多參數(shù)復(fù)合核的Hilbert 型不等式及應(yīng)用

有名輝，董 飛，何振華

若f(x),g(y) ≥0，且滿足f,g∈L2(R+)，則Hilbert 不等式通常可表述為［1］：

其中：π 是滿足式（1）的最佳常數(shù)因子.此外，文獻(xiàn)［1］中還給出了與式（1）類似的含有對(duì)數(shù)函數(shù)核的不等式

其中：π2是滿足式（2）的最佳常數(shù)因子. 式（2）通常被稱為Hilbert 型不等式，通過對(duì)核函數(shù)進(jìn)行推廣、類比等不斷的演化，數(shù)學(xué)工作者們已經(jīng)建立了形形色色的Hilbert 型不等式［2-10］.這些新不等式的建立借助了許多經(jīng)典分析的技巧，同時(shí)又在很大程度上促進(jìn)了現(xiàn)代分析的發(fā)展.與式（2）類似的，還有楊必成［11］建立基本的Hilbert 型不等式

其中：G= 0.9159…為Catalan 常數(shù).其它一些與對(duì)數(shù)函數(shù)關(guān)聯(lián)的Hilbert 型不等式可參見文獻(xiàn)［12］～［14］.另外，通過構(gòu)造對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)復(fù)合而成的核函數(shù)，劉瓊［15］構(gòu)建了Hilbert 型不等式

其中：μ(x)=x-3，ν(y)=y-3.受文獻(xiàn)［15］的啟發(fā)，本文將構(gòu)建以下Hilbert 型不等式

其中：μ(x)=x-1，ν(y)=y-1及

其中：μ(x)=xp-1，ν(y)=yq-1.更一般地，下文將構(gòu)造一個(gè)含有對(duì)數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的多參數(shù)核函數(shù)，并同時(shí)考慮齊次和非齊次兩種形態(tài)，利用統(tǒng)一的處理方法，建立式（5）及式（6）的統(tǒng)一推廣.先給出以下引理.

1 預(yù)備知識(shí)

引理1 設(shè)b＞a＞0，γ＞0，定義K(t):=則

證明 把ln(1 +e-at)展開為麥克勞林級(jí)數(shù)，并逐項(xiàng)積分，可得

作代換u=akt，則

把式（9）代入到式（8），可得

類似地，可算得

結(jié)合式（10）與式（11），可得式（7）.

引理2 設(shè)b＞a＞0，K(t)如引理1 定義，則

證明 任取δ1，δ2＞0，經(jīng)過簡單的代換，可得

分別對(duì)式（13）中的積分使用積分第一中值定理，則有

其中：a＜ξ1，ξ2＜b，令δ1→0，δ2→+∞，則可得式（12）.

注：根據(jù)引理1 和引理2，可記

引 理3 設(shè)b＞a＞0，γ≥0，β1β2≠0，由式（14）定義.定義核函數(shù)

n∈N+，且fn(x)及gn(y)定義如下：

不管β2＞0 還是β2＜0，由勒貝格控制收斂定理，可算得

把式（17）代入到式（16），令n→∞，并利用式（14），則可得式（15）.

2 主要結(jié)果

定 理1 設(shè)b＞a＞0，γ≥0，β1β2≠0，和k(x,y) 分別由式（14）和 引 理3定義且 滿 足f∈Lp,μ(R+)，g∈Lq,ν(R+)，則

證明 由H?lder 不等式［16］，得

類似地，

將式（20）和式（21）代入式（19），則有

根據(jù)Hilbert 不等式相關(guān)文獻(xiàn)［2-3］通用的處理方法，可得式（22）不可取等號(hào)，故式（18）成立.

使得式（22）的常數(shù)因子變?yōu)锳后，式（22）依然成立.即

用引理3 中的fn(x) 和gn(y) 分別替代式（23）中的f(x)和g(y)，并借助式（15），可知

令n→∞，則這顯然與假設(shè)矛盾.故式（22）的常數(shù)因子最佳．定理1 證畢.

在定理1 中，令β1=β2= 1，γ= 1，因

故定理1 轉(zhuǎn)化為：

其中：μ(x)=x-1，ν(y)=y-1.令a= 1，b= 3，則有式（5）成立.

在定理1 中，令β1=β2= 1，γ= 3，因

故定理1 轉(zhuǎn)化為：

在定理1 中，令β1=β2= 1，γ= 0，a=1，b= 2，則有式（6）成立.另外，在定理1 中，令β1= 1，β2= -1，還可得0 齊次核的Hilbert型不等式，在此不再贅述.

3 結(jié)語

通過構(gòu)造一個(gè)與指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)、且包含齊次和非齊次兩種情形的核函數(shù)，建立了一個(gè)新的Hilbert 型不等式.核函數(shù)中引入β1和β2這兩個(gè)實(shí)數(shù)域中的參數(shù)，對(duì)之前文獻(xiàn)中參數(shù)的范圍有所改進(jìn)，處理方式也異于以往；在最佳常數(shù)的處理上，借助積分第一中值定理等分析的方法，解決最佳常數(shù)的計(jì)算問題.