一道極值點(diǎn)偏移問題錯解引發(fā)的思考與探究

李 鑫 胡雪文

(湖南省長沙市第一中學(xué),410005)

一、試題呈現(xiàn)

(1)若f(x)在(0,+∞)單調(diào)減,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(2)若f(x)在(0,+∞)存在兩個極值點(diǎn)x1,x2,且x12.

二、學(xué)生解答

當(dāng)m≤0時,g′(x)>0,g(x)單調(diào)增,g(x)在(0,+∞)最多有一個零點(diǎn),從而f(x)在(0,+∞)最多有一個極值點(diǎn),不合題意.

綜上，lnx1+lnx2>2.

三、錯因分析

四、解法探究

極值點(diǎn)偏移問題近年來一直是解題研究的熱門問題,常見的有三種處理方式:構(gòu)造函數(shù)法、換元法與對數(shù)均值不等式法.下面從三個方面探究解決該問題.

探究1構(gòu)造函數(shù)法

解法1依題意，lnx1-mx1=0，lnx2-mx2=0,即lnx1=meln x1，lnx2=meln x2， 所以lnx1,lnx2為方程x=mex的兩個相異實(shí)根.

又lnx1<1

因?yàn)閘nx2,2-lnx1∈(1,+∞),h(x)在(1,+∞)單調(diào)減,所以lnx2>2-lnx1,亦即lnx1+lnx2>2.

評注要證lnx1+lnx2>2,可將lnx1,lnx2看成一個整體,將mx化為meln x,將lnx當(dāng)成變量構(gòu)造新函數(shù)h(x).求導(dǎo)后發(fā)現(xiàn)h(x)的極大值點(diǎn)為1,最后利用h(x)的單調(diào)性來證明不等式.一般地,要證明x1+x2>(<)2x0(x0是f(x)的極值點(diǎn)),構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-f(2x0-x),利用單調(diào)性來證明時一定需要確保函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)x0是實(shí)數(shù),不含參數(shù)才行.

探究2換元法

本題為含參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問題,題目中除了x1,x2外還含有參數(shù)m,因此可以嘗試消去參數(shù),轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的問題去解決；或者以參數(shù)為媒介,構(gòu)造一個變元的新的函數(shù)來處理.

綜上，lnx1+lnx2>2成立.

探究3對數(shù)均值不等式法

從要證明不等式的結(jié)構(gòu)出發(fā),可以嘗試?yán)脤?shù)均值不等式來證明.

解法3依題意，lnx1-mx1=0，lnx2-mx2=0,所以

lnx1+lnx2=m(x1+x2)，

①

lnx1-lnx2=m(x1-x2).

②

因?yàn)閙>0(同上文解答可知m≤0不合題意),所以lnx1+lnx2>2成立.

評注對數(shù)均值不等式本質(zhì)是將對數(shù)函數(shù)lnx進(jìn)行放縮,最終達(dá)到化繁為簡、化難為易,快速解決問題的目的.