(x1，x2，x3，x4)T=(6，24，9，8)T

這樣，我們得到所給方程組的三個解向量：

§1=(1,8,1,1,8,2,1)T§2=(2,6,1,1,6,1,1)T§1=(6,24,9,8,22,3,1)T

顯然，這三個解向量線性無關(guān)，且每個解向量的各分量互質(zhì)，故所得的上述三個解向量即為所求。

二 通過齊次線性方程組的互質(zhì)正整數(shù)解配平化學(xué)方程式舉例

例2 配平下列化學(xué)反應(yīng)方程式

CH2OH(CHOH)4CHO+[Ag(NH3)2〗OH→CH2OH(CHOH)4COONH4+Ag↓+NH3+H2O

解：設(shè)有待定系數(shù)x1，x2，x3，x4，x5，x6，使得：

x1CH2OH(CHOH)4CHO+x2[Ag(NH3)2]OH=x3CH2OH(CHOH)4COONH4+x4Ag↓+x5NH3+ x6H2O，則，我們有：

C：6 x1=6 x3

H：12 x1+7 x2=15 x3+3 x5+2 x6

O：6 x1+ x2=7 x3+ x6

Ag：x2= x4

N：2 x2= x3+x5

故我們得到下列含有n=6個未知數(shù)的齊次線性方程組：

系數(shù)矩陣：

由上述最后一矩陣可得：秩r(A) =6-1=5，含有一個自由未知量x6，且：

顯然，令自由未知量x6=1，可得方程組唯一的互質(zhì)的正整數(shù)解：

故所給化學(xué)反應(yīng)式配平為：

.CH2OH(CHOH)4CHO+2[Ag(NH3)2]OH=CH2OH(CHOH)4COONH4+2Ag↓+3NH3+H2O

必須指出，某些化學(xué)反應(yīng)式的配平系數(shù)可能不唯一，這時，齊次線性方程組系數(shù)矩陣的初等行變換法求待定系數(shù)，更顯其優(yōu)越性，例如：

例3配平下列化學(xué)反應(yīng)方程式[2]

C6H4OHCOONa+H2O2+NaOH→C6H2O2(ONa)2·2H2O+H2O+O2↑+CO2↑

解：設(shè)有待定系數(shù)x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，使得：

x1C6H4OHCOONa+ x2H2O2+ x3NaOH→x4C6H2O2(ONa)2·2H2O+ x5H2O+ x6O2↑+ x7CO2↑

則:C： 7x1=6x4+x7

H： 5x1+2x2+x3=6x4+2x5

O： 3x1+2x2+x3=6x4+x5+2x6+2x7

Na： x1+x3=2x4

故我們得到下列含有n=7個未知數(shù)的齊次線性方程組：

由例1，我們已求出了它的一個互質(zhì)正整數(shù)解的基礎(chǔ)解系：

§1=(1,8,1,1,8,2,1)T§2=(2,6,1,1,6,1,1)T§1=(6,24,9,8,22,3,1)T

這樣，我們得到了3組系數(shù)，配平如下：

C6H4OHCOONa+ 8H2O2+ NaOH=C6H2O2(ONa)2·2H2O+ 8H2O+2O2↑+CO2↑

2C6H4OHCOONa+6H2O2+ NaOH=C6H2O2(ONa)2·2H2O+ 6H2O+ O2↑+CO2↑

6C6H4OHCOONa+24H2O2+9NaOH=8C6H2O2(ONa)2·2H2O+ 22H2O+ 3O2↑+ CO2↑

事實上§1，§2，§3，的任意線性組合，只要滿足各分量為正數(shù)且互質(zhì)，都是所給反應(yīng)式的配平系數(shù)。例如：++也是所得齊次線性方程組的一個解向量，且滿足各分量為正數(shù)且互質(zhì)，因此，也是所給反應(yīng)式的配平系數(shù)：

9C6H4OHCOONa+ 38H2O2+ 11NaOH=10C6H2O2(ONa)2·2H2O+ 36H2O+6O2↑+3CO2↑

綜上所述，通過求齊次線性方程組的互質(zhì)正整數(shù)解可以配平較為復(fù)雜的化學(xué)方程式，例3說明存在配平系數(shù)不唯一的化學(xué)方程式。

[1] 胡健，施泱，鄭龍飛.線性代數(shù)[M] . 北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2007.52-122.

[2] 劉新華，張景曉.利用線性方程組理論配平化學(xué)方程式[J] .德州師專學(xué)報，1996，12(4)：4-5.