高觀點視角下的極點極線問題
——從2020年兩道高考題談起

敖德兵

(北京師范大學(xué)成都實驗中學(xué)，610017)

一、試題呈現(xiàn)

高觀點指導(dǎo)一直是高考命題的熱點,在中學(xué)數(shù)學(xué)中若隱若現(xiàn). 下述試題1(2020年全國I卷理科第20題)、試題2(2020年北京卷理科第20題) 就是以高等幾何中的極點與極線知識為背景的試題,若我們站在制高點看問題,其本質(zhì)可謂一覽無余.

(1)求E的方程；

(2)證明：直線CD過定點.

(1)求橢圓C的方程；

二、背景分析

1.極點與極線的幾何定義與性質(zhì)

由高等幾何教材[1]可知,過不在圓錐曲線C上的點P引兩條割線依次交曲線C于四點E,F,G,H,連EH,FG交于點N,連EG,FH交于點M,則稱MN為點P對應(yīng)的極線,點P為MN對應(yīng)的極點;同理,PM和點N為一對極線與極點,PN和點M為一對極線與極點.特別地,點P在圓錐曲線C上時,點P的極線是曲線C在點P處的切線.

由性質(zhì)1,可以證明：

推論2設(shè)PQ過有心圓錐曲線C的中心O,則點P,Q關(guān)于曲線C調(diào)和共軛,當(dāng)且僅當(dāng)OR2=OP·OQ,其中R為PQ曲線C的交點.

性質(zhì)2(等角定理)設(shè)A,B為圓錐曲線C的一條對稱軸l上的兩點(A,B不在C上),若A,B關(guān)于C調(diào)和共軛,過B任作C的一條割線交C于P,Q兩點,則∠PAB=∠QAB.

2.極點與極線的代數(shù)表示

已知圓錐曲線C:Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0(A2+C2≠0),則稱點P(x0,y0)和直線l:Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0是圓錐曲線C的一對極點與極線.

需要注意的是,對于橢圓,P(x0,y0)不在中心O;對于雙曲線,P(x0,y0)不在漸近線上(包括中心O).

3.高觀點解答兩道高考題

(2)如圖1,設(shè)CD交x軸于點T,CB,AD相交于點H,由極點與極線的幾何定義知TH為點P的極線.

(2)同試題1解答,可知直線x=-4關(guān)于橢圓的極點為H(-2,0).

三、考你千遍不厭倦

分析近年的高考解析幾何題,不難發(fā)現(xiàn),雖然在試題的呈現(xiàn)手段、材料組織、設(shè)問方式等方面不斷變化創(chuàng)新,但以極點極線作為背景命制的試題屢見不鮮,真是“考你千遍不厭倦”.以下列舉幾例,并揭示其極點極線背景.

1.定點定值問題

(1)求點P的軌跡方程;

解(1)x2+y2=1.(過程略)

解連MN，交直線AB于點K,則點T對應(yīng)的極線經(jīng)過點K.

例4(2011年四川高考題)如圖5,橢圓有兩頂點A(-1,0),B(1,0),過其焦點F(0,1)的直線l與橢圓交于C，D兩點,并與x軸交于點P,直線AC與直線BD交于點Q.

(1)求橢圓的方程;

2.三點共線問題

3.等角問題

變式(2018年全國高考題)設(shè)拋物線C:y2=2x,點A(2,0),B(-2,0),過點A的直線l與C交于M,N兩點,求證:∠ABM=∠ABN.

提示計算知點A,B關(guān)于拋物線C:y2=2x調(diào)和共軛,由等角定理可得證.

(1)求橢圓C的方程,并求點M的坐標(biāo)(用m,n表示);

(2)設(shè)O為原點,點B與點A關(guān)于x軸對稱,直線PB交x軸于點N.試問:y軸上是否存在點Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求點Q的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

(2)設(shè)y軸上存在點Q,使∠OQM=∠ONQ(如圖8),則由∠QOM=∠NOQ,得?OQM∽?ONQ,故|OQ|2=|ON||OM|.

設(shè)點P關(guān)于x軸的對稱點為P′,則P′A交x軸于點N,P′B交x軸于點M,于是點N在點M的極線上,點M,N關(guān)于橢圓調(diào)和共軛.設(shè)橢圓的右頂點為D,由橢圓中心O在直線MN上,結(jié)合推論2,得|OD|2=|ON||OM|.