基于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)策略
——以“橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程”為例

◎ 金振華

2014 年，教育部出臺(tái)的《關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn)》中，首次提出了“核心素養(yǎng)體系”這個(gè)概念，并且將核心素養(yǎng)定義為“適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力”。對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，許多專家也有相應(yīng)的解釋，目前認(rèn)可度最高的是三個(gè)方面：①用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng)；②用數(shù)學(xué)的思維分析世界，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；③用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界，發(fā)展數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)。落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是必要的也是自然的，有的教師覺(jué)得，現(xiàn)有應(yīng)試的壓力使得教學(xué)的絕大多數(shù)時(shí)間都花在解題上，很少有時(shí)間和機(jī)會(huì)去關(guān)注和培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。其實(shí)不然，對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，只要教師加以重視，用探究的眼光去選取合適的教學(xué)方法，在日常數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中潛移默化、逐步滲透，不用額外增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，也能夠達(dá)成落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的目標(biāo)。

在日常教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的方式（方法）有很多，其中HPM（History and Pedagogy of Mathematics，即數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育）視角下的教學(xué)方式經(jīng)常被提及。根據(jù)教學(xué)目的和教學(xué)進(jìn)程的需要，教師將數(shù)學(xué)史有機(jī)地融入教學(xué)過(guò)程中，促進(jìn)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念、方法和思想。然而數(shù)學(xué)史和教學(xué)結(jié)合的方式（方法）是否只是教師簡(jiǎn)單地在課堂上講幾個(gè)數(shù)學(xué)歷史故事，介紹一下數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)，為了課堂呈現(xiàn)活躍的效果而把數(shù)學(xué)史放在教學(xué)環(huán)節(jié)中？答案當(dāng)然是否定的。每一個(gè)數(shù)學(xué)定理或者概念的產(chǎn)生和發(fā)展歷史處處體現(xiàn)著人類的智慧結(jié)晶，更融合了數(shù)學(xué)家們?cè)跀?shù)學(xué)思維方式上的能力和不斷進(jìn)步的素養(yǎng)。接下來(lái)，筆者以“橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程”一課為例，圍繞“教學(xué)流程”“概念引入”“概念探究”“概念應(yīng)用”這四個(gè)課堂教學(xué)要素，來(lái)介紹數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教學(xué)的融合方式，以及探討數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)融合對(duì)于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的作用。

一、基于重演法則的教學(xué)流程

重演法則意味著人類學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程，在某種程度上就是要重演古人數(shù)學(xué)思考和探索的過(guò)程。［1］法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊甚至這樣說(shuō)過(guò)：“教育工作者的任務(wù)，就是要使兒童思想的發(fā)展踏過(guò)前人的足跡，迅速地走過(guò)某些階段，科學(xué)史應(yīng)當(dāng)是這項(xiàng)工作的指南?！?/p>

例如，在解析幾何的概念教學(xué)上就可以生動(dòng)地運(yùn)用重演法則。幾何學(xué)的歷史分為三個(gè)階段：無(wú)意識(shí)的幾何學(xué)、科學(xué)的幾何學(xué)、論證的幾何學(xué)。在具體的教學(xué)過(guò)程中，教師也可以模擬這三個(gè)階段進(jìn)行教學(xué)。筆者在本節(jié)課的開(kāi)篇引入、中期的公式推導(dǎo)和后期的問(wèn)題解決這三個(gè)部分，模擬了人類對(duì)于橢圓認(rèn)識(shí)的三個(gè)歷史階段。

（1）無(wú)意識(shí)的幾何認(rèn)知。因?yàn)槿祟悓?duì)于橢圓的初始認(rèn)知是從直觀觀察開(kāi)始的，所以教師通過(guò)生活中的實(shí)例引入，讓學(xué)生在無(wú)意識(shí)中認(rèn)識(shí)橢圓，讓學(xué)生在這些感性知識(shí)的基礎(chǔ)上建立雖然最簡(jiǎn)單但是科學(xué)的橢圓初始定義。

（2）科學(xué)地研究橢圓。在了解橢圓的基本形狀后，教師介紹早期橢圓的定義：橢圓上任意一點(diǎn)M向直徑AB引垂線，垂足為Q，則為常數(shù)。［2］然而這個(gè)定義較為復(fù)雜，因此這時(shí)學(xué)生可以再通過(guò)實(shí)驗(yàn)（如使用折紙，直尺和線、橢圓規(guī)作圖，簡(jiǎn)單的模型等）發(fā)現(xiàn)一系列橢圓更簡(jiǎn)單的性質(zhì)。

具體實(shí)施的教學(xué)過(guò)程為：首先通過(guò)作圖和折紙歸納總結(jié)出橢圓的定義，即平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和為常數(shù)2a（2a＞｜F1F2｜）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓，然后通過(guò)學(xué)生的作圖，探究以下四個(gè)問(wèn)題：①2a＞2c＞0；②如果2a=｜F1F2｜，2a＜｜F1F2｜，動(dòng)點(diǎn)M軌跡又是如何？③a，c的幾何呈現(xiàn)，焦點(diǎn)、焦距的定義；④抽象出｜MF1｜+｜MF2｜=2a（2a＞｜F1F2｜）。得到完善后的橢圓定義，同時(shí)也完成數(shù)和形的對(duì)比。通過(guò)對(duì)認(rèn)識(shí)新事物的重演，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從表象到本質(zhì)的過(guò)程，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到很好的鍛煉。

（3）論證幾何學(xué)。當(dāng)學(xué)生們對(duì)于橢圓的表象認(rèn)識(shí)已經(jīng)開(kāi)始完善時(shí)，教師再以論證和演繹的形式向?qū)W生講授系統(tǒng)的橢圓方程，完成橢圓方程的證明。

具體實(shí)施的教學(xué)過(guò)程為：首先介紹解析幾何的發(fā)展史，公元前4 世紀(jì)，一直到17 世紀(jì)，笛卡兒的“幾何學(xué)”誕生了，開(kāi)始用方程研究幾何圖形，就有數(shù)學(xué)家推導(dǎo)計(jì)算出橢圓的方程，接著模擬數(shù)學(xué)家當(dāng)時(shí)對(duì)于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。

接著教師引導(dǎo)學(xué)生利用直角坐標(biāo)系建系設(shè)標(biāo)，進(jìn)而利用橢圓定義列式，計(jì)算并化簡(jiǎn)得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，推演出焦點(diǎn)在不同位置時(shí)對(duì)應(yīng)不同的曲線方程。在這一系列的運(yùn)算過(guò)程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力得到很大程度的提高，同時(shí)也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的思想方法。

利用數(shù)學(xué)史進(jìn)行重演的概念課并沒(méi)有過(guò)多地占用額外的課堂教學(xué)時(shí)間，教學(xué)效果明顯更好。在這一過(guò)程中，筆者發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)越是真實(shí)地演化數(shù)學(xué)知識(shí)演進(jìn)的過(guò)程，學(xué)生對(duì)之理解得越深刻。

二、基于直敘數(shù)學(xué)史的概念引入的課堂教學(xué)策略

由于數(shù)學(xué)概念往往比較抽象，所以概念的獲得往往需要從具體的實(shí)例出發(fā)，在教學(xué)活動(dòng)中為學(xué)生提供一些具體的問(wèn)題，或者能反映概念本質(zhì)屬性的典型實(shí)例作為引入。而這些實(shí)例就可以從大量的數(shù)學(xué)史料中去尋找，讓學(xué)生從真實(shí)的、可操作的實(shí)例中，通過(guò)類比、歸納、想象，找出共性結(jié)論，這樣還原了數(shù)學(xué)概念生成的自然性，而且學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中思維保持活躍，思維能力得到訓(xùn)練。

首先，筆者沒(méi)有僅僅只是介紹橢圓的形態(tài)，而是通過(guò)歷史上梅內(nèi)克繆斯發(fā)現(xiàn)橢圓的一個(gè)并不是很簡(jiǎn)潔的性質(zhì)（利用正圓錐，得到橢圓上任意一點(diǎn)M向直徑AB引垂線，垂足為Q，則為常數(shù)）過(guò)渡到阿波羅尼茨得到的橢圓的定義，引導(dǎo)學(xué)生利用折紙、橢圓規(guī)作圖等手段，通過(guò)歸納、猜想，總結(jié)發(fā)現(xiàn)橢圓更加簡(jiǎn)潔的性質(zhì)，用精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言得出橢圓的定義。接著，筆者通過(guò)插入雙球模型的介紹，總結(jié)回顧橢圓概念。這樣的教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)，筆者考慮了兩個(gè)因素：①學(xué)生在歷史介紹過(guò)程中，經(jīng)歷了一個(gè)數(shù)學(xué)概念形成的一段濃縮的數(shù)學(xué)發(fā)展史，體會(huì)數(shù)學(xué)概念生成的曲折，感受數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)的追求和思維方式，這也正是用數(shù)學(xué)的眼光看世界，用數(shù)學(xué)建模的思維體系去解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的體現(xiàn)；②學(xué)生在操作過(guò)程中，經(jīng)歷體會(huì)“數(shù)學(xué)抽象”過(guò)程，也正是發(fā)展核心素養(yǎng)的需要。

三、基于創(chuàng)生知識(shí)的概念探究的課堂教學(xué)策略

和重演法則不同的是，創(chuàng)生并不是簡(jiǎn)單地引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)重演學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并不是把知識(shí)所謂一個(gè)既定的結(jié)果讓學(xué)生去“納入”，而是通過(guò)完成自己的“有限”經(jīng)歷，體會(huì)知識(shí)的來(lái)龍去脈，發(fā)現(xiàn)概念，主動(dòng)獲得知識(shí)，就好像知識(shí)是學(xué)生自身創(chuàng)生出來(lái)一樣。［1］然而課堂時(shí)間有限，這意味著在學(xué)生的學(xué)習(xí)中，教師不應(yīng)當(dāng)讓他們重復(fù)過(guò)去的無(wú)數(shù)個(gè)錯(cuò)誤，而是引導(dǎo)學(xué)生去踏準(zhǔn)那些關(guān)鍵性的步調(diào)。

比如在這節(jié)概念課中，將推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程這個(gè)步驟安排在笛卡兒創(chuàng)立解析幾何這段歷史介紹之后。人類對(duì)于橢圓的認(rèn)識(shí)順序也是如此，想要研究橢圓更多的性質(zhì)，只是單純地了解橢圓的定義是不夠的，因此在這里引入直角坐標(biāo)系，讓學(xué)生用發(fā)展的眼光看數(shù)學(xué)，同時(shí)一步一步引導(dǎo)學(xué)生自己完成橢圓的建系、列式并化簡(jiǎn)，從而最終得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。將一段枯燥的數(shù)學(xué)公式的推演，安排在特定的歷史環(huán)境和特定的需求下去完成。教師不去講述數(shù)學(xué)家在推導(dǎo)中遇到怎樣的困難，而是讓學(xué)生自己動(dòng)手推演公式，在這個(gè)過(guò)程中體會(huì)計(jì)算的魅力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)計(jì)算的核心素養(yǎng)。這里如果沒(méi)有數(shù)學(xué)史料的引入，只是簡(jiǎn)單的灌輸，也能讓學(xué)生得到一定的思維訓(xùn)練，然而這樣的訓(xùn)練不如讓學(xué)生親歷人類數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中的曲折經(jīng)歷，通過(guò)自己的智慧創(chuàng)生新的技巧方法，來(lái)得更加有血有肉。教師應(yīng)當(dāng)充分發(fā)揮自身的教學(xué)智慧，合理營(yíng)造數(shù)學(xué)史的育人環(huán)境，讓數(shù)學(xué)史在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中發(fā)揮應(yīng)有的作用。

四、基于建構(gòu)思維體系的概念應(yīng)用的課堂教學(xué)策略

建構(gòu)主義強(qiáng)調(diào)學(xué)生在建構(gòu)過(guò)程中的主動(dòng)積極性，以及建構(gòu)過(guò)程中現(xiàn)實(shí)場(chǎng)域和人際互動(dòng)的作用。這些思想認(rèn)為所有的知識(shí)，都是學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)和新的知識(shí)交互作用的結(jié)果，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并非是一個(gè)被動(dòng)的吸收過(guò)程，而是一個(gè)以主體已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的、在特定的場(chǎng)景中主動(dòng)建構(gòu)的過(guò)程。

課末，筆者提出一個(gè)問(wèn)題：如何應(yīng)用本節(jié)課新學(xué)習(xí)的橢圓方程解決數(shù)學(xué)史中梅內(nèi)克繆斯所提出的問(wèn)題？

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題的解決，當(dāng)時(shí)古希臘數(shù)學(xué)家沒(méi)有解析幾何的基礎(chǔ)，因此解題非常困難和繁瑣。通過(guò)教師的啟發(fā)，學(xué)生利用解析幾何設(shè)點(diǎn)M（x，y），用x，y表示結(jié)果通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)得到常數(shù)。學(xué)生在這個(gè)環(huán)節(jié)的過(guò)程中，完成對(duì)知識(shí)的建構(gòu)，將橢圓的性質(zhì)和概念統(tǒng)一、系統(tǒng)化。用新知識(shí)去解決舊問(wèn)題，用新技巧去考察舊定理，在這個(gè)思維習(xí)慣中，發(fā)展他們的數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。利用所學(xué)的技巧方法，去解決數(shù)學(xué)史上曾經(jīng)的問(wèn)題，思考問(wèn)題不僵化。無(wú)形中，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)得到鍛煉，同時(shí)也可迅速提升學(xué)習(xí)的成就感和獲得感?；谝欢ǖ臄?shù)學(xué)史背景下進(jìn)行數(shù)學(xué)建構(gòu)教學(xué)，在信息豐富而又具有數(shù)學(xué)針對(duì)性的研究資源下，學(xué)生建構(gòu)得最為成功。

首先，通過(guò)教師對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的歷史的講述，重新復(fù)現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的典型場(chǎng)景，對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)是最為有利的；其次，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)，均需建立在原有知識(shí)的基礎(chǔ)上，需要通過(guò)一步一步的階梯來(lái)達(dá)到高層次的水平，數(shù)學(xué)史將數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程按邏輯呈現(xiàn)出來(lái)，給學(xué)生提供了“階梯”；最后，數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)，也是學(xué)生自我經(jīng)驗(yàn)和先人智慧“視界融合”的過(guò)程，古人通過(guò)數(shù)學(xué)史，更充分地“表達(dá)”了自己的觀念，因此能夠讓學(xué)生獲得更好的建構(gòu)。

五、結(jié)論

必須承認(rèn)，數(shù)學(xué)史引入課堂只是一種輔助的教學(xué)手段，不可能完全代替純粹的數(shù)學(xué)教學(xué)。然而這類補(bǔ)充方式，并不是可有可無(wú)的形式，也不只是簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)歷史的普及，它至少有以下三個(gè)方面的優(yōu)點(diǎn)：①用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的發(fā)展史幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)；②用數(shù)學(xué)的思維分析世界，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；③用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界，培養(yǎng)學(xué)生的人文素養(yǎng)，幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值，從而增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)力。張奠宙教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)人才的培養(yǎng)需要有才、學(xué)、識(shí)這三個(gè)方面素質(zhì)。其中“識(shí)”即見(jiàn)識(shí)，是引導(dǎo)知識(shí)和能力走向何方的根本性問(wèn)題，其背后是學(xué)生對(duì)于知識(shí)融會(huì)貫通之后的個(gè)人理解，體現(xiàn)了個(gè)人對(duì)人生觀和價(jià)值觀的感悟，而數(shù)學(xué)史恰恰在這其中起到很重要的作用。