相關(guān)矩陣的Hadamard乘積不等式的奇異條件

林志興, 馮曉霞， 楊忠鵬， 呂洪斌， 陳梅香

(1. 莆田學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院， 福建 莆田 351100； 2. 閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 福建 漳州 363000； 3. 北華大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 吉林 吉林 132013)

0 引言

命題1[1-2]設(shè)相關(guān)矩陣R∈H+(m),A∈H+(m)則：

s1(R)=R°R-2(R-1°R+I)-1≥0；s2(R)=R-1°R+I-2(R°R)-1≥0

(1)

2(A°I)(A-1°A+I)-1(A°I)≤A°A； 2(A°I)(A°A)-1(A°I)≤A-1°A+I

(2)

文獻(xiàn)[1]認(rèn)為， 命題1應(yīng)用矩陣?yán)碚摰淖C明是很有意義的. 利用矩陣證法推廣Styan矩陣不等式(1)～(2)[3-5]， 得到：

(A°I+B°I)(A-1°B+B-1°A+2I)-1(A°I+B°I)≤A°B(A,B∈H+(m))

(3)

(A°I+B°I)(A°B)-1(A°I+B°I)≤A-1°B+A°B-1+2I(A,B∈H+(m))

(4)

文獻(xiàn)[6-7]給出了式(3)～(4)在半正定矩陣上的推廣：

(5)

(6)

以下稱式(3)～(4)、 式(5)～(6)是互為正逆向的矩陣不等式. 由于相關(guān)矩陣的奇異與否對多元統(tǒng)計而言至關(guān)重要， 文獻(xiàn)[1]給出了如下命題：

命題2[1]設(shè)相關(guān)矩陣R∈H+(m)， 則s1(R)奇異的一個充分而非必要的條件是R-I至少有一行元素全為零.

文獻(xiàn)[1]以下面的例子來說明命題2給出的結(jié)果僅是s1(R)奇異的充分而非必要的條件.

對于矩陣不等式A≥B， 本研究總約定使矩陣A-B=0(或等價于A=B)、 行列式det(A-B)=0的充分必要條件分別稱為矩陣不等式A≥B的等式條件、 奇異條件. 本研究首先討論半正定矩陣的矩陣不等式(5)～(6)的奇異條件； 再應(yīng)用奇異值分解， 得到了兩個正定Hermitian矩陣的Styan型矩陣不等式的等式條件和奇異條件.

1 預(yù)備知識

由文獻(xiàn)[2, 4, 8]知, 對階數(shù)相容的矩陣A,B,C,D總有：

(A?C)(B?D)=AB?CD

(7)

(A+C)?(B+D)=A?B+C?B+A?D+C?D

(8)

(A?B)+=A+?B+, (A?B)H=AH?BH

(9)

(10)

(11)

引理1[9]設(shè)A∈Cm×n, 則：

(A+)+=A,A+H(=(A+)H)=(AH)+,A+=(AHA)+AH

r[ω1(X,M)]=r[(I-MX(MX)+)X],r[ω2(X,M)]=r[(I-XX+)MX]

(12)

ω1(X,M)奇異?r[(I-MX(MX)+)X]

(13)

ω2(X,M)奇異?r[(I-XX+)MX]

(14)

證明 由I-XX+,I-MX(MX)+都是Hermitian冪等的及引理1得：

ω1(X,M)=((I-MX(MX)+)X)H(I-MX(MX)+)X≥0

(15)

ω2(X,M)=((I-XX+)MX)H(I-XX+)MX≥0

(16)

從r(A)=r(AHA)=r(AAH),A∈Cm×n及式(15)～(16)得到式(12)～(14). 證畢.

引理4設(shè)M,N∈H+(m),T∈Cm×n且M≥TN-1TH， 則:

N≥THM-1T且r(M-TN-1TH)=r(N-THM-1T)

M-TN-1TH奇異?N-THM-1T奇異?r(M-TN-1TH)=r(N-THM-1T)

2 半正定矩陣的討論

s1(A,B)=A°B-(A°BB++AA+°B)(A°B++A+°B+2AA+°BB+)+(A°BB++AA+°B)

s2(A,B)=A°B++A+°B+2AA+°BB+-(A°BB++AA+°B)(A°B)+(A°BB++AA+°B)

u1(A,B)=(A?B)Pm-(AA+?B+A?BB+)Pm(A°B++A+°B+2AA+°BB+)+(A°BB++AA+°B)

u2(A,B)=(A+?BB++AA+?B+)Pm-(AA+?BB+)Pm(A°B)+(A°BB++AA+°B)

則：

si(A,B)≥0 (i=1, 2)

(17)

r(si(A,B))=r(ui(A,B)) (i=1, 2)

(18)

si(A,B)奇異?r[ui(A,B)]

(19)

(20)

(21)

(22)

XHM2X=(MX)HMX=A°B++A+°B+2AA+°BB+

(23)

應(yīng)用式(20)～(23)和引理3及其證明得:

s1(A,B)=((I-MX(MX)+)X)H(I-MX(MX)+)X=ω1(X,M) ≥0

s2(A,B)=((I-XX+)MX)H(I-XX+)MX=ω2(X,M)≥0

即式(17)成立. 令：

由式(20)～(23)和引理1得

v1(A,B)=X-MX(XHM2X)+XHMX=(I-MX(MX)+)X

v2(A,B)=MX-X(XHX)+XHMX=(I-XX+)MX

于是由引理3及其證明可得:

si(A,B)=vi(A,B)Hvi(A,B)=ωi(X,M)≥0 (i=1, 2)

(24)

從式(7)～(11)及引理1～2知：

(25)

由式(24)～(25)得：r(si(A,B))=r(vi(A,B))=r(ui(A,B)),i=1, 2. 則可知式(18)成立， 進(jìn)而式(19)也成立. 證畢.

矩陣不等式有一個熟知的結(jié)論[11]:

M≥N>0?N-1≥M-1>0 (M,N∈H+(m))

(26)

設(shè)M=A-1°B+A°B-1+2I,N=(A°I+B°I)(A°B)-1(A°I+B°I). 當(dāng)A,B∈H+(m)時， 由式(4)知，M≥N>0. 從式(11)、 (26)得：N-1≥M-1>0， 即式(3)與式(4)等價. 同理知， 式(2)中的不等式互為確定.

3 正定矩陣的討論

(27)

(28)

s1(A,B)=A°B-(A°I+I°B)(A°B-1+A-1°B+2I)-1(A°I+I°B)

(29)

s2(A,B)=A°B-1+A-1°B+2I-(A°I+I°B)(A°B)-1(A°I+I°B)

(30)

由式(29)～(30)知：s1(A,B)≥0和s2(A,B)≥0互相確定.

定理2設(shè)A,B∈H+(m)滿足式(27)～(30), 則：

r[s1(A,B)]=r[s2(A,B)]=r(M12)

(31)

式(3)等式成立?式(4)等式成立?QH(A-1?I+I?B-1)Q=diag(M11,M22)

(32)

s1(A,B)奇異?s2(A,B)奇異?r(M12)

(33)

證明 由式(7)～(11)知：M=A-1?I+I?B-1∈H+(m2)， 這樣從式(27)～(28)和定理1的證明得：

(34)

由式(24)、 (30)、 (34)有：

(35)

等式(6)成立?QH(A-1?I+I?B-1)Q=diag(M11,M22)

(36)

s2(A,B)奇異?r(M12)

(37)

由式(11)可得：A-1°B+A°B-1+2I(=M),A°B(=N)和A°I+B°I(=T)都是正定. 這樣由式(29)～(30)和引理4知： 式(31)成立. 因為式(3)～(4)和s1(A,B)≥0,s2(A,B)≥0是互相確定的， 所以從式(31), (35)～(37)可得： 式(32)～(33)成立. 證畢.

定理3設(shè)A,B∈H+(m)滿足式(27)～(30)， 且π(A,B)=(A?I+I?B)Pm-(A?B)Pm(A°B)-1(A°I+B°I), 則:

r[s1(A,B)]=r[s2(A,B)]=r(π(A,B))

(38)

式(3)等式成立?式(4)等式成立?π(A,B)=0

(39)

s1(A,B)奇異?s2(A,B)奇異?π(A,B)的列線性相關(guān)

(40)

(41)

再由式(30)知：r[s2(A,B)]=r(π(A,B)), 這說明式(4)等式成立?s2(A,B)=0?π(A,B)=0,s2(A,B)奇異?r[π(A,B)]

由定理2～3可得以下推論：

推論1如果A,B∈H+(m)滿足式(33)～(36)， 則式(3)嚴(yán)格不等式成立?式(4)嚴(yán)格不等式成立?r(M12)=m?M12的行線性無關(guān)?π(A,B)的列線性無關(guān).

當(dāng)A=B時， 由定理2～3及推論1可得到不等式(2)的嚴(yán)格不等式、 等式條件、 奇異條件. 當(dāng)R∈H+(m)時, 由定理2～3及推論1可得：

定理4設(shè)相關(guān)矩陣R∈H+(m)滿足式(27)～(30), 則:

r[s1(R)]=r[s2(R)]=r(π(R,R))

且s1(R)=0?s2(R)=0?(R?I+I?R)Pm=2(R?R)Pm(R°R)-1?QH(R-1?I+I?R-1)Q=diag(M11,M22)s1(R)奇異(>0)?s2(R)奇異(>0)?r(M12)

4 一些注釋

由文獻(xiàn)[13-14]和定理2～3可得：

引理5設(shè)A,B∈H+(m)滿足式(35)～(36)，P是置換矩陣， 則:

Psi(A,B)PH=si(PAPH,PBPH)∈H+(m)

si(A,B)(=0)奇異?si(PAPH,PBPH)(=0) (i=1, 2)

因此， 相應(yīng)的式(27)有酉矩陣Qm2-1、Wm-1使得下式成立：

再由式(28)得：

(42)

式(42)說明文獻(xiàn)[1]的推論4.1是本研究結(jié)果的一個特例.

由計算知， 例1中的(R?I+I?R)P3-2(R?R)P3(R°R)-1為其矩陣的第1列， 是第2與第3列之和, 由定理4得知s1(R)是奇異的.

定理5設(shè)A,B∈H+(m)且其Hadamard乘積的譜分解為：

A°B=UDUH(U為酉矩陣，D是正對角矩陣)

(43)

則在式(27)～(28)中可?。?/p>

(44)

證明 由式(7)～(11)知： 式(43)也是奇異值分解. 由式(27)～(28)及(43)得：

(45)

(46)

式(46)表明Q1可由式(44)確定， 且在使Q=[Q1,Q2]為酉矩陣的前提下可為任意的. 證畢.

定理6設(shè)相關(guān)矩陣R∈H+(2), 則si(R)奇異， 即si(R)，i=1, 2都不是正定的.

其中:

由定理6可得以下推論：