關(guān)注“生長力”的概念教學(xué)
——以“倍的認(rèn)識(shí)”教學(xué)為例

□沈建芳

在小學(xué)數(shù)學(xué)概念中，“倍”是一個(gè)抽象而重要的概念。理解和掌握“倍”的概念，有利于學(xué)生解決生活中的一些實(shí)際問題，也可以為后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)、比例等知識(shí)奠定基礎(chǔ)。在學(xué)習(xí)本課之前，學(xué)生有怎樣的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)？如何突破概念的灌輸式教學(xué)？怎樣讓學(xué)生親歷概念的形成過程？學(xué)生的“生長力”在哪？帶著這些思考，筆者展開了研究。

一、課前調(diào)研

為了了解學(xué)生是否知道“倍”是表示兩個(gè)量之間的關(guān)系，筆者進(jìn)行了前測(cè)。前測(cè)單如圖1所示。

圖1

調(diào)查發(fā)現(xiàn)，第①題，有95.6%的學(xué)生認(rèn)為自己在生活中是認(rèn)識(shí)“倍”的，但在表述心中的“倍”時(shí)，有22.2%的學(xué)生能用“誰是誰的幾倍”的句式；有11.1%的學(xué)生能用“誰是多少，誰是多少，誰就是誰的幾倍”的句式；其余學(xué)生的表述不是很清晰，有些甚至是錯(cuò)誤的。第②題，受相差關(guān)系的影響，有26.7%的學(xué)生認(rèn)為橘子比蘋果多6倍。第③題，有26.7%的學(xué)生把長方形是三角形的4倍理解成長方形比三角形多4個(gè)，所以畫了6個(gè)長方形，有17.8%的學(xué)生畫了4個(gè)長方形。

二、解讀教材

前測(cè)結(jié)果表明，學(xué)生對(duì)“倍”的概念或沒有太多的認(rèn)知和感受，或模糊不清。學(xué)生學(xué)習(xí)“倍”要經(jīng)歷認(rèn)知結(jié)構(gòu)上的轉(zhuǎn)變，從原先兩個(gè)量之間的“差比”結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)椤氨侗取苯Y(jié)構(gòu)。如何改變學(xué)生原有的認(rèn)知，優(yōu)化“倍”的教學(xué)，筆者從解讀教材入手，選取了北師大版、人教版、蘇教版、浙教版教材，進(jìn)行分析比較。

（一）四個(gè)版本教材編排情況

北師大版教材以“快樂的動(dòng)物”為情境，抓住動(dòng)物數(shù)量之間的比較，通過畫一畫、圈一圈、認(rèn)一認(rèn)、填一填等活動(dòng)，把3只小猴圈在一起看作1份，小鴨有6只，可以圈2份,用除法表示6÷3=2，6里面有2個(gè)3，就說小鴨的只數(shù)是小猴的2倍。

蘇教版教材以“小朋友數(shù)花”為情境，通過問題“你能比一比這三種花的朵數(shù)嗎”展開教學(xué)。教材先呈現(xiàn)學(xué)生以前學(xué)過的“比多比少”的方法，接著通過圈一圈，用“倍比”的方法進(jìn)行比較，得出黃花是藍(lán)花的3倍。

人教版教材以“小兔子數(shù)蘿卜”為情境，先數(shù)一數(shù)，接著圈一圈，把2根胡蘿卜看作1份，紅蘿卜可以圈這樣的3份，紅蘿卜的根數(shù)里包含3個(gè)2，就說紅蘿卜是胡蘿卜的3倍；白蘿卜可以圈這樣的5份，白蘿卜的根數(shù)里包含5個(gè)2，就說白蘿卜是胡蘿卜的5倍。

浙教版教材以“游藝室里掛氣球”為情境，把2個(gè)紅氣球看作1份，藍(lán)氣球有這樣的3份，就說藍(lán)氣球的個(gè)數(shù)是紅氣球的3倍。接著通過掛氣球的個(gè)數(shù)變化來呈現(xiàn)“標(biāo)準(zhǔn)量”“比較量”“倍數(shù)”之間變與不變的關(guān)系。

（二）四個(gè)版本教材編排異同

比較這四個(gè)版本教材編排的異同，筆者發(fā)現(xiàn)，四個(gè)版本的教材都沒有直接給“倍”下定義，都是創(chuàng)設(shè)具體的情境，通過數(shù)一數(shù)、圈一圈等操作活動(dòng)將新知嫁接在原先“幾個(gè)幾”和“份數(shù)”的理解基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生建構(gòu)“倍”的含義。不同之處在于北師大版教材將“倍”與除法相聯(lián)系，除法不僅可以表示平均分問題，還可以表示兩個(gè)數(shù)量之間的“倍”數(shù)關(guān)系；蘇教版教材呈現(xiàn)了兩種比較的方法，讓學(xué)生對(duì)兩個(gè)數(shù)量的比較的認(rèn)知從原先的“差比”過渡到“倍比”。人教版和浙教版都沒有呈現(xiàn)差比關(guān)系，都是在“幾個(gè)幾”和“份數(shù)”的認(rèn)知基礎(chǔ)上讓學(xué)生理解“倍”的含義，對(duì)“倍”表示兩個(gè)量的比較關(guān)系體現(xiàn)不夠。浙教版通過掛氣球的個(gè)數(shù)變化，呈現(xiàn)了“標(biāo)準(zhǔn)量”“比較量”“倍數(shù)”之間的變化關(guān)系。

三、重構(gòu)課堂

筆者根據(jù)各版本教材的特點(diǎn)，重新設(shè)計(jì)了教學(xué)方案。

（一）經(jīng)驗(yàn)入手，引入“倍”的學(xué)習(xí)

教學(xué)中要關(guān)注學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，學(xué)生對(duì)“倍”不是一無所知，教師在課前可以通過談話的形式了解學(xué)生已知的“倍”。另外，學(xué)生對(duì)“倍”的學(xué)習(xí)也要建立在原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，在與“差比”關(guān)系的認(rèn)知沖突中，引出“倍比”關(guān)系。

【教學(xué)片段1】

師：大家聽說過“倍”嗎？說說你心中認(rèn)識(shí)的倍。

生：我媽媽叫我加倍學(xué)習(xí)，期末給我獎(jiǎng)勵(lì)。

生：我在電視上看到“產(chǎn)值翻倍增長”，倍就是很多的意思。

生：爸爸的年齡是我的4倍。

師：你能解釋一下這句話的意思嗎？

生：爸爸的年齡比我大4倍。

……

師：剛才同學(xué)們都列舉了生活中自己所理解的“倍”，那數(shù)學(xué)中的“倍”又是怎樣的呢？

【教學(xué)片段2】

師：湖邊來了一群可愛的小動(dòng)物（屏幕呈現(xiàn)），有多少小動(dòng)物呢？請(qǐng)你數(shù)一數(shù)。（生說師板書）

師：誰來比一比小松鼠和小雞的只數(shù)？

生：小雞比小松鼠多6只。

生：小松鼠比小雞少6只。

師：是的，我們?cè)诙昙?jí)時(shí)學(xué)過比多比少，知道可以用比多比少的方法對(duì)兩個(gè)量進(jìn)行比較。還可以用其他的方法進(jìn)行比較嗎？（學(xué)生沉默）

師（提示）：我們還可以用倍的方法進(jìn)行比較。今天這節(jié)課，咱們就一起來研究有關(guān)“倍”的知識(shí)。（板書課題：“倍”的認(rèn)識(shí)）

（二）操作感悟，建構(gòu)“倍”的模型

本節(jié)課是學(xué)生第一次學(xué)習(xí)“倍”，也是認(rèn)知上的一次改變。所以，教學(xué)要借助“比一比，說一說”“圈一圈，填一填”“想一想，擺一擺”等操作活動(dòng)，讓抽象的“倍”在具體的活動(dòng)中變得形象可感，使學(xué)生通過活動(dòng)建構(gòu)“倍”的模型。

1.比一比，說一說

語言是思維的外殼，通過具體的例子讓學(xué)生用語言表述“倍”的概念，對(duì)“倍”有一個(gè)初步的感知。

【教學(xué)片段3】

師：如果把3只松鼠看作1一份，小雞可以分成這樣的幾份？

生：小雞可以平均分成3份。

師：小雞只數(shù)有小松鼠這樣的幾份？

生：小雞只數(shù)有小松鼠這樣的3份。

師：所以我們說，小雞只數(shù)是小松鼠的3倍。

師：誰能像老師剛才說的一樣再來說一說？

……

2.圈一圈，填一填

通過“圈一圈，填一填”活動(dòng)，學(xué)生明確了“以誰為標(biāo)準(zhǔn)”，建立1倍數(shù)的概念，形象地感知“幾份數(shù)”，理解“一個(gè)數(shù)包含幾個(gè)幾，這個(gè)數(shù)就是另一個(gè)數(shù)的幾倍”。學(xué)生通過具體活動(dòng)，理解了“倍”的本質(zhì)內(nèi)涵。

【教學(xué)片段4】

問：小猴的只數(shù)是孔雀的幾倍？（練后反饋）

師：把誰看作1份？

生：把2只孔雀看作1份。

師：小猴的只數(shù)是孔雀的幾倍？

生：小猴的只數(shù)是孔雀的3倍。

師：你是怎么想的？

生：小猴有6只，2個(gè)是1倍，6里面有3個(gè)2，所以小猴是孔雀的3倍。

師板書：6里面有3個(gè)2，所以6是2的3倍。

……

3.想一想，擺一擺

教師通過創(chuàng)設(shè)四次擺卡片活動(dòng)，使學(xué)生明白確定標(biāo)準(zhǔn)量1份數(shù)的重要性。在擺一擺中，學(xué)生感知到1倍數(shù)、幾倍數(shù)、倍數(shù)三者之間變與不變的關(guān)系，對(duì)“倍”有了一個(gè)完整的認(rèn)知。

【教學(xué)片段5】

師：調(diào)皮的小動(dòng)物們歡快地嬉戲著，小鴨子和小猴子陸陸續(xù)續(xù)地來了一只又一只，老師將他們的只數(shù)用表格做了記錄。請(qǐng)你用學(xué)具擺一擺，每一次猴子的只數(shù)是鴨子的幾倍？

反饋交流：

師：觀察上下兩行鴨子和猴子的數(shù)量以及它們之間的倍數(shù)關(guān)系，想一想什么變了，什么沒變。請(qǐng)你任意選擇兩行比一比?？梢愿澜涣饕幌?。

（1）師：誰先來說說想法？

生：第1次和第2次，鴨子只數(shù)沒變，猴子只數(shù)變了，倍數(shù)變了。

師追問：鴨子只數(shù)沒變，為什么倍數(shù)會(huì)變了呢？

生：因?yàn)榈?次的6里面包含3個(gè)2，第2次的8里面包含4個(gè)2，所以它們的倍數(shù)不一樣。

生：雖然鴨子的數(shù)量沒變，但是猴子的只數(shù)變了，所以倍數(shù)就變了。

……

師小結(jié)：是的，1倍數(shù)不變，但是與1倍數(shù)比較的這個(gè)數(shù)量變了，所以倍數(shù)也就變了。

（2）師：誰還有不同的發(fā)現(xiàn)？

生：第2次和第3次，鴨子只數(shù)變了，猴子只數(shù)沒變，倍數(shù)變了。

師追問：剛才與1倍數(shù)比較的猴子數(shù)量變了，所以倍數(shù)變了，現(xiàn)在猴子數(shù)量沒變，為什么倍數(shù)也變了呢？

生：因?yàn)榘养喿涌醋?份，這個(gè)1倍數(shù)變了。

師：是的，我們還發(fā)現(xiàn)1倍數(shù)增加了，倍數(shù)反而減少了。誰能解釋一下這個(gè)奇怪的現(xiàn)象？

生：因?yàn)榈?次把2只鴨子看作1份，8只猴子里面包含4個(gè)2，而第3次把4只鴨子看作1份，8只猴子里面只包含2個(gè)4，所以倍數(shù)變少了。

……

師小結(jié):是的，同學(xué)們說得都非常好。雖然與鴨子比較的猴子的數(shù)量沒變，但1倍數(shù)鴨子的數(shù)量變了，所以倍數(shù)就變了。

（3）師：再仔細(xì)看看第3次和第4次，鴨子和猴子的數(shù)量都變了，倍數(shù)為什么不變呢？

生：因?yàn)?是4的2倍，12也是6的2倍。

生：猴子和鴨子的數(shù)量變了，但是猴子包含鴨子的份數(shù)沒變，所以還是2倍。

生：這個(gè)倍數(shù)跟猴子和鴨子數(shù)量的多少?zèng)]有關(guān)系，要看猴子只數(shù)里面包含幾個(gè)鴨子的只數(shù)。

……

師小結(jié)：倍數(shù)跟兩個(gè)數(shù)量的多少?zèng)]有直接關(guān)系，而是要看一個(gè)量里面包含幾個(gè)另一個(gè)量，誰就是誰的幾倍。

（三）鞏固提升，深入“倍”的內(nèi)涵

概念教學(xué)中，教師要幫助學(xué)生區(qū)分概念的內(nèi)涵與外延，以及與之相關(guān)聯(lián)的概念的聯(lián)系與區(qū)別，只有這樣學(xué)生才能在頭腦中清晰概念?！安畋取焙汀氨侗取?，是兩個(gè)不同的知識(shí)結(jié)構(gòu)，通過比較練習(xí)，學(xué)生明白“差比”結(jié)果是一個(gè)具體的量，而“倍比”結(jié)果表示的是兩個(gè)量之間的一種關(guān)系。

【教學(xué)片段6】

師：通過比一比，我們發(fā)現(xiàn)兩題相差的個(gè)數(shù)一樣嗎？

生：不一樣，第①題相差3個(gè)，第②題相差4個(gè)。

師：兩題相差的個(gè)數(shù)不一樣，倍數(shù)為什么都是2呢？

生：因?yàn)榘褕A形看作1份，三角形都是圓形的2份。

師：這個(gè)倍數(shù)跟相差的個(gè)數(shù)有關(guān)系嗎？

生：倍數(shù)跟相差的個(gè)數(shù)沒有關(guān)系。

師：這個(gè)2表示什么意思？跟3和4表示的意義又有什么區(qū)別呢？

生：2表示三角形有圓形的2份，表示的是份數(shù)。

生：2表示的是2份，3和4表示的是相差的個(gè)數(shù)。

師：是的，這個(gè)2只是表示三角形和圓形的關(guān)系，是2倍的關(guān)系，它不表示確切的個(gè)數(shù)；而3和4表示的是相差數(shù)，是確切的數(shù)。

（四）質(zhì)疑問難，解析“倍”的疑惑

思源于疑，疑問是開啟思維的源泉，教師要培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑的好習(xí)慣。課末，教師創(chuàng)設(shè)了讓學(xué)生質(zhì)疑的環(huán)節(jié)，學(xué)生通過質(zhì)疑、分析、思考解決問題，從而加深對(duì)“倍”的理解。

【教學(xué)片段7】

師：通過今天的學(xué)習(xí)，你們對(duì)“倍”還有什么疑問嗎？

生：老師，12是4的3倍，能倒過來說4是12的3倍嗎？

生：4小一些，怎么可能是12的3倍呢？

生：我知道，倒過來的話應(yīng)該說，4比12少3倍。

生：不對(duì)，倒過來的話應(yīng)該說4比12少2倍。

師：同學(xué)們剛才說的對(duì)不對(duì)呢？接下來請(qǐng)你拿出筆和紙圈一圈、畫一畫，看看有什么發(fā)現(xiàn)。把你的發(fā)現(xiàn)和同桌進(jìn)行交流。

……

生：老師，我發(fā)現(xiàn)反過來的話把12個(gè)三角形看作1倍，4個(gè)圓就不夠1倍了。

生：我發(fā)現(xiàn)，誰是誰的幾倍，不能反過來說。

生：我發(fā)現(xiàn)小數(shù)不能說是大數(shù)的幾倍。

師：那小數(shù)如何表示和大數(shù)的關(guān)系呢？在后續(xù)的分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)中，咱們會(huì)進(jìn)一步探究這個(gè)問題。

四、提煉反思——關(guān)注“生長力”

具有“生長力”的概念教學(xué)，應(yīng)以學(xué)生的發(fā)展為本，立足起點(diǎn)根基，設(shè)計(jì)合理的教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在自主學(xué)習(xí)、共同探究、互教互學(xué)中建構(gòu)概念。

（一）經(jīng)驗(yàn)為“根”——立足概念教學(xué)“生長”的“根基”

在概念教學(xué)中教師應(yīng)準(zhǔn)確分析學(xué)生已有的生活知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，為概念教學(xué)找準(zhǔn)起點(diǎn)。

“倍”是生活中的一個(gè)常用概念，學(xué)生接觸過，但是對(duì)概念的理解是模糊的。如何將“生活中的倍”轉(zhuǎn)化為“數(shù)學(xué)中的倍”是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)。“倍的認(rèn)識(shí)”是在學(xué)生認(rèn)識(shí)平均分與除法意義的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，“倍”表示兩個(gè)數(shù)量間的比較關(guān)系，是從“比絕對(duì)數(shù)量”到“比相對(duì)數(shù)量”的轉(zhuǎn)變。因此，教師將教學(xué)建立在學(xué)生已有的“差比”關(guān)系的基礎(chǔ)上，引出“倍比”關(guān)系，把新知“嫁接”在原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上。

（二）活動(dòng)為“線”——經(jīng)歷概念教學(xué)“生長”的“階梯”

概念教學(xué)要關(guān)注概念的實(shí)際背景以及概念形成的思維過程。抽象的數(shù)學(xué)概念的形成可以借助有形的數(shù)學(xué)活動(dòng)，通過活動(dòng)鋪就概念與學(xué)生思維的通道，幫助學(xué)生有效建立概念。學(xué)生掌握概念的過程也是一個(gè)不斷發(fā)展的過程，往往經(jīng)歷幾個(gè)階段。

1.建立概念的表象

概念的表象是指對(duì)概念具有鮮明形象的感知，將頭腦中的概念經(jīng)過外部信息進(jìn)行轉(zhuǎn)化，是對(duì)概念進(jìn)行知識(shí)表征的過程?！氨丁北硎镜氖莾蓚€(gè)量之間的關(guān)系，雖然學(xué)生在生活中對(duì)“倍”有初步的感知，但無法用準(zhǔn)確的語言描述什么是“倍”。所以教師創(chuàng)設(shè)了動(dòng)物樂園的情境，通過具體的例子表征“倍”的含義。讓學(xué)生在具體的情境中，結(jié)合實(shí)例說一說，用語言表征“倍”的含義，在頭腦中建立“倍”的表象。

2.抽象概念的本質(zhì)

概念是事物本質(zhì)屬性的反映。概念的形成是一個(gè)從具體到抽象概括的思維活動(dòng)，教師可在學(xué)生通過感知獲得概念表象的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析、綜合、概括，從具體到抽象逐步探尋概念的本質(zhì)。在“倍”的概念教學(xué)中，筆者通過創(chuàng)設(shè)“比一比，說一說”“圈一圈，填一填”“想一想，擺一擺”的操作活動(dòng)，讓學(xué)生多感官參與活動(dòng)，在探究知識(shí)的活動(dòng)中積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，抽象出“倍”的本質(zhì)。

學(xué)生在“想一想，擺一擺”四個(gè)層面的操作活動(dòng)中積累經(jīng)驗(yàn)，確定比的標(biāo)準(zhǔn)，建立“1份”的概念，明確“倍”與“份數(shù)”之間的聯(lián)系；接著，學(xué)生想一想，從“直觀體驗(yàn)”過渡到“抽象思維”，挖掘“倍”的本質(zhì)，理解“一個(gè)數(shù)包含幾個(gè)幾”就是“一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”，明確“倍”隱藏著“包含”的關(guān)系，達(dá)到對(duì)“倍”的本質(zhì)的理解。

3.厘清概念的知識(shí)結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)概念的抽象性與小學(xué)生思維的具象性，要求教師在概念教學(xué)中不能孤立地講解概念，要將概念與實(shí)例相結(jié)合，借助實(shí)例讓學(xué)生形象地感知概念的本質(zhì)特征，從而厘清概念的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

教材用誰是誰的幾倍這種結(jié)構(gòu)化的語句來表征“倍”的概念，突出兩個(gè)數(shù)量相互比較，把其中較小的量看作1份作為標(biāo)準(zhǔn)，另一個(gè)量里面包含這樣的幾份就是幾倍。只要1份的數(shù)確定了，另一個(gè)量有幾份就是幾倍。由此可知，這個(gè)1份數(shù)標(biāo)準(zhǔn)量在“倍”的認(rèn)識(shí)中起著關(guān)鍵作用。教師在教學(xué)時(shí)要幫助學(xué)生厘清“倍”的結(jié)構(gòu)關(guān)系，1倍數(shù)、倍數(shù)、幾倍數(shù)，尤其要建立1倍數(shù)的概念。

4.辨析概念間的關(guān)系

教師將概念之間的關(guān)系分為相關(guān)聯(lián)關(guān)系和不相關(guān)聯(lián)關(guān)系，也可稱為異同關(guān)系。辨析概念間的異同關(guān)系，可以避免混淆概念，有利于學(xué)生對(duì)概念的正確理解與建構(gòu)，以及運(yùn)用概念正確分析、判斷與解決問題。

通過練習(xí)，學(xué)生知道兩個(gè)量進(jìn)行比較的時(shí)候，可以用相差關(guān)系進(jìn)行比較，也可以用倍比關(guān)系進(jìn)行比較，但它們表示的意義不一樣。學(xué)生進(jìn)一步明確“倍”的實(shí)質(zhì)意義，“倍”表示的只是一種倍比關(guān)系，跟表示相差關(guān)系是有區(qū)別的，“倍數(shù)”是相對(duì)量，而不是絕對(duì)量。

（三）留白為“缺”——留給學(xué)生“生長”的“空間”

教師在課堂的最后可以留一個(gè)“缺口”，讓學(xué)生有思考、討論、交流、質(zhì)疑問難的時(shí)間與空間，讓學(xué)生能夠循著這個(gè)“缺口”持續(xù)“生長”。

面對(duì)學(xué)生提出的問題，筆者沒有直接回答對(duì)或者不對(duì)，而是留給學(xué)生一個(gè)思維的“缺口”，讓學(xué)生自己畫圖思考、討論交流。學(xué)生繼而發(fā)現(xiàn)了一些“倍”的相關(guān)知識(shí)。以大數(shù)作為1倍，小數(shù)是不夠1倍的，所以小數(shù)不能說是大數(shù)的幾倍，這時(shí)怎么辦？還能用“倍”來比較兩者的關(guān)系嗎？不能比了，又該怎樣表示呢？為后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)留下懸念。

“生長”的概念教學(xué)，是師生和諧發(fā)展的課堂，它以學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)為根，讓學(xué)生在探究概念的過程中不斷“生長”，并在課堂最后留給學(xué)生持續(xù)“生長”的“缺口”。