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    三類參數(shù)方程在解析幾何中的應(yīng)用

    2020-12-24 02:21:24吳萍萍
    讀與寫 2020年1期
    關(guān)鍵詞:最值例題直線

    吳萍萍

    (福建省莆田市擢英中學(xué) 福建 莆田 351100)

    隨著全國各省市加入高考利用全國卷的浪潮,近幾年對全國卷研究的不斷深入后發(fā)現(xiàn):參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)文理科中均出現(xiàn)在選修4-4的位置,作為高考的選做題。查閱了高考的考綱,對參數(shù)方程的要求為:(1)了解參數(shù)方程,了解參數(shù)的意義。(2)能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線,圓和圓錐曲線的參數(shù)方程。可以發(fā)現(xiàn)考綱對參數(shù)方程的要求只是作為選做題出現(xiàn),因此,在教學(xué)過程中,我們只是單純的為了選做而教學(xué),并沒有以此進(jìn)一步探索參數(shù)方程的靈活應(yīng)用。然而,在教學(xué)的不斷深入后發(fā)現(xiàn),雖然高考的要求只是作為選做題,但是參數(shù)方程的出現(xiàn),大大減少了相關(guān)題目的變量,促進(jìn)教學(xué)層次的深化。完全可以作為一種有效的學(xué)習(xí)方法進(jìn)行歸納、總結(jié),讓學(xué)生可以好好利用參數(shù)方程這個(gè)工具解決數(shù)學(xué)中的一些比較復(fù)雜、繁瑣的問題。因此,將參數(shù)方程在除了選做之外的數(shù)學(xué)解題中進(jìn)行了一些拓展。

    1.創(chuàng)新性思維:直線的參數(shù)方程的靈活應(yīng)用

    傳統(tǒng)的教學(xué)只是通過不斷的做題,頻繁的進(jìn)行數(shù)學(xué)題型的訓(xùn)練來獲得數(shù)學(xué)成績的提高。但是,這種方法往往事倍功半,學(xué)生不得其法。因此,要針對各個(gè)學(xué)校的學(xué)生特點(diǎn),設(shè)計(jì)不同的典型例題,進(jìn)行歸納總結(jié),發(fā)散思維,從而舉一反三,提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的感知力。

    在選修4-4的課本中明確指出:直線的參數(shù)方程參數(shù)t的幾何意義為:t的絕對值為直線上的點(diǎn)到定點(diǎn)(x0,y0)的距離,有正負(fù)之分。對直線參數(shù)方程的研究可以發(fā)現(xiàn):參數(shù)t可以用來求解與直線的定點(diǎn)有關(guān)的距離問題,從而避免了去求兩個(gè)點(diǎn)再用距離公式來求解的繁瑣的計(jì)算過程,大大簡化了計(jì)算量。

    例題1:直線l:y=-x+1,曲線C的方程為y2=4x,直線l交曲線C于A、B

    (1)求x-y-1=0|AB|;(2)若P(0,1),求|PA|+|PB|的值.

    解題思路:直線l的參數(shù)方程與曲線C的方程聯(lián)立,得到關(guān)于t的二次方程。結(jié)合參數(shù)方程t的幾何意義,將一、二問的距離轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的等量關(guān)系式,利用韋達(dá)定理求解。

    例題2:在平面直角坐標(biāo)系中,直線l的方程為,曲線C2的方程為y2=4x,若曲線l,C2相交于A,B兩點(diǎn),AB的中點(diǎn)為P,過點(diǎn)P做曲線C2的垂線交于E,F兩點(diǎn),求|PE|·|PF|.

    解題思路:通過幾何關(guān)系求得AB的中垂線參數(shù)方程,并與C2聯(lián)立。將題目所求的距離乘積問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的等量關(guān)系式,利用韋達(dá)定理求解。

    此類問題主要借助直線的參數(shù)t的幾何意義,對涉及過直線定點(diǎn)的距離問題進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)化,大大簡化了圓錐曲線的繁瑣計(jì)算,迅速的得到所需要的答案。

    2.探索性思維:圓的參數(shù)方程的巧妙應(yīng)用

    高中數(shù)學(xué)的特點(diǎn)就是解題方法靈活,并且有一定的計(jì)算要求。如果能夠探索出代數(shù)問題的幾何法,便能大大的簡化計(jì)算,快速解決難題,大大節(jié)省學(xué)生的解題時(shí)間。不失為一種非常巧妙的數(shù)學(xué)方法。

    例題3:與向量結(jié)合求取值范圍

    解題思路:將C上任一點(diǎn)P的坐標(biāo)用參數(shù)方程設(shè),并結(jié)合向量的公式將題目所求的式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的三角函數(shù)式,結(jié)合三角函數(shù)最值的求法進(jìn)行求解。

    引入圓的參數(shù)方程,將兩個(gè)變量變成只有一個(gè)變量角度(注意參數(shù)的取值范圍),化簡成三角函數(shù)求最值的常規(guī)類型就很好處理了??梢悦黠@發(fā)現(xiàn)參數(shù)方程解決此類問題的優(yōu)點(diǎn)。

    3.發(fā)散性思維:橢圓參數(shù)方程的直觀應(yīng)用

    例題4:橢圓中求最值

    解題思路:將C上任一點(diǎn)P的坐標(biāo)用參數(shù)方程設(shè),再利用點(diǎn)到直線的距離,結(jié)合三角函數(shù)的最值求解。

    上述解答可以發(fā)現(xiàn):原先橢圓上的點(diǎn)P的坐標(biāo)由兩個(gè)變量x,y來表示,所求的表達(dá)式整理后,沒辦法解決有關(guān)最值的問題。這時(shí)引入橢圓的參數(shù)方程,就可以將兩個(gè)變表示成只有一個(gè)變量,將最值問題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)求最值的問題。因此,參數(shù)方程在很大程度上可以減少變量,大大簡化計(jì)算,非常的實(shí)用。

    4.總結(jié)

    在全國卷的新形勢下,在應(yīng)用參數(shù)方程解決高中數(shù)學(xué)的相關(guān)問題,主要思路:利用參數(shù)方程,可以減少題目中的變量個(gè)數(shù),達(dá)到降元的目的。通過合理運(yùn)算思維與結(jié)構(gòu),綜合參數(shù)方程的綜合知識,實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)問題的求解。但是,通過對以上類型的歸納整理可以發(fā)現(xiàn),在應(yīng)用參數(shù)方程時(shí)尤其要注意參數(shù)的幾何意義及參數(shù)的取值范圍。注意多練、多提問、多體會、多領(lǐng)悟,踏實(shí)學(xué)好參數(shù)方程,靈活應(yīng)用參數(shù)方程,從而能夠在今后的解題中,參悟數(shù)學(xué)題目的內(nèi)在隱含條件,迅速解答數(shù)學(xué)問題。

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