基于時(shí)段偏好的高速鐵路列車(chē)停站和頻率優(yōu)化*

黃志鵬 ?；菝?/p>

（蘭州交通大學(xué)交通運(yùn)輸學(xué)院 蘭州730070）

0 引 言

高速鐵路作為一種安全、快捷、綠色的交通方式受到越來(lái)越多旅客的青睞。旅客選擇高鐵出行不僅僅局限于傳統(tǒng)的鐵路客運(yùn)產(chǎn)品——位移，同時(shí)對(duì)列車(chē)服務(wù)提出了新的更高要求，而列車(chē)出發(fā)時(shí)段則是旅客最為關(guān)心的服務(wù)品質(zhì)。旅客通常會(huì)根據(jù)各自的出行目的和出行習(xí)慣選擇最理想的出發(fā)時(shí)段，即旅客對(duì)1 d 中的不同時(shí)段表現(xiàn)出明顯的偏好和差異，這必然會(huì)導(dǎo)致旅客需求分布的時(shí)間不均衡。對(duì)應(yīng)地，鐵路部門(mén)必然會(huì)感受到這種偏好，并在不同時(shí)段提供不同的列車(chē)服務(wù)以響應(yīng)這樣的需求分布特征。在列車(chē)運(yùn)營(yíng)階段，列車(chē)停站方案和開(kāi)行頻率是鐵路供給產(chǎn)品的最重要體現(xiàn)，在很大程度上決定列車(chē)服務(wù)的品質(zhì)。因此，深入研究旅客出發(fā)時(shí)段偏好和需求分布之間的耦合關(guān)系，據(jù)此優(yōu)化高鐵列車(chē)停站方案和開(kāi)行頻率，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

軌道列車(chē)停站和頻率優(yōu)化始終是國(guó)際熱門(mén)的研究問(wèn)題。許多學(xué)者將列車(chē)停站方案作為列車(chē)運(yùn)行圖的子問(wèn)題進(jìn)行研究，Yue等[1]、Qi等[2]分別構(gòu)建了以運(yùn)輸收益最大、列車(chē)空座位運(yùn)行距離以及列車(chē)總停站次數(shù)最小為目標(biāo)的規(guī)劃模型，Shang等[3]將旅客出行過(guò)程抽象到基于空間-時(shí)間-狀態(tài)的3維網(wǎng)絡(luò)中優(yōu)化列車(chē)停站方案。李得偉等[4]、牛豐等[5]將列車(chē)停站次數(shù)作為優(yōu)化目標(biāo)或者約束條件，構(gòu)建高鐵列車(chē)停站方案模型。Niu等[6]針對(duì)1條擁擠的高鐵走廊，以最小化乘客的候車(chē)時(shí)間為目標(biāo)，研究了列車(chē)時(shí)刻表和停站方案的協(xié)同優(yōu)化問(wèn)題。文獻(xiàn)[7-8]以鐵路運(yùn)輸企業(yè)運(yùn)輸效益最大化為目標(biāo)對(duì)列車(chē)開(kāi)行方案進(jìn)行優(yōu)化。文獻(xiàn)[9-11]分析了影響旅客出行滿(mǎn)意度的因素，并構(gòu)建了列車(chē)開(kāi)行方案模型。Wang[12]和Zhao 等[13]分析了旅客出行選擇行為和列車(chē)開(kāi)行方案優(yōu)化的關(guān)系，并設(shè)計(jì)了優(yōu)化模型和算法?？紤]到需求與供給之間的博弈關(guān)系，文獻(xiàn)[14-18]建立了雙層規(guī)劃模型對(duì)列車(chē)停站和頻率問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，取得了重要的研究成果。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)軌道列車(chē)停站和頻率問(wèn)題做了大量深入的研究，但如何在優(yōu)化過(guò)程中體現(xiàn)旅客對(duì)出發(fā)時(shí)段的偏好屬性，尚未見(jiàn)到公開(kāi)的報(bào)道。本文針對(duì)1 條高速鐵路走廊，引入吸引度與排斥度來(lái)量化旅客對(duì)出發(fā)時(shí)段的偏好，據(jù)此構(gòu)造了新的高鐵旅客出行阻抗函數(shù)，通過(guò)構(gòu)建雙層規(guī)劃模型反映企業(yè)和旅客的不同利益博弈，研究基于時(shí)段偏好的列車(chē)停站和頻率優(yōu)化問(wèn)題。本文的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)是將旅客的出行時(shí)段偏好與列車(chē)停站方案和開(kāi)行頻率結(jié)合起來(lái)，將道路交通流平衡分配理論運(yùn)用在軌道交通運(yùn)輸組織中，把多OD 客流需求分配問(wèn)題轉(zhuǎn)化為旅客出行方案（時(shí)空出行路徑）選擇問(wèn)題。以期達(dá)到鐵路運(yùn)輸企業(yè)運(yùn)營(yíng)“系統(tǒng)最優(yōu)”和出行者“用戶(hù)均衡”的協(xié)同優(yōu)化。

1 問(wèn)題分析

1.1 問(wèn)題和假設(shè)

本文研究1條擁擠的高鐵線(xiàn)路，擁擠性表現(xiàn)為受列車(chē)服務(wù)供給的影響，旅客不能全部按照自己最理想的時(shí)段出發(fā)。不失一般性，本文研究單方向列車(chē)的運(yùn)營(yíng)問(wèn)題。設(shè)該高鐵線(xiàn)路含有m 個(gè)車(chē)站，從始發(fā)站1開(kāi)始，沿列車(chē)運(yùn)行方向依次標(biāo)記為2，3，…，m ，并用S 表示車(chē)站集合。

首先假設(shè)在給定的高鐵線(xiàn)路上，所有列車(chē)的運(yùn)行速度和編組長(zhǎng)度相同。此外，假定高鐵全天的運(yùn)營(yíng)時(shí)間限制在06:00—24:00之間，并以1 h為1個(gè)時(shí)段，按照時(shí)間順序依次編號(hào)1，2，…，18，共18 個(gè)時(shí)段，如將07:00—08:00標(biāo)記為時(shí)段2，并用H 表示時(shí)段的集合。

為了響應(yīng)需求分布的時(shí)間不均衡特征，在不同時(shí)段，鐵路部門(mén)會(huì)選用不同的停站方案及不同的開(kāi)行頻率或列車(chē)數(shù)量。本文將以時(shí)段為單元，依據(jù)旅客對(duì)出發(fā)時(shí)段的偏好，制定各時(shí)段的列車(chē)停站及頻率方案，最大限度地滿(mǎn)足具有時(shí)段偏好差異的旅客

需求。因此，本文研究的列車(chē)停站和頻率問(wèn)題，實(shí)際上就是確定集合為h時(shí)段開(kāi)行p 停站方案的列車(chē)數(shù)量；P 為停站方案的集合。

1.2 時(shí)段偏好

從2 個(gè)方面度量旅客出發(fā)時(shí)段偏好，基于客觀的時(shí)段吸引度和基于客流影響的時(shí)段排斥度。

1.2.1 時(shí)段吸引度

對(duì)于1 條運(yùn)營(yíng)的高鐵線(xiàn)路，不同時(shí)段對(duì)旅客出發(fā)的吸引程度具有明顯差異，其大小受出行目的、旅行時(shí)間、經(jīng)濟(jì)條件、文化習(xí)慣等多因素的影響。對(duì)于指定的車(chē)站i ，本文用1個(gè)介于0-1之間的常數(shù)來(lái)表示h 時(shí)段的吸引度。時(shí)段越好或該時(shí)段越吸引乘客，則吸引度的取值越小，反之則吸引度的取值越大。通常情況下，吸引度的取值可以通過(guò)旅客問(wèn)卷調(diào)查或客流數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析來(lái)獲得。對(duì)于本文討論的蘭西高速鐵路走廊（蘭州西—西安北），在始發(fā)站（蘭州西站）組織實(shí)施了含有1 067份有效問(wèn)卷的數(shù)據(jù)調(diào)查，輔助于歷史訂票信息的分析，得到了該站的時(shí)段吸引度（見(jiàn)表1），其中時(shí)段4（09:00—10:00）最吸引乘客。

1.2.2 時(shí)段排斥度

對(duì)于某個(gè)出發(fā)時(shí)段，除了時(shí)段吸引度，還有一種受客流反向影響的屬性，本文稱(chēng)之為時(shí)段排斥度，其大小受制于該時(shí)段加載的客流量。當(dāng)某個(gè)時(shí)段的吸引度取值較小時(shí)，大量的旅客選擇在這個(gè)時(shí)段出行，這必然會(huì)導(dǎo)致部分旅客買(mǎi)不到該時(shí)段車(chē)票，或者為了確保能在這個(gè)時(shí)段出行，旅客必須提前購(gòu)票，使得出行靈活性降低，最終導(dǎo)致該時(shí)段的排斥度變大。

表1 蘭州西站時(shí)段吸引度Tab. 1 Period attractivity of Lanzhouxi station

時(shí)段排斥度的數(shù)值，取決于從始發(fā)站發(fā)出的累計(jì)客流量。例如，車(chē)站對(duì)（1，2）關(guān)于時(shí)段1的排斥度，除了受時(shí)段1產(chǎn)生的（1，2）站之間客流影響，還要受時(shí)段1從始發(fā)站1發(fā)出的（1，3）、（1，4）、（1，5）等客流的影響和支配?；诖?，用度量車(chē)站對(duì)間h 時(shí)段的排斥度。其中:xihj為變量，為從i 站出發(fā)途經(jīng)車(chē)站對(duì)的累計(jì)客流量；為車(chē)站對(duì)( i,j )之間旅客能夠在h 時(shí)段出發(fā)的數(shù)量，這與h 時(shí)段列車(chē)開(kāi)行的數(shù)量有關(guān)。顯然，累計(jì)客流量xihj越大，則該時(shí)段的排斥度越大。

1.3 阻抗函數(shù)

旅客出行的綜合成本，可以用阻抗函數(shù)大小來(lái)度量。結(jié)合前文引入的時(shí)段吸引度和排斥度，本文定義車(chē)站對(duì)( )i,j 間旅客選擇h 時(shí)段出行的阻抗函數(shù)見(jiàn)式（1）。

式中:α 為調(diào)節(jié)系數(shù)；τij為列車(chē)在車(chē)站對(duì)( i,j )的平均運(yùn)行時(shí)間。式（1）定義的阻抗函數(shù)是累計(jì)客流量的增函數(shù)，具有普通阻抗函數(shù)的特征。

高鐵旅客對(duì)出發(fā)時(shí)段的選擇，類(lèi)似于城市交通出行者對(duì)路徑的選擇，他們總是期望能夠在阻抗最小的時(shí)段出行。不同于城市交通系統(tǒng)擁擠現(xiàn)象主要發(fā)生在行駛途中，高鐵系統(tǒng)的擁擠現(xiàn)象則發(fā)生在上車(chē)站，表現(xiàn)為部分旅客不能夠在自己期望的時(shí)段出發(fā)。

乘客首先會(huì)選擇阻抗值最小的時(shí)段出行，當(dāng)很多旅客都做出這種選擇時(shí)，會(huì)導(dǎo)致該時(shí)段的阻抗增加，并使該時(shí)段不再是旅客最佳的選擇，部分旅客會(huì)轉(zhuǎn)而選擇其他時(shí)段。如此循環(huán)反復(fù)，最終旅客對(duì)出發(fā)時(shí)段的選擇達(dá)到UE 平衡狀態(tài)。也就是說(shuō)，所有時(shí)段上的出行阻抗相等，都等于它們共同的最小值。

1.4 停站方案

對(duì)于1 條含有m 個(gè)車(chē)站的高鐵線(xiàn)路，列車(chē)將有2m種可能的停站選擇。當(dāng)m 較大時(shí)，這是1 個(gè)典型的NP問(wèn)題。然而，現(xiàn)實(shí)中真正需要選擇是否停車(chē)的車(chē)站數(shù)量往往并不太多。如始發(fā)站1 和終到站m ，以及部分客流量大的中心城市所在站，列車(chē)必須停車(chē)。排除這些必停站，需要決策是否停車(chē)的車(chē)站是很有限的。

如含有10 個(gè)車(chē)站的蘭西高鐵走廊，除蘭州西、定西北、天水南、寶雞南、咸陽(yáng)秦都、西安北等6個(gè)必停站，真正需要選擇列車(chē)是否?？康能?chē)站只有4個(gè)。因此，全部停站方案的總數(shù)為:24= 16 ?；诖?，對(duì)于本文討論的列車(chē)停站問(wèn)題，可以用枚舉法列出所有可能的方案，再用優(yōu)化模型計(jì)算相應(yīng)的列車(chē)頻率。然而，當(dāng)?？寇?chē)站增多時(shí)，這種建立列車(chē)停站方案?jìng)溥x集的方法會(huì)降低求解效率，應(yīng)當(dāng)增加1 組0-1決策變量來(lái)表示沿途?？空镜摹巴＼?chē)/通過(guò)”狀況。

1.5 求解思路

本文運(yùn)用雙層規(guī)劃模型刻畫(huà)問(wèn)題，用遺傳算法和Frank-Wolfe方法求解模型。在構(gòu)模階段，上層模型確定列車(chē)停站和頻率方案，下層模型確定時(shí)段配流結(jié)果。具體地說(shuō)，就是將全天的OD 客流需求作為輸入常數(shù)，對(duì)枚舉的每個(gè)停站方案和當(dāng)前的列車(chē)頻率，運(yùn)用Frank-Wolfe 方法將客流需求加載至?xí)r段；然后，利用得到的配流結(jié)果，計(jì)算和度量方案的優(yōu)劣，再運(yùn)用遺傳操作生成更好的列車(chē)頻率；如此循環(huán)反復(fù)，最終得到最優(yōu)的基于時(shí)段偏好的列車(chē)停站和頻率方案。

2 模型和算法

2.1 符號(hào)說(shuō)明

本文建模所需符號(hào)見(jiàn)表2。

表2 符號(hào)說(shuō)明Tab. 2 Notation's description

2.2 上層規(guī)劃

1） 目標(biāo)函數(shù)。在一個(gè)出發(fā)時(shí)段，可以選用不同的停站方案和開(kāi)行頻率。這些不同的列車(chē)開(kāi)行方案，必然產(chǎn)生不同的運(yùn)營(yíng)成本。本文以最小化鐵路部門(mén)總運(yùn)營(yíng)成本為上層規(guī)劃的優(yōu)化目標(biāo)。當(dāng)?shù)趆 時(shí)段，選用停站方案p 的列車(chē)數(shù)量為yhp（決策變量）時(shí)，將產(chǎn)生rp?yhp的運(yùn)行成本，對(duì)于鐵路運(yùn)輸企業(yè)，運(yùn)營(yíng)成本最小化是其目標(biāo)，故上層目標(biāo)函數(shù)可以表示為

式中:θij為鐵路部門(mén)為車(chē)站i 與j 之間分配的票額比例，假定該數(shù)值為已知的常數(shù)，取值可根據(jù)歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)。約束條件（3）表示h 時(shí)段開(kāi)行的列車(chē)總數(shù)不能超過(guò)額定能力，約束條件（4）表示車(chē)站i 與j 之間在h 時(shí)段提供的服務(wù)能力應(yīng)該不小于相應(yīng)的客流需求。

2.3 下層規(guī)劃

旅客總是選擇出行阻抗最小的時(shí)段出發(fā)，而阻抗函數(shù)（1）又是流量的增函數(shù)，這必然會(huì)導(dǎo)致不同旅客間的選擇博弈，這種選擇博弈最終會(huì)達(dá)到一種UE用戶(hù)平衡狀態(tài)。即對(duì)于車(chē)站對(duì)(i,j) 間的旅客，任意時(shí)段只要存在客流，則這些時(shí)段上旅客出行阻抗相等。用uij表示車(chē)站i 與j 之間的最小出行阻抗，則UE平衡條件可表示為

圖1 算法流程Fig. 1 Algorithm process

上述最優(yōu)化模型具有和城市交通UE 配流模型相似的形式，差異性表現(xiàn)在其中的路段、路徑和阻抗函數(shù)具有完全不同的意義。其中決策變量表明在上層決策的基礎(chǔ)上，流量分配的結(jié)果，其又能反饋給上層約束（4）。

2.4 算法

所建模型是1 個(gè)雙層規(guī)劃問(wèn)題，它被公認(rèn)為是極其困難求解的NP完全問(wèn)題。目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者普遍運(yùn)用智能算法從全局角度尋找滿(mǎn)意解?？紤]到遺傳算法編碼與本文模型有較好的契合度，同時(shí)具有較好的全局收斂性。另一方面，所建的下層模型是在Beckmann 模型基礎(chǔ)上進(jìn)行的轉(zhuǎn)化模型，而Frank-Wolfe 算法是目前廣泛應(yīng)用的求解Beckmann模型的有效算法。因此，采用嵌套Frank-Wolfe方法的遺傳算法對(duì)雙層規(guī)劃模型進(jìn)行求解。

遺傳算法染色體采用整數(shù)編碼，每個(gè)染色體表示1個(gè)可能的停站和頻率方案。每個(gè)基因位置表示各時(shí)段各種停站方案的列車(chē)數(shù)量yhp。算法流程見(jiàn)圖1。

3 算 例

3.1 參數(shù)設(shè)置

以蘭西高鐵走廊（見(jiàn)圖2）為背景，對(duì)所提出的模型和算法進(jìn)行測(cè)試。為了方便表示，按照列車(chē)運(yùn)行方向依次編號(hào)1，2，…，10，并標(biāo)記相鄰2站間運(yùn)行時(shí)分，如車(chē)站對(duì)(2,3)間運(yùn)行時(shí)分為0.5 h。

圖2 蘭西高鐵走廊示意圖Fig. 2 Lanzhou-Xi'an high-speed-rail corridor

3.1.1 參數(shù)取值

對(duì)于上述單向列車(chē)運(yùn)行問(wèn)題，根據(jù)西蘭高鐵上行方向（蘭州西—西安北方向）2025 年客流預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)，并以目前西蘭高鐵上各OD 間的票額分配比例作為算例的輸入。車(chē)站i 到車(chē)站j 之間的旅客出行需求qij、及票額比例 θij見(jiàn)表3。

表3 參數(shù)qij 和 θij 的取值Tab. 3 Value of qij and θij

各時(shí)段均按最小發(fā)車(chē)間隔5 min 進(jìn)行設(shè)置，即各時(shí)段的最大發(fā)車(chē)數(shù)fh均為12 列。列車(chē)定員按照CRH3C 型動(dòng)車(chē)組，β = 601 。對(duì)于參數(shù)，可通過(guò)車(chē)站對(duì)( i,j )之間的列車(chē)運(yùn)行時(shí)分τij可通過(guò)計(jì)算( i,j )之間的所有區(qū)間運(yùn)行時(shí)分之和得到。不同停站方案下的列車(chē)運(yùn)行成本rp見(jiàn)表4?？紤]到蘭西高鐵沿線(xiàn)各站的時(shí)段吸引度相差不大，本文用蘭州西站的吸引度（見(jiàn)表1）來(lái)替代所有車(chē)站的吸引度。此外，遺傳算法中的種群規(guī)模popsize = 200 ，交 叉 概 率 Pc= 0.8 ，變 異 概 率Pm= 0.07 ，最大迭代次數(shù)為100代。

表4 參數(shù)rpTab. 4 Value of rp (unit: ten-thousand yuan/train)萬(wàn)元/列

3.1.2 參數(shù)α 的標(biāo)定

圖3 不同α 值，時(shí)段4客流分配結(jié)果Fig. 3 Passenger assignment for period 4 with different α value

圖4 列車(chē)停站方案及數(shù)量Fig. 4 Train skip-stop operations and quantities

3.2 計(jì)算結(jié)果

上層規(guī)劃的優(yōu)化結(jié)果見(jiàn)圖4。圖4的左側(cè)，枚舉了所有16種列車(chē)停站方案，右側(cè)列出了各時(shí)段不同停站方案的列車(chē)數(shù)量。如第一行的方案1表示列車(chē)在通渭、秦安、岐山和楊陵南不停車(chē)，該方案全天開(kāi)行10列，其中在第2時(shí)段開(kāi)行1列、第4時(shí)段開(kāi)行1列等。

下層規(guī)劃的配流結(jié)果見(jiàn)表5，可得到各車(chē)站全天18 個(gè)時(shí)段的總出發(fā)人數(shù)。共有45 個(gè)車(chē)站對(duì)，表5 列出了部分車(chē)站對(duì)之間的流量分配輸出。上述配流結(jié)果符合通常情況下旅客對(duì)出發(fā)時(shí)段的偏好，如旅客選擇第4 時(shí)段（09:00—10:00）和第12 時(shí)段（17:00—18:00）的出發(fā)客流最大。

表5 各時(shí)段配流結(jié)果Tab. 5 Passenger assignment in each period人·次

圖5 描述了吸引度、排斥度和客流量隨時(shí)段變化的情況。吸引度曲線(xiàn)與排斥度曲線(xiàn)的走勢(shì)相反，而排斥度曲線(xiàn)與客流曲線(xiàn)的走勢(shì)相同，這與吸引度、排斥度的意義完全吻合，即出發(fā)時(shí)段越好，則吸引度取值越小，排斥度取值越大，所加載的客流也就越多。

圖5 各時(shí)段客流量、吸引度和排斥度Fig. 5 Passenger volume, attractivity and inaccessibility in each period

4 結(jié)束語(yǔ)

考慮到出發(fā)時(shí)段對(duì)高鐵旅客出行決策的重要影響，利用吸引度與排斥度描述旅客對(duì)出發(fā)時(shí)段的偏好，并據(jù)此構(gòu)造旅客出行阻抗函數(shù)。針對(duì)旅客和企業(yè)之間的不同利益博弈，建立了高速鐵路列車(chē)停站和頻率優(yōu)化的雙層規(guī)劃模型，上層規(guī)劃用于確定列車(chē)的停站和頻率方案，下層規(guī)劃用于計(jì)算客流分配結(jié)果。對(duì)所建立的雙層規(guī)劃模型，設(shè)計(jì)了嵌套Frank-Wolfe 方法的復(fù)合遺傳算法。以蘭西高鐵為背景對(duì)模型和算法的有效性進(jìn)行測(cè)試。計(jì)算結(jié)果表明:在可接受的求解時(shí)間范圍內(nèi)，本文提出的方法能夠得到滿(mǎn)意的高鐵列車(chē)停站和頻率方案。本文研究過(guò)程中，隱含著列車(chē)在時(shí)段分布均衡的假定?，F(xiàn)實(shí)的高鐵運(yùn)營(yíng)中，鐵路部門(mén)為了響應(yīng)旅客對(duì)出發(fā)時(shí)段的偏好，會(huì)考慮發(fā)車(chē)間隔不均衡的列車(chē)運(yùn)行組織模式。如何優(yōu)化基于時(shí)段偏好的列車(chē)服務(wù)方案，將是一個(gè)有意義的研究方向。