解決高中數(shù)學應用題的幾點思考

朱鋒

【摘 要】 數(shù)學建模是數(shù)學學科核心素養(yǎng)之一，高中數(shù)學應用題最能展現(xiàn)數(shù)學建模思想。在高中數(shù)學應用題教學中，教師需要尋找學生解決應用題所產(chǎn)生的錯因，才能對癥下藥，通過對應用題的講解，概括學生暴露出的問題，引發(fā)幾點思考，整理出“缺乏生活經(jīng)驗、讀不懂題意;審題不仔細，誤解題意;公式遺忘，提煉不出數(shù)學模型;計算能力不過關(guān)，不能正確解題”等一些錯因，并采取相應的解決措施。

【關(guān)鍵詞】 高中數(shù)學;應用題;策略

解決數(shù)學應用題是需要學生在實際生活中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型、確定參數(shù)、計算求解、檢驗結(jié)果、改進模型等一系列的操作，最終解決問題。雖然很多學生從小就怕數(shù)學應用題，但是解決數(shù)學應用題的能力能夠體現(xiàn)學生的數(shù)學學科素養(yǎng)之一——數(shù)學建模，所以，數(shù)學應用題是任何年段都必須學習的內(nèi)容。解決好高中數(shù)學應用題應該注意些什么呢？通過講解下列應用題引發(fā)幾點思考：

如圖，GH是東西方向的公路北側(cè)的邊緣線，某公司準備在GH上的一點B的正北方向的A處建一倉庫，設(shè)AB=y km，并在公路同側(cè)建造邊長為x km的正方形無頂中轉(zhuǎn)站CDEF（邊EF在GH上），現(xiàn)從倉庫A向GH和中轉(zhuǎn)站分別修兩條道路AB，AC，已知AB=AC+1，且∠ABC=60o。

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;

（2）如果中轉(zhuǎn)站四周圍墻造價為1萬元/km，兩條道路造價為3萬元/km，問：x取何值時，該公司建中轉(zhuǎn)站圍墻和兩條道路總造價M最低？

一、增強生活經(jīng)驗，有助讀懂題意

數(shù)學知識來源于生活，學生缺乏生活經(jīng)驗，就讀不懂題意。如：解決此應用題時，有學生說“在公路同側(cè)建造邊長為x km的正方形無頂中轉(zhuǎn)站CDEF（邊EF在GH上）”意思是中轉(zhuǎn)站只需建三面，即CD、DE、CF，還有一面EF在公路GH上。顯然，他與以前所遇到的“墻當籬笆使用”的問題混淆，路是不可以當圍墻使用的。

平時教學中，涉及生活上的問題，盡可能借助于多媒體教學，讓來自生活的數(shù)學問題還原到生活情境中，給學生帶來直觀的視覺沖擊，彌補生活經(jīng)驗的不足;多開展一些適宜的數(shù)學實驗活動，讓學生體會數(shù)學來自生活并且服務于生活。學生不僅僅感受到數(shù)學的重要性，又體會到數(shù)學到處可見，數(shù)學并不是高深莫測的，從而喜歡數(shù)學。

二、認真仔細審題，正確理解題意

此例題解決過程中，還有學生說“應該有五個面，中轉(zhuǎn)站還有屋頂”，審題不仔細，題目中是問“中轉(zhuǎn)站四周圍墻造價為1萬元/km”，根本就沒提到屋頂。顯然，學生依賴已有的生活經(jīng)驗，認為屋子就應該有屋頂，這是心理學上所講的“負遷移”。因此，我們在解決問題時應該認真審題，圈出題中的關(guān)鍵詞“四周圍墻”。不管所遇問題是熟悉的還是陌生的，都需認真審題，這是解決問題的第一步。高中數(shù)學應用題的題目比較長，高中生閱讀應該不成問題，但如何從中快速提煉出正確、有用的信息？這就需要圈出關(guān)鍵詞，排除干擾，目標明確。

三、擴大知識儲備，正確提煉數(shù)學模型

解決應用題最關(guān)鍵之處就是根據(jù)題意提煉出相應的數(shù)學模型。第（1）問求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，需要學生能夠在△ABC中利用余弦定理構(gòu)造等量關(guān)系，有學生忘記余弦定理就無法解決此問;（2）問中的目標總造價M=中轉(zhuǎn)站圍墻的總造價+兩條道路的總造價=中轉(zhuǎn)站四周圍墻造價的單價×數(shù)量+兩條道路造價的單價×數(shù)量。這樣只要把相關(guān)的數(shù)據(jù)代入就得到了總造價M的函數(shù)模型。

高中數(shù)學應用題中涉及的數(shù)學模型基本是平時所學知識的組合。因此，要想能夠正確構(gòu)造應用題的數(shù)學模型，就需有相關(guān)的知識儲備?？偟膩碚f，高中數(shù)學應用題主要會遇到以下幾種建模：利用平面幾何知識建模，需要儲備直線、圓方程、兩點之間距離公式、點到直線距離公式等相關(guān)知識。利用三角知識及正余弦定理建模，需儲備三角函數(shù)、解三角形、正余弦定理等相關(guān)知識。還有利用解析幾何知識、立體幾何知識建模。當遇到與增長率有關(guān)的實際問題，可以用等差數(shù)列、等比數(shù)列和簡單的遞推知識來解決。當然，模型、知識之間的相互聯(lián)系沒有絕對獨立，因此，需要認真審題，構(gòu)建正確的數(shù)學模型。

四、提高計算能力，完整正確解答

讀懂題意、構(gòu)建正確的數(shù)學模型后，如果計算錯誤，還是不能把實際問題解決。計算錯誤的原因各不相同，針對不同的錯誤，對癥下藥。有學生是把相關(guān)數(shù)據(jù)寫錯，這是最低級性錯誤。針對這類問題，需要注意力集中，認真審題、書寫。也有學生計算公式錯誤，這就需要熟記相關(guān)數(shù)學公式。還有學生缺少解決目標的方法，如本例中目標函數(shù)M的模型已經(jīng)得到，但是部分學生不知怎么求最值。對于，我們就要想到求最值有哪些方法？如基本不等式、單調(diào)性等等。針對此題，我們可以將分式部分進行分離，嘗試能否利用基本不等式，也可以進行求導，判斷其單調(diào)性?？傊?，在得到數(shù)學模型之后，還需將問題轉(zhuǎn)化為相應的題型進行解答。

高中數(shù)學應用題的解題能力能夠反映學生的綜合素質(zhì)能力，涉及學生的閱讀、分析、構(gòu)建數(shù)學模型、解答等多方面的能力，還需要多方面的知識儲備。所以，高中數(shù)學應用題的教學需要步驟明確，同時又需環(huán)環(huán)相扣。

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