以生為本，在“數(shù)”“形”之間探索規(guī)律
——《數(shù)與形》磨課及思考

○馬向葵

“數(shù)學(xué)廣角”的教學(xué)內(nèi)容活動(dòng)性和操作性較強(qiáng)，我們應(yīng)力求為學(xué)生創(chuàng)設(shè)充分探究的空間，突出學(xué)生的主體地位，彰顯“把學(xué)生放在課堂正中央”的教學(xué)理念。出于這樣的考慮，磨課前，我們一起研讀了課標(biāo)，鉆研了教材，決定對(duì)原有的教學(xué)素材進(jìn)行再創(chuàng)造。

本節(jié)課教學(xué)例1：借助圖形計(jì)算從1開(kāi)始連續(xù)奇數(shù)相加的和。教學(xué)內(nèi)容中“形”的問(wèn)題包含著“數(shù)”的規(guī)律，“數(shù)”的問(wèn)題也可以用“形”來(lái)幫助解決，數(shù)形聯(lián)系緊密。對(duì)于情境圖的呈現(xiàn)方式，備課中大家出現(xiàn)了分歧：先出示算式？還是先出示圖形？我們從不同角度進(jìn)行分析，各有各的道理。情境圖中“數(shù)”與“形”該如何呈現(xiàn)？接下來(lái)該如何組織教學(xué)？一系列的問(wèn)題擺在面前。除了要考慮教學(xué)內(nèi)容外，我們還需研究學(xué)生，做到有效教學(xué)。帶著這樣的疑惑與思考開(kāi)始磨課。

一、“數(shù)”“形”誰(shuí)先行？

1.“數(shù)”先行。

先出示1=（ ）2，1+3=（ ）2，1+3+5=（ ）2，目的是讓學(xué)生通過(guò)計(jì)算得到4=22，9=32。學(xué)生能夠在教師的引導(dǎo)下看到平方數(shù)聯(lián)想到正方形，但是這種“數(shù)”“形”之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是在引導(dǎo)下一步步找到，至于這些連續(xù)的奇數(shù)在圖形中的什么地方，平方數(shù)代表的又是圖形中的什么，學(xué)生似乎并不關(guān)心，他們只關(guān)注怎樣算。課后隨機(jī)采訪，有學(xué)生說(shuō)：“老師，你出示算式讓我們計(jì)算，我們都能算對(duì)。為什么還給圖形呢？”

學(xué)生的話引發(fā)了我的思考：先出示“數(shù)”，這樣的設(shè)計(jì)有些行不通，沒(méi)有考慮到學(xué)生的認(rèn)知水平和思維方式。學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)并沒(méi)有把圖形的變化與求自然數(shù)奇數(shù)列的和對(duì)應(yīng)起來(lái)，沒(méi)有發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律，所以也就沒(méi)有體會(huì)到借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象。

要想把課設(shè)計(jì)得更合理，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)和研究學(xué)生同樣重要。我們要努力站在學(xué)生的角度去分析問(wèn)題，尊重學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。了解到學(xué)生的已有認(rèn)知，教學(xué)環(huán)節(jié)需要進(jìn)一步調(diào)整。

2.“數(shù)”與“形”并行。

討論后決定遵循教材試講。圖形與算式同時(shí)出示，預(yù)設(shè)學(xué)生在完成計(jì)算的同時(shí)能夠與對(duì)應(yīng)圖形建立聯(lián)系：比如算出“1+3=22”后能夠與邊長(zhǎng)是2的正方形建立聯(lián)系，算式中的連續(xù)奇數(shù)對(duì)應(yīng)著圖形與圖形之間增加的小正方形。但是，算式中的加數(shù)不斷增加時(shí)，學(xué)生又開(kāi)始脫離圖形，去研究算式中加數(shù)的個(gè)數(shù)與平方數(shù)之間的關(guān)系，沒(méi)有達(dá)到預(yù)期的效果。

這次學(xué)生能夠自主探索規(guī)律，比較、發(fā)現(xiàn)并歸納出結(jié)論。雖然課堂比較順暢，但是沒(méi)有突顯“數(shù)”與“形”的緊密聯(lián)系。

3.“形”先行。

先出示圖形，學(xué)生認(rèn)真觀察，然后用不同的“數(shù)”來(lái)表達(dá)自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。學(xué)生因?yàn)橛^察角度的不同，匯報(bào)交流時(shí)出現(xiàn)了不同的規(guī)律：有的用“1，4，9，16”，有的用“1×1=1，2×2=4，3×3=9，4×4=16”，還有的用“1，1+3=4，1+3+5=9，1+3+5+7=16”。雖然觀察、思考的角度不同，但是他們已經(jīng)把“數(shù)”與“形”建立起了關(guān)系。

這次試講做到了從學(xué)生的角度看待問(wèn)題，真正讓學(xué)生做了學(xué)習(xí)的主人。好的數(shù)學(xué)課堂一定是從“教師的教”走向“學(xué)生自主的學(xué)”，讓學(xué)生多一點(diǎn)合作，多一點(diǎn)分享，多一點(diǎn)探究，多一點(diǎn)發(fā)現(xiàn)。學(xué)生有了個(gè)性的思考和清晰的表述，他們的主體地位就突顯了出來(lái)。

二、“數(shù)”“形”不分家

因?yàn)樽鹬亓藢W(xué)生的認(rèn)知，學(xué)生既能發(fā)現(xiàn)加數(shù)中有規(guī)律，又能發(fā)現(xiàn)和中也有規(guī)律，進(jìn)而通過(guò)推理，逐步抽象，形成模式，得到“計(jì)算從1開(kāi)始的連續(xù)奇數(shù)之和等于加數(shù)個(gè)數(shù)的平方”這樣的結(jié)論。

通過(guò)上面的研究，學(xué)生已經(jīng)得出1=12，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42這樣的等式，如果繼續(xù)出示像前面那樣更多的算式，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得到結(jié)論。可是我并沒(méi)有這樣安排，既然學(xué)生的思維已經(jīng)被充分調(diào)動(dòng)起來(lái)，我更愿意看到學(xué)生更深入的思考，通過(guò)以下環(huán)節(jié)讓學(xué)生充分地感受“數(shù)”與“形”之間的關(guān)系。

首先出示“1+3+5+7+9”，提出更為發(fā)散的問(wèn)題：看到這個(gè)算式，你會(huì)想到什么？有了前面積累的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生不僅得到“1+3+5+7+9=52”這樣的等式，和等于25，而且還想到邊長(zhǎng)是5的正方形。此時(shí)下結(jié)論還過(guò)早，讓學(xué)生慢慢感悟“數(shù)”與“形”之間的關(guān)系，比如怎樣理解52中的“5”。通過(guò)觀察、比較，學(xué)生很容易說(shuō)出“5”既是算式中加數(shù)的個(gè)數(shù)，也是對(duì)應(yīng)的正方形邊長(zhǎng)的數(shù)量。抽象的數(shù)與直觀的圖很好地結(jié)合在一起，同時(shí)也可以進(jìn)一步驗(yàn)證學(xué)生的已有猜想。

然后出示“72，100”，目的是充分引發(fā)學(xué)生的想象，利用數(shù)值的變化讓他們充分感受“數(shù)”與“形”的聯(lián)系。創(chuàng)設(shè)合情的推理過(guò)程，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生積極參與進(jìn)來(lái)，體驗(yàn)觀察、猜想、比較、驗(yàn)證的過(guò)程，讓學(xué)生在逐步感知的過(guò)程中“悟”出道理。

三、應(yīng)用規(guī)律，拓展學(xué)生視野

在解決問(wèn)題環(huán)節(jié)出示“1+3+5+7+9+7+5+3+1=（ ）”和“5+7+9=（ ）”兩道題。第一道題可以看成兩個(gè)算式：1+3+5+7+9=52，7+5+3+1=42，和就是52+42=41。第二道題有意把“1+3”舍去，加大了難度，看似不同，但與第一題有緊密聯(lián)系，思維含量更高。經(jīng)過(guò)思考，學(xué)生很快有了結(jié)果，說(shuō)：“假設(shè)前面加上1+3，這樣可以組成‘1+3+5+7+9’，和等于52，然后減去22。也可想象成一個(gè)邊長(zhǎng)是5的正方形里面減去一個(gè)邊長(zhǎng)是2的正方形，所以‘5+7+9’就是52-22=21?！钡人f(shuō)完，我動(dòng)態(tài)演示課件，借助直觀的圖形，讓學(xué)生充分感受“數(shù)”與“形”之間的密切聯(lián)系。

接下來(lái)和學(xué)生一起感受乘法分配律、勾股定理中的“形”，體會(huì)“數(shù)”與“形”相互依存、不可分割的關(guān)系。

課已經(jīng)結(jié)束，思考卻未停止。這次磨課使我認(rèn)識(shí)到：在備課中要充分研讀教學(xué)素材，結(jié)合自身實(shí)際做到恰當(dāng)?shù)娜∩?，改變?cè)瓉?lái)的“教教材”，同時(shí)要結(jié)合學(xué)生實(shí)際設(shè)計(jì)合理的教學(xué)環(huán)節(jié)。學(xué)生是課堂的主人，走進(jìn)學(xué)生，才能懂得學(xué)生是怎樣思考問(wèn)題；聆聽(tīng)學(xué)生，才能使教與學(xué)逐步達(dá)到統(tǒng)一；放開(kāi)學(xué)生，才能讓他們的思考更加有序、有深度。