一類具有低相關(guān)函數(shù)值的序列集的構(gòu)造①

解曉娟， 陳文兵

(安慶師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院，安徽 安慶 246133)

0 引 言

1 預(yù)備知識

d(pk+1)≡2(modpn-1)且(d,pn-1)=2

(1)

定義1[1]設(shè)η為Fpn上的二次乘法特征，即

為Fpn上的二次高斯和.

關(guān)于二次高斯和G(η,χ)有如下結(jié)論：

下面給出需要的一些引理.

表1 指數(shù)和的值分布

2 序列集的構(gòu)造

=S(gτ-1,γ1gdτ-γ2)-1

(2)

下面借助指數(shù)和S(α,β)的分布來給出序列集合Γ的相關(guān)函數(shù)的值分布.

定理1設(shè)p≡3(mod4)是奇素?cái)?shù)，n是奇數(shù)，q=pn，d是滿足(1)式的正整數(shù)，令e=gcd(k,n)，則序列集合Γ的相關(guān)函數(shù)的值分布見表2.

表2 序列集合Γ的相關(guān)函數(shù)的值分布

證明對任意的可能值k和γ1,γ2∈Fq，定義Mk(sγ1,sγ2)為序列集中相關(guān)函數(shù)的值為k出現(xiàn)的次數(shù). 為了計(jì)算序列集中的相關(guān)函數(shù)的值分布，只需要計(jì)算所有的Mk(sγ1,sγ2)的值即可.

由(2)式可知Cγ1,γ2(τ)=S(α,β)-1，其中α=gτ-1，β=γ1gdτ-γ2. 令

tk=#{(α,β)∈Fq×Fq:S(α,β)=k+1}

由引理1和引理2可知

且映射

是q-1到1的映射，所以

固定γ1,當(dāng)γ2跑遍Fq且τ取遍0到q-2時(shí)，(α,β)恰好跑遍{Fq{-1}}×Fq中所有元素，其中α=gτ-1，β=γ1gdτ-γ2，即互相關(guān)函數(shù)的值跑遍S(α,β)-1的所有值，且每個(gè)值取q遍. 從而

由引理3可得相關(guān)函數(shù)的分布.

利用定理1可得下面的推論.

序列集所含序列的個(gè)數(shù)為pn.

注：特別的，當(dāng)e=1的時(shí)候，序列集的相關(guān)函數(shù)的上界為

3 結(jié) 語