模式識別在數(shù)學概念教學中的運用

招欣

【摘要】根據(jù)模式識別理論，數(shù)學概念是一種數(shù)學模式.在數(shù)學概念教學中，若教師發(fā)揮模式識別在情境創(chuàng)設(shè)、概念獲得、概念鞏固中的作用，則不僅有助于學生獲得數(shù)學概念，而且有助于學生理解數(shù)學本質(zhì)意義.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學教學;概念;識別

數(shù)學概念是反映事物本質(zhì)屬性的思維形式，是一類事物的內(nèi)在、固有的屬性，而不是個別、表面的屬性.作為一類事物的特征，數(shù)學概念也是一種數(shù)學模式.根據(jù)模式識別理論，數(shù)學概念的教學一般要經(jīng)歷從大量對象中識別特征，從眾多特征中尋找聯(lián)系與區(qū)別，區(qū)分本質(zhì)特征和非本質(zhì)特征，歸納、概括本質(zhì)特征，解構(gòu)本質(zhì)特征，建構(gòu)本質(zhì)特征，變換本質(zhì)特征或非本質(zhì)特征的過程，可以使學生鞏固頭腦中的相關(guān)數(shù)學概念.

一、模式識別方法在情境創(chuàng)設(shè)中的運用

（一）創(chuàng)設(shè)跨學科單元的情境，豐富模式的意義

在教學中，教師可以根據(jù)概念特點設(shè)計跨學科單元的教學情境來引入數(shù)學概念.比如，教學向量的數(shù)量積概念時，教師可以從力的分解引入;教學正四面體的概念時，教師可以設(shè)計甲烷的化學結(jié)構(gòu)情境.不同數(shù)學模式之間的聯(lián)系促使數(shù)學知識形成一個有機整體.例如，在教學“倍”的概念時，教師可采用數(shù)形結(jié)合模式，將抽象的數(shù)學概念“倍”轉(zhuǎn)化成形象的圖形，使學生在體會與運用中深諳模式識別的意義.

（二）創(chuàng)設(shè)典型情境，為模式識別提供原型

數(shù)學概念是一種特殊的思維形式，反映了數(shù)學對象本質(zhì)的屬性.

創(chuàng)設(shè)典型情境的目的不在于引導學生識別某一個對象，而在于引導學生識別某一類客體共有的基本特征.例如，在教學二元一次方程的概念時，教師給出題目：在長為20 cm、寬為16 cm的長方形紙片的四角分別剪去大小相等的小正方形，做成一個無蓋長方體盒子，設(shè)小正方形的邊長為x cm，求（1）剪去的面積y與x的關(guān)系表達式;（2）盒子的表面積a與x的關(guān)系表達式;（3）盒子底面積s與x的關(guān)系表達式;（4）盒子較大的一個側(cè)面積m與x的關(guān)系表達式.

“通過觀察未知數(shù)的個數(shù)以及指數(shù)、表達式的項數(shù)，你有什么新發(fā)現(xiàn)？”，然后引導學生識別出一元二次方程的特征“形如y=ax2+bx+ca≠0，僅含一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2”.

學生識別出一元二次方程模式的本質(zhì)特征后，便建立起一元二次方程的原型y=ax2+bx+c，而非y=x2.

（三）創(chuàng)設(shè)探究的數(shù)學情境，引導概念特征的識別過程

數(shù)學概念的抽象性導致學生對一些數(shù)學概念的理解存在一定困難，且教材對數(shù)學概念的形成與由來往往介紹較少，因此，學生在數(shù)學概念的學習中往往易產(chǎn)生畏懼甚至排斥的心理.考慮到學生的認識過程是由具體形象逐漸過渡到抽象這一特點，教師可以創(chuàng)設(shè)相關(guān)情境，啟發(fā)學生從具體形象的實例中識別出概念的特征并歸納概括，引導學生進行模式識別的操作.在此過程中，教師應讓學生根據(jù)自身經(jīng)驗和實踐操作學習數(shù)學概念，而不是直接獲得教師給予的純粹的“數(shù)學概念”.

例如：在軸對稱圖形的教學中，教師先出示一組圖片，如京劇臉譜、蝴蝶、昆蟲標本、建筑物等，讓學生觀察這一組圖片有什么共同特征，追問“你還能列舉出具有這種特征的物體嗎？”.學生在觀察中很快會發(fā)現(xiàn)這些物體都是對稱的.接著，教師以蝴蝶圖片為例，通過多媒體演示蝴蝶圖片沿中心線翻折的過程，以此讓學生歸納概括出對稱圖形的共同本質(zhì)特征.如果學生發(fā)現(xiàn)不了，那么教師可以從圖形的形狀、大小及位置關(guān)系方面提問，進一步啟發(fā)學生思考.至此，學生對軸對稱圖形的本質(zhì)特征進行了識別.

教學建議：數(shù)學概念產(chǎn)生的途徑很多，有的數(shù)學概念源于生活實際問題，有的數(shù)學概念源于數(shù)學自身體系，更多數(shù)學概念源于這兩者的結(jié)合.因此，在概念教學的情境創(chuàng)設(shè)過程中，教師需要以概念自身的產(chǎn)生背景為基礎(chǔ)，圍繞概念的本質(zhì)創(chuàng)設(shè)情境，引導學生在數(shù)學情境中排除非本質(zhì)、次要因素，識別歸納出概念的本質(zhì)屬性，初步建立概念表象，并在學生識別的過程中，啟發(fā)學生找準識別角度，把握識別方向.

二、模式識別方法在概念獲得中的運用

（一）多角度識別概念的本質(zhì)特征

由于分析的角度不同，同一個數(shù)學概念表現(xiàn)出的含義也就不同.如在教學角的概念過程中，教師可以通過“組成角需要什么條件？”這一問題引導學生識別出角的特征.為了讓學生全面、準確地把握角的概念的本質(zhì)，教師可以用旋轉(zhuǎn)的角度引導學生對角的概念進行進一步解構(gòu).教師將射線的旋轉(zhuǎn)過程以動態(tài)的鐘擺來呈現(xiàn)，射線旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積即角的內(nèi)部，也稱角內(nèi);類推平面其余部分則為角的外部，也稱角外.如此，教師就從靜態(tài)和動態(tài)兩個方面實現(xiàn)了對角的概念的解構(gòu).

（二）識別概念的外延

識別概念的外延即識別該概念所反映的全體對象.概念外延的識別可為進一步明確概念的本質(zhì)奠定基礎(chǔ).

例如：在三角形的認識教學中，學生在生活中已經(jīng)初步形成三角形的概念，若要使學生建立更加全面的三角形的概念，則識別三角形的外延就顯得十分重要.在教學中，教師可以出示不同類別的三角形，啟發(fā)學生思考：每個三角形的三個角分別是什么角？你能根據(jù)發(fā)現(xiàn)的特點把這些三角形分類嗎？學生便由此建立角的概念.

（三）通過識別新舊概念間的聯(lián)系與區(qū)別實現(xiàn)概念的獲得

現(xiàn)代認知心理學認為，數(shù)學概念的獲得過程是新概念與認知結(jié)構(gòu)中原有相關(guān)概念內(nèi)容相互作用后進一步完善認知結(jié)構(gòu)的過程.因此，教師在概念獲得的過程中引導學生識別新舊概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，并從中明確新概念的本質(zhì)屬性就顯得格外關(guān)鍵.值得一提的是，這里為新概念做鋪墊的舊概念知識必須是與新概念有關(guān)聯(lián)的知識，如此才有識別的意義，即模式識別中的新舊概念之間關(guān)系的識別.

例如：在教學小學數(shù)學中“比”這一概念時，教師可以將學生已經(jīng)掌握的“除法”概念與“比”概念進行比較，啟發(fā)學生識別兩個概念的同與異，從而建立“比”的概念.又如在教學“抽象的空間幾何中的直線垂直”這一概念時，教師可以將“平面幾何中直線垂直”的概念與其相比，引導學生在識別二者之間關(guān)系的基礎(chǔ)上獲得空間垂直的概念.

教學建議：在概念獲得的過程中，學生在頭腦中形成的數(shù)學概念是學生在識別特征的基礎(chǔ)上歸納出來的，而不是教師強行灌輸?shù)?，這一做法符合學生的認知發(fā)展規(guī)律.因此，在概念獲得的教學過程中，教師可以引導學生從不同的角度識別概念屬性，完成概念本質(zhì)特征的識別，促進學生完成模式的建構(gòu).另外，教師可以以學生認知結(jié)構(gòu)中的原有概念為新概念識別的起點，幫助學生在舊概念的基礎(chǔ)上建構(gòu)新概念，從而完成新概念的獲得.

學生在此過程中需要學會用符號語言、圖形語言、幾何語言將數(shù)學概念表示出來，將數(shù)學符號賦予相應的數(shù)學概念.這也是學生符號意識發(fā)展的重要表現(xiàn)之一.

三、模式識別方法在概念鞏固中的運用

（一）對模式進行變式

變式改變的是對象的角度、方法或非本質(zhì)特征的表現(xiàn)形式，從而突出那些隱藏的、易被學生忽視的本質(zhì)要素.概念建立后，教師可以根據(jù)學生識別過程中的難點、易混淆點設(shè)計相關(guān)練習.

練習1 圓的認識

分別指出圖1中圓的直徑和半徑.在教學中，教師設(shè)置幾個與半徑、直徑相似的線段讓學生識別，進一步鞏固學生關(guān)于直徑、半徑概念的內(nèi)涵與外延.概念變式有標準變式和非標準變式兩類.標準變式從某種程度上來說有利于學生準確把握概念，但同時會縮小概念的外延，使學生的思維變得狹隘.而非標準變式可以彌補這一缺陷，利用概念非本質(zhì)要素的變更來突出其本質(zhì)屬性.

（二）對模式進行轉(zhuǎn)換

在概念鞏固的過程中，轉(zhuǎn)換數(shù)學概念模式并將其與其他數(shù)學概念模式相聯(lián)系，有助于學生在認知結(jié)構(gòu)中已有的模式上拓展相關(guān)模式.

練習2 圓出于方

師：“圓出于方”的古語你們聽過嗎？如圖2，我們可以通過如下的操作來近似得到圓.假設(shè)一個正方形的邊長是 6 cm，那么在這個正方形里最大的圓的直徑是多少？

生：圓的直徑就是正方形的邊長，就是6 cm.

師：如果不告訴你任何信息，你能找出一枚硬幣的直徑嗎？

生：硬幣四周緊貼正方形，硬幣直徑就是正方形的邊長.

學生識別圓這一概念往往不能一次成功，其過程是螺旋上升式的.教師要引導學生進一步挖掘概念背后隱藏的數(shù)學本質(zhì)，使學生頭腦中不斷修正、擴展并提升模式.

（三）對模式進行完善

一個階段的學習完成之后，教師要引導學生將學習過的概念進行整理歸納，識別概念與概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，從而使促進學生掌握完整的概念模式.比如，學生在學了“比”的全部知識后，教師可以引導學生歸納整理“比”的概念，“比”與除法、分數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別，“比”的基本性質(zhì)，以及根據(jù)“比”的基本性質(zhì)化簡“比”.這一系列模式的建立能很好地解決求比例尺和比例分配的關(guān)系.通過這一過程形成的相關(guān)概念的模式網(wǎng)絡使學生在理解概念的基礎(chǔ)上加深對數(shù)學本質(zhì)的感悟.概念模式不斷被完善，學生才能得心應手地應用概念解決實際問題.

教學建議：在鞏固概念的過程中，為了加深學生對概念的認識，教師需要變換概念的非本質(zhì)屬性以對概念模式進行變式，進一步使學生在變化中識別概念中不變的本質(zhì).另外，在一個階段的教學完成后，教師需要有意識地引導學生將學過的概念進行整理，并在新舊模式間建立起聯(lián)系，使完善的模式儲存于學生的頭腦中，從而為學生的靈活運用概念奠定基礎(chǔ).

【參考文獻】

[1]曹才翰，章建躍.中學數(shù)學教學概論（第3版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2] 徐文彬.數(shù)學概念的認識及其教學設(shè)計與課堂教學[J].課程·教材·教法，2010（10）：39-44.

[3]曹才翰，張建躍.數(shù)學教育心理學（第3版）[M].北京：北京師范大學出版社，2015.