• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    多參數(shù)復(fù)合核的Hilbert 型不等式及應(yīng)用

    2020-12-21 12:10:20有名輝何振華
    關(guān)鍵詞:指數(shù)函數(shù)常數(shù)定理

    有名輝,董 飛,何振華

    若f(x),g(y) ≥0,且滿足f,g∈L2(R+),則Hilbert 不等式通常可表述為[1]:

    其中:π 是滿足式(1)的最佳常數(shù)因子.此外,文獻(xiàn)[1]中還給出了與式(1)類似的含有對(duì)數(shù)函數(shù)核的不等式

    其中:π2是滿足式(2)的最佳常數(shù)因子. 式(2)通常被稱為Hilbert 型不等式,通過對(duì)核函數(shù)進(jìn)行推廣、類比等不斷的演化,數(shù)學(xué)工作者們已經(jīng)建立了形形色色的Hilbert 型不等式[2-10].這些新不等式的建立借助了許多經(jīng)典分析的技巧,同時(shí)又在很大程度上促進(jìn)了現(xiàn)代分析的發(fā)展.與式(2)類似的,還有楊必成[11]建立基本的Hilbert 型不等式

    其中:G= 0.9159…為Catalan 常數(shù).其它一些與對(duì)數(shù)函數(shù)關(guān)聯(lián)的Hilbert 型不等式可參見文獻(xiàn)[12]~[14].另外,通過構(gòu)造對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)復(fù)合而成的核函數(shù),劉瓊[15]構(gòu)建了Hilbert 型不等式

    其中:μ(x)=x-3,ν(y)=y-3.受文獻(xiàn)[15]的啟發(fā),本文將構(gòu)建以下Hilbert 型不等式

    其中:μ(x)=x-1,ν(y)=y-1及

    其中:μ(x)=xp-1,ν(y)=yq-1.更一般地,下文將構(gòu)造一個(gè)含有對(duì)數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的多參數(shù)核函數(shù),并同時(shí)考慮齊次和非齊次兩種形態(tài),利用統(tǒng)一的處理方法,建立式(5)及式(6)的統(tǒng)一推廣.先給出以下引理.

    1 預(yù)備知識(shí)

    引理1 設(shè)b>a>0,γ>0,定義K(t):=則

    證明 把ln(1 +e-at)展開為麥克勞林級(jí)數(shù),并逐項(xiàng)積分,可得

    作代換u=akt,則

    把式(9)代入到式(8),可得

    類似地,可算得

    結(jié)合式(10)與式(11),可得式(7).

    引理2 設(shè)b>a>0,K(t)如引理1 定義,則

    證明 任取δ1,δ2>0,經(jīng)過簡單的代換,可得

    分別對(duì)式(13)中的積分使用積分第一中值定理,則有

    其中:a<ξ1,ξ2<b,令δ1→0,δ2→+∞,則可得式(12).

    注:根據(jù)引理1 和引理2,可記

    引 理3 設(shè)b>a>0,γ≥0,β1β2≠0,由式(14)定義.定義核函數(shù)

    n∈N+,且fn(x)及gn(y)定義如下:

    不管β2>0 還是β2<0,由勒貝格控制收斂定理,可算得

    把式(17)代入到式(16),令n→∞,并利用式(14),則可得式(15).

    2 主要結(jié)果

    定 理1 設(shè)b>a>0,γ≥0,β1β2≠0,和k(x,y) 分別由式(14)和 引 理3定義且 滿 足f∈Lp,μ(R+),g∈Lq,ν(R+),則

    證明 由H?lder 不等式[16],得

    類似地,

    將式(20)和式(21)代入式(19),則有

    根據(jù)Hilbert 不等式相關(guān)文獻(xiàn)[2-3]通用的處理方法,可得式(22)不可取等號(hào),故式(18)成立.

    使得式(22)的常數(shù)因子變?yōu)锳后,式(22)依然成立.即

    用引理3 中的fn(x) 和gn(y) 分別替代式(23)中的f(x)和g(y),并借助式(15),可知

    令n→∞,則這顯然與假設(shè)矛盾.故式(22)的常數(shù)因子最佳.定理1 證畢.

    在定理1 中,令β1=β2= 1,γ= 1,因

    故定理1 轉(zhuǎn)化為:

    其中:μ(x)=x-1,ν(y)=y-1.令a= 1,b= 3,則有式(5)成立.

    在定理1 中,令β1=β2= 1,γ= 3,因

    故定理1 轉(zhuǎn)化為:

    在定理1 中,令β1=β2= 1,γ= 0,a=1,b= 2,則有式(6)成立.另外,在定理1 中,令β1= 1,β2= -1,還可得0 齊次核的Hilbert型不等式,在此不再贅述.

    3 結(jié)語

    通過構(gòu)造一個(gè)與指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)、且包含齊次和非齊次兩種情形的核函數(shù),建立了一個(gè)新的Hilbert 型不等式.核函數(shù)中引入β1和β2這兩個(gè)實(shí)數(shù)域中的參數(shù),對(duì)之前文獻(xiàn)中參數(shù)的范圍有所改進(jìn),處理方式也異于以往;在最佳常數(shù)的處理上,借助積分第一中值定理等分析的方法,解決最佳常數(shù)的計(jì)算問題.

    猜你喜歡
    指數(shù)函數(shù)常數(shù)定理
    J. Liouville定理
    冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)(2)
    冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)(1)
    關(guān)于Landau常數(shù)和Euler-Mascheroni常數(shù)的漸近展開式以及Stirling級(jí)數(shù)的系數(shù)
    冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)(1)
    冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)(2)
    A Study on English listening status of students in vocational school
    “三共定理”及其應(yīng)用(上)
    幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和
    萬有引力常數(shù)的測量
    武强县| 瓮安县| 台中县| 贡觉县| 武川县| 彝良县| 德安县| 襄樊市| 河津市| 开江县| 永嘉县| 临武县| 铜川市| 琼结县| 阜宁县| 宝鸡市| 周口市| 济南市| 平凉市| 保德县| 汕头市| 安仁县| 望都县| 新民市| 芜湖市| 永新县| 云阳县| 甘谷县| 玛纳斯县| 平定县| 盐山县| 克什克腾旗| 湖州市| 阜新市| 肇州县| 静乐县| 莱阳市| 凌海市| 宜兰市| 乐业县| 平山县|