反映原理作為大基數(shù)內(nèi)在辯護(hù)的不可行性

寇亮

1 引言

大基數(shù)1一個(gè)序數(shù)κ 是基數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)|κ|= κ。并非所有的序數(shù)都是基數(shù)，例如ω+1 不是基數(shù)，因?yàn)閨ω+1|= ω。是集合論中的一個(gè)主要研究領(lǐng)域。所謂大基數(shù)公理2以可測(cè)基數(shù)為例，一個(gè)基數(shù)κ 是可測(cè)基數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)存在κ 完全的非主超濾。加入可測(cè)基數(shù)的大基數(shù)公理即：存在可測(cè)基數(shù)。有時(shí)，大基數(shù)公理并不是斷言某個(gè)很大的基數(shù)存在，而指它的一致性強(qiáng)度很強(qiáng)，例如“0?存在”是一個(gè)大基數(shù)公理，但它斷言的是某種非平凡初等嵌入的存在。我們說(shuō)大基數(shù)公理A 比B 強(qiáng)，若在ZFC+A 中能證明ZFC+B 一致。所有大基數(shù)公理+ZFC 都能證明ZFC 一致。本文既強(qiáng)調(diào)大基數(shù)的客觀存在性方面，也強(qiáng)調(diào)它作為備選公理的一致性一面，因此有時(shí)使用大基數(shù)一詞，有時(shí)使用大基數(shù)公理一詞。，是一些無(wú)法在ZFC 中證明的、但和序數(shù)的本質(zhì)緊密相關(guān)的命題。

自然的問(wèn)題是：既然ZFC 無(wú)法證明大基數(shù)的存在，那么為什么對(duì)它的研究會(huì)成為集合論的一個(gè)重要分支？為什么有集合論學(xué)家相信它的一致性，甚至相信它存在？3有些大基數(shù)公理斷言某個(gè)集合存在，而有些大基數(shù)公理僅僅是一個(gè)強(qiáng)度較強(qiáng)的斷言。一致性與存在性也并不總是相同，例如，我們可以相信PA 是一致的，但并不接受自然數(shù)作為客觀對(duì)象存在。

以上問(wèn)題涉及如何對(duì)集合論公理進(jìn)行辯護(hù)（justification）。哥德?tīng)栐谄洹妒裁词强低袪柕倪B續(xù)統(tǒng)問(wèn)題》（見(jiàn)[5]）一文中最早引入了兩種對(duì)集合論公理辯護(hù)的方式：內(nèi)在辯護(hù)和外在辯護(hù)。盡管在討論集合論公理的文獻(xiàn)（可見(jiàn)[4,8,12,13]）中多有對(duì)內(nèi)在辯護(hù)和外在辯護(hù)二詞的提及，但仍有諸多不清晰之處有待研究。例如：什么是內(nèi)在辯護(hù)？目前有什么樣的內(nèi)在辯護(hù)？?jī)?nèi)在辯護(hù)能為新公理做何種程度的辯護(hù)？

本文之中，筆者將新公理局限在大基數(shù)公理。針對(duì)上述三個(gè)問(wèn)題，本文將對(duì)內(nèi)在辯護(hù)的含義做出一些界定，并基于此考察典型的大基數(shù)公理內(nèi)在辯護(hù)——反映原理。面對(duì)諸多形式的反映原理，筆者將逐一討論它們?yōu)榇蠡鶖?shù)公理所作內(nèi)在辯護(hù)的成功程度。

2 什么是內(nèi)在辯護(hù)

哥德?tīng)栐谄洹妒裁词强低袪柕倪B續(xù)統(tǒng)問(wèn)題》一文中認(rèn)為，如果公理具有數(shù)學(xué)上的成功性，那么其能夠獲得外在辯護(hù)。其中，“成功性”指：“其成果的豐富性，特別是‘能證實(shí)的’成果（的豐富性），即，不使用新公理能證的那些成果，卻在新公理的幫助下能異常簡(jiǎn)潔且容易發(fā)現(xiàn)，還能把許多不同的證明壓縮成一個(gè)”（[5]，第521 頁(yè)）。

與外在辯護(hù)對(duì)應(yīng)的是同時(shí)引入的內(nèi)在辯護(hù)。哥德?tīng)栒J(rèn)為，有一些公理是內(nèi)在必要的（intrinsically necessary），我們要引入的新公理可以“僅僅展開(kāi)了……集合概念的內(nèi)容”（[5]，第519 頁(yè)）就得到辯護(hù)。更具體一點(diǎn)，哥德?tīng)栔赋觯覀儜?yīng)該尋找那些“斷言‘……的集合’運(yùn)算的更遠(yuǎn)迭代存在的新公理”（[5]，第519 頁(yè)），集合就是“那些從整數(shù)（或其它良定義的對(duì)象）通過(guò)迭代應(yīng)用‘……的集合’運(yùn)算得到的東西”（[5]，第519 頁(yè)）。更具體地，哥德?tīng)栐谖窗l(fā)表的《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的現(xiàn)狀》中指出，“假設(shè)集合的公理系統(tǒng)（ZF）達(dá)到了終點(diǎn)……是錯(cuò)誤的。因?yàn)?，在系統(tǒng)中所有出現(xiàn)的類(lèi)可以被看作一個(gè)新的對(duì)象的域，且被用來(lái)作為一個(gè)新的起點(diǎn)，來(lái)創(chuàng)造出更高的類(lèi)型（type）”（[6]，第47 頁(yè)）。

P.Koellner 在其《集合論基礎(chǔ)——尋找新公理》中總結(jié)道，“簡(jiǎn)單地講，對(duì)新公理的基于集合迭代觀念的內(nèi)在辯護(hù)指表明新公理只是展現(xiàn)了集合這個(gè)觀念的內(nèi)涵。相反，對(duì)集合的外在辯護(hù)則著眼于別的特征，諸如豐富成果或與其它公理的結(jié)構(gòu)性關(guān)系?！保╗10]，第10 頁(yè)）P.Maddy 在其《為公理辯護(hù)》中，將內(nèi)在辯護(hù)總結(jié)為自明的、直觀的，是“集合這個(gè)概念”的一部分，而外在辯護(hù)是有效的（effective），豐富的（fruitful）和富有成果的（productive）（[13]，第47 頁(yè)）。

根據(jù)上文提到的哥德?tīng)柋救说年愂雠cKoellner、Maddy 對(duì)內(nèi)在辯護(hù)的粗略概括，不難發(fā)現(xiàn)，所謂內(nèi)在辯護(hù)，是基于集合這個(gè)概念本質(zhì)的辯護(hù)。

然而，什么是集合這個(gè)概念的本質(zhì)？我們?nèi)绾沃兰线@個(gè)概念的本質(zhì)？

討論集合概念的本質(zhì)有特別的困難，因?yàn)椋簩?shí)在論4這里指數(shù)學(xué)哲學(xué)中的實(shí)在論。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，實(shí)在論是一種認(rèn)為抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象客觀存在的哲學(xué)觀點(diǎn)。者容易接受有確定不變的集合概念5這不意味著實(shí)在論者的集合概念是不變的，而意味著集合概念是客觀的，但我們對(duì)它的認(rèn)識(shí)是變化的。，因而我們可以討論它不變的那個(gè)本質(zhì)；而對(duì)非實(shí)在論者而言，也許根本沒(méi)有所謂集合概念的本質(zhì)，因?yàn)榧细拍畈⒉皇且粋€(gè)固定不變的對(duì)象。但是，我們可以將討論的范圍限制在廣泛接受的范圍內(nèi)，即只討論ZFC 所確定下來(lái)的、我們共同認(rèn)可的集合。在這種前提下，基于對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)踐的尊重，自然的追求集合概念本質(zhì)的方法似乎不外乎兩種：

1.尋找ZFC 之中的一些定理，論證這些定理向我們傳達(dá)了我們共同信任的集合概念應(yīng)該具有的性質(zhì)。

2.從ZFC 本身中尋找我們共同認(rèn)可的集合概念應(yīng)該具有的性質(zhì)。

以上的第二種方法已經(jīng)被王浩（見(jiàn)[19]）、C.Parsons（見(jiàn)[14]）和G.Boolos（見(jiàn)[2]）用于討論集合這個(gè)概念的本質(zhì)，他們從G.Cantor 對(duì)于集合概念的理解出發(fā)，分別尋找了一些我們共同認(rèn)可的對(duì)集合概念本質(zhì)的“直觀”，并對(duì)其進(jìn)行了一定程度的嚴(yán)格刻畫(huà)，來(lái)說(shuō)明ZFC 的公理已經(jīng)滿(mǎn)足哥德?tīng)査^的“……的集合的迭代”。而Koellner 則基于哥德?tīng)栂嚓P(guān)論述的分析刻畫(huà)了集合這個(gè)概念的特點(diǎn)（見(jiàn)[8]）。

其中值得提到的是王浩、Boolos、Koellner 和Sy D.Friedman 與N.Barton 對(duì)集合這個(gè)概念的解讀。王浩和P.Koellner 明確提到了“V的兩個(gè)特點(diǎn)”（[19]，第310 頁(yè)）和“集合這個(gè)概念的最關(guān)鍵特征”（[8]，第29 頁(yè)），他們的總結(jié)均基于對(duì)ZFC 中V的觀察；Boolos 對(duì)集合概念的討論則主要為了表明什么是“……的集合的迭代”（見(jiàn)[2]）；Barton 與Friedman 在2017 年的一篇文章（見(jiàn)[1]）中則考察了極大化原則。

2.1 集合概念的不可窮盡性與不可定義性

王浩在其《大集合》（Large Sets）一文中（[19]，第309-333 頁(yè)）認(rèn)為，對(duì)一個(gè)集合而言，我們只需要保證集合中的元素作為對(duì)象存在，而無(wú)需保證我們對(duì)這些元素有所知。例如，若X是集合，那么P(X)也是集合，盡管我們并不完全清楚每一個(gè)X的子集的性質(zhì)。因此，元素的存在是為了整體（集合）的存在；為了整體存在，這些對(duì)象必須存在。而V則沒(méi)有這個(gè)特點(diǎn)：它之中的元素——集合——的存在，反而使得V不能作為集合存在。因此，V是一種比單個(gè)的集合更為“高層次”的存在。因此，不能把這樣的一個(gè)對(duì)象作為完成了的對(duì)象。這符合Cantor面對(duì)V時(shí)的態(tài)度：“對(duì)于那種在由其元素的‘共同存在’組成的這個(gè)假設(shè)下會(huì)產(chǎn)生矛盾的復(fù)多而言，不可能接受它們是一個(gè)整體，一個(gè)‘已經(jīng)完成之物’。”（[3]，第443 頁(yè)）

由此可見(jiàn)，王浩與Cantor 同時(shí)認(rèn)為，集合概念不應(yīng)該是一個(gè)像具體集合那樣的、已經(jīng)完成的對(duì)象；換言之，作為研究對(duì)象而言，集合這個(gè)概念是不可窮盡的。這與哥德?tīng)枌?duì)集合概念的認(rèn)知是一致的。在哥德?tīng)栁募谌恚╗6]）中的《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的一些基本定理和它們的推論》（Some basics theorems on the foundations of mathematics and their implications）一文中指出（[6]，第305 頁(yè)）：

這些元數(shù)學(xué)結(jié)果都是圍繞著一個(gè)基本事實(shí)展開(kāi)的，甚至可以說(shuō)，它們僅僅是其不同側(cè)面，這個(gè)事實(shí)或可稱(chēng)作數(shù)學(xué)的不可完全性（incompletability）或不可窮盡性（inexhaustibility）。

即，哥德?tīng)枌?duì)于數(shù)學(xué)的理解（亦即是哥德?tīng)枌?duì)于集合論或者說(shuō)集合這個(gè)概念的理解）是不可完全性和不可窮盡性。

其次，王浩還提到，集合這個(gè)概念具有不可定義性（undefinable）。特別地，他指集合概念不能通過(guò)任何結(jié)構(gòu)性的性質(zhì)（structural property）定義（[19]，第318頁(yè)）。假設(shè)A是集合，則其子集也是集合。注意到，這一點(diǎn)與我們是否能用一個(gè)性質(zhì)來(lái)刻畫(huà)這些A中的元素?zé)o關(guān)，即與可定義性無(wú)關(guān)。

性質(zhì)P是結(jié)構(gòu)性質(zhì)，當(dāng)：如果僅集合能有性質(zhì)P，那么所有具有性質(zhì)P的x組成的復(fù)多亦為集合。這個(gè)定義的等價(jià)于：或者不僅集合能有性質(zhì)P，或者所有具有性質(zhì)P的x組成的復(fù)多是集合。因此對(duì)任意結(jié)構(gòu)性質(zhì)P有兩種情況：

1.一些集合和一些非集合對(duì)象都有性質(zhì)P（析取前件成立）；

2.有性質(zhì)P的x組成了一個(gè)集合，因此有性質(zhì)P的必須也是集合，故而性質(zhì)P決定了一個(gè)集合（析取后件成立）。

由于V不是集合，因此不可能有結(jié)構(gòu)性質(zhì)P刻畫(huà)V：因?yàn)榈谝粭l表明P還對(duì)一些集合也成立；第二條表明P只能刻畫(huà)集合。因此王浩聲稱(chēng)，V是不可使用結(jié)構(gòu)性質(zhì)定義的。因此能刻畫(huà)V都不是結(jié)構(gòu)性質(zhì)，而且我們要非常清楚地意識(shí)到這個(gè)性質(zhì)不是結(jié)構(gòu)性質(zhì)。目前已知的刻畫(huà)V的非結(jié)構(gòu)性質(zhì)都幾乎不給我們提供信息：例如“……是集合”這個(gè)性質(zhì)不是結(jié)構(gòu)性質(zhì)，又例如x=x也可以刻畫(huà)V。在這個(gè)意義上，王浩認(rèn)為集合概念是（使用結(jié)構(gòu)性質(zhì)）不可定義的。

2.2 集合概念與序數(shù)的本質(zhì)

Boolos（見(jiàn)[2]）和P.Keollner（見(jiàn)[8]）則分別從另外的角度刻畫(huà)了集合概念的本質(zhì)。

Boolos 對(duì)集合概念的討論則主要為了表明什么是“……的集合的迭代”，并且基于Cantor 和哥德?tīng)柕募细拍钫撟CZFC 的公理都滿(mǎn)足由“……的集合的迭代”推理而來(lái)。他刻畫(huà)了一種階段理論，它的語(yǔ)言包括變?cè)?hào)x,y,z···是所有的集合和r,s,t是所有的階段（[2]，第220-224 頁(yè)）。所謂階段，是如下的直觀：假設(shè)一開(kāi)始沒(méi)有任何對(duì)象，在第零階段則將這個(gè)空無(wú)一物收集起來(lái)，即空集；第一階段則將前面所有階段形成的所有對(duì)象收集起來(lái)，即空集和空集的集合；以此類(lèi)推。語(yǔ)言中還包括兩個(gè)關(guān)系符號(hào)E,F，分別為“在……之前”和“在……形成”。Boolos 引入了幾條公理，包括斷言ω階段存在的公理：存在一個(gè)階段，不是最早的階段，也不緊接任何階段之后。這個(gè)階段理論能推出所有的ZFC 公理，且避免了無(wú)窮下降鏈、避免了斷言V是集合。

這一理論是對(duì)哥德?tīng)栮愂龅摹啊募系牡钡囊环N精確化。正如Koellner 在其《集合論基礎(chǔ)——尋找新公理》中分析的那樣，哥德?tīng)柕倪@種方法事實(shí)上是從空集出發(fā)，順著有窮類(lèi)型向上，事實(shí)上會(huì)得到V0,V1,...,Vn,...，而Vω的構(gòu)造則完全是將已有的有窮類(lèi)型作為起點(diǎn)，創(chuàng)造更高的類(lèi)型Vω，即取前面所有集合的并集。這樣的過(guò)程無(wú)窮無(wú)盡進(jìn)行。這樣的方法，實(shí)際上將集合概念的無(wú)限性轉(zhuǎn)移到了序數(shù)的無(wú)限性上。

Koellner 在其博士論文中明確指出了集合這個(gè)概念的關(guān)鍵特征，即不可定義性。他首先比較了兩種哲學(xué)立場(chǎng)，一種是潛在主義者（potentialist），一種是實(shí)現(xiàn)主義者（actualist）。前者認(rèn)為V不是形成了一個(gè)確定的（determinated）復(fù)多，后者認(rèn)為V是一個(gè)完成了的、確定的復(fù)多（[8]，第48 頁(yè)）。他基于對(duì)集合觀念辯護(hù)的實(shí)用性6事實(shí)上，Koellner 發(fā)現(xiàn)不將V 看作完全實(shí)現(xiàn)的對(duì)象時(shí)，反映原理能對(duì)大基數(shù)做出更強(qiáng)的辯護(hù)。而這種方法論自然主義的做法與前面王浩的分析不謀而合。，首先假定V是一個(gè)并未完成的對(duì)象。因此，與自然數(shù)集相比，V滿(mǎn)足某種閉包規(guī)則。如果無(wú)法“自下而上”來(lái)刻畫(huà)V，那么可能其與自然數(shù)集類(lèi)似，是某種閉包。比如，自然數(shù)集是對(duì)后繼運(yùn)算封閉的最小集合，任意自然數(shù)，其后繼也是自然數(shù)。容易觀察到，任意集合的冪集也是集合。盡管V滿(mǎn)足在冪集運(yùn)算下封閉這一閉包規(guī)則，但我們發(fā)現(xiàn)沒(méi)有任何閉包規(guī)則可以刻畫(huà)V：因?yàn)槟菢訒?huì)生成一個(gè)新的集合。因此，V拒絕被任何確定的閉包規(guī)則所刻畫(huà)。因此，V是不可定義的。

與王浩的不可定義性相比，Koellner 的不可定義性偏重于強(qiáng)調(diào)V不可被“由上而下”，即不可通過(guò)對(duì)序數(shù)進(jìn)行不斷地限制進(jìn)行定義，而王浩的不可定義性則偏重于強(qiáng)調(diào)V不可被描述地定義。

2.3 極大化原則

另一種基于哥德?tīng)枴啊募系牡钡挠^察是極大化原則。例如，Barton與Friedman 在2017 年的一篇文章（見(jiàn)[1]）中指出，基于集合的迭代：

集合論語(yǔ)句的真值由宇宙的“寬度”和“高度”決定7“高度”指什么樣的序數(shù)存在，使得其能成為Vα 的下標(biāo)α，“寬度”指的是Vα 的哪些子集在Vα+1 之中。見(jiàn)[1]。，因此，集合概念的一個(gè)特征是極大性。從不同的哲學(xué)觀點(diǎn)出發(fā)，對(duì)極大性的理解也各不相同。例如，有的人會(huì)認(rèn)為集合宇宙應(yīng)當(dāng)包含非可構(gòu)成的集合以滿(mǎn)足極大性，因此根據(jù)極大性；有些人會(huì)認(rèn)為序數(shù)應(yīng)該在某個(gè)運(yùn)算下封閉以達(dá)到極大性（不難指出不可達(dá)基數(shù)即符合這種極大性）。盡管集合論學(xué)家對(duì)極大化原則有不同側(cè)面的理解，但他們對(duì)這一策略整體上持正面態(tài)度。王浩也曾評(píng)論：“我們相信所有序數(shù)的類(lèi)是非?！L(zhǎng)’的，并且每一個(gè)無(wú)窮集合的子集是非常“厚”的。因此，任意達(dá)到這個(gè)效果的公理都滿(mǎn)足了我們直觀。”（[19]，第315 頁(yè)）

2.4 集合概念的本質(zhì)

基于上述的分析，我們可以將模糊的內(nèi)在辯護(hù)這一概念進(jìn)行具體化。內(nèi)在辯護(hù)是根據(jù)集合概念的本質(zhì)進(jìn)行的辯護(hù)，而集合概念的本質(zhì)包含以下幾個(gè)方面：

1.可以從ZFC 的定理出發(fā)，刻畫(huà)集合概念的特質(zhì)并以此對(duì)公理進(jìn)行辯護(hù)；

2.集合概念是非完成的、不可窮盡的；

3.集合這個(gè)概念要滿(mǎn)足極大化原則；

4.集合概念是不可定義的，包括不可通過(guò)限制進(jìn)行定義和通過(guò)描述進(jìn)行定義；

5.集合這個(gè)概念的本質(zhì)主要體現(xiàn)在序數(shù)的本質(zhì)上。

由此，我們可以依據(jù)上述特性，論證反映原理可以是大基數(shù)公理的一種內(nèi)在辯護(hù)。

3 反映原理及其限度

反映原理是基于ZFC 中的反映定理提出的若干條假想公理。反映定理說(shuō)，對(duì)任意有窮的公式集而言，存在一個(gè)整個(gè)宇宙的“初等子模型”。即，使用有窮多語(yǔ)句描述的集合宇宙的性質(zhì)，都能在集合宇宙的一部分中找到一個(gè)對(duì)應(yīng)，這個(gè)更小的宇宙足以反映集合的宇宙所擁有的那些性質(zhì)。

定理1(反映定理).給定任意公式φ1,...,φn，（[11]，第136 頁(yè)）

反映原理被普遍接受為一種有力的內(nèi)在辯護(hù)方式。因?yàn)?，反映定理暗示我們，也許整個(gè)集合宇宙V的任意性質(zhì)都會(huì)反映到其一個(gè)片段Vα之中。這樣，ON的性質(zhì)也會(huì)反映到Vα中。特別地，ON的無(wú)限性特征也會(huì)被分別反映到不同的Vα之中。正如我們?cè)诟绲聽(tīng)柗椒ㄒ还?jié)中所講，哥德?tīng)柕姆椒▽?shí)際上是將數(shù)學(xué)的無(wú)限性轉(zhuǎn)化到序數(shù)類(lèi)ON的無(wú)限性上，因此，不同的反映原理實(shí)際上表達(dá)了我們對(duì)集合這個(gè)概念能認(rèn)識(shí)到何種不同的程度。而對(duì)不同反映原理的辯護(hù)能到什么程度，我們對(duì)ON無(wú)限性的刻畫(huà)就能到什么程度，對(duì)大基數(shù)的辯護(hù)亦相應(yīng)能到不同程度。

我們期待的反映原理是如下的形式：

即，任意的集合宇宙V中的性質(zhì)φ，都會(huì)在V的一個(gè)片段Vα中成立。

可以將RP1 具體化為RP2 中的多種形式。我們能在ZFC 中證明的反映定理只是RP1 的一階形式，即我們限定φ是一個(gè)一階公式，有：

我們將φ為更高階的公式時(shí)的反映原理分別稱(chēng)為RP2.1，RP2.2，……這樣形式的反映原理能被廣為接受，是因?yàn)榉从扯ɡ硎荶FC 的一個(gè)定理，并且，基于迭代方法，我們知道了集合宇宙的無(wú)限性體現(xiàn)在序數(shù)類(lèi)的無(wú)限性上，集合宇宙的每個(gè)性質(zhì)體現(xiàn)為某個(gè)序數(shù)κ的性質(zhì)，即Vκ的性質(zhì)。

Reinhardt 在他的文章中（見(jiàn)[15-17]），基于一種“合理候選人”理論，提出了加入二階參數(shù)的反映原理：(Vα0,X)?(Vα1,j(X))8我們這里同樣使用?符號(hào)表示二階形式的初等嵌入。將語(yǔ)言擴(kuò)張到含二階對(duì)象，則除一般初等嵌入的定義外，帶二階參數(shù)的初等嵌入還要求保持二階對(duì)象。在下一節(jié)還將會(huì)有說(shuō)明。。這種形式的反映原理是一種不同層間的反射，能證明存在可擴(kuò)張基數(shù)。

P.Welch 則于其2012 年的文章中（見(jiàn)[20]）提出了一種片段與V之間的、全局的（Global）的反映原理。令V下所有類(lèi)為C。Welch 的反映原理斷言，(V,∈,C)會(huì)被反映到(Vκ,∈,Vκ+1)之中。準(zhǔn)確地講：

存在一個(gè)非平凡的初等嵌入j和一個(gè)序數(shù)κ滿(mǎn)足crt(j)=κ，使得：

上面我粗略介紹了反映原理的幾種形式，下面我將詳細(xì)介紹幾種反映原理的強(qiáng)度和面臨的困難。

3.1 RP2 的極限

Koellner 在他的博士論文之中考察了RP2 的二階形式和高階形式能達(dá)到的極限。二階形式的反映原理允許類(lèi)作為參數(shù)和量詞限制的對(duì)象：

定義1.令Lα,β是有≤α階量詞和≤β階參數(shù)的集合論語(yǔ)言。我們用x,y,z...表示一階對(duì)象，用X(α),Y(β),Z(β)表示β階對(duì)象，用ON表示全體序數(shù)的類(lèi)。（[8]，第30 頁(yè)）

首先我們考慮二階對(duì)象的相對(duì)化。類(lèi)似一階對(duì)象的相對(duì)化，我們令二階對(duì)象A(2)對(duì)Vα的相對(duì)化A(2)α=A(2)∩Vα，即Vα看A(2)時(shí)會(huì)省略那些不在其世界中的部分。對(duì)公式相對(duì)化到Vα，則將二階量詞約束的對(duì)象限制在Vα-1，即這些對(duì)象屬于Vα。

二階形式的RP2 能為較小的二階大基數(shù)做辯護(hù)。事實(shí)上這些二階形式的大基數(shù)無(wú)非在重復(fù)我們對(duì)于集合宇宙不可定義的直觀。L2,2中，ON本身是不可達(dá)的，且ON下有任意大的不可達(dá)基數(shù)：因?yàn)?，（在V中）ON是不可達(dá)基數(shù)的一個(gè)極限，根據(jù)二階反映原理存在某一層Vα(2)中ON也是不可達(dá)基數(shù)的一個(gè)極限，且下面除ON外還有真類(lèi)β(2)多個(gè)不可達(dá)基數(shù)。類(lèi)似地，ON也是馬洛的：因?yàn)榱頒是任意ON中的club9本文用club 指代閉無(wú)界集（closed unbounded set）。，可知（在V中）C在不可達(dá)的ON中無(wú)界，因此在某一層Vα(2)中，C ∩α(2)在不可達(dá)的ON ∩α(2)中無(wú)界，且是一個(gè)club。由于C是ON中的club，因此C中小于ON的極限點(diǎn)都在C中，因此不可達(dá)的ON ∩α(2)也在C中，因此C與這些ON下的不可達(dá)基數(shù)全體總是相交，故在ON下的不可達(dá)基數(shù)構(gòu)成了平穩(wěn)集。類(lèi)似地，還可以證明ON是弱緊致的、不可描述的10需要注意的一個(gè)細(xì)節(jié)是，Koellner 的證明中所使用的相關(guān)大基數(shù)的定義與通常定義不盡相同。例如，對(duì)一集公式Γ，他定義κ 是Γ-不可描述的當(dāng)且僅當(dāng)Vκ |=Γ-反映原理，這里的Γ 反映原理以Levy 層譜為標(biāo)準(zhǔn)，例如反映原理。具體可見(jiàn)[8]。?？傻玫饺缦率聦?shí)：

定理2.假設(shè)ZF+L2,2-反映原理，則存在二階的不可達(dá)基數(shù)、馬洛基數(shù)、弱緊基數(shù)、不可描述基數(shù)。（[8]，第45 頁(yè)）

而含高階參數(shù)的高階形式反映原理則不適用于為大基數(shù)做辯護(hù)，因?yàn)樗鼈兲N(yùn)涵矛盾。以三階形式為例，它是不一致的。出現(xiàn)矛盾的地方則是三階對(duì)象的相對(duì)化。我們?nèi)绾蜗鄬?duì)化三階對(duì)象？或者說(shuō)，Vα將如何看這些三階對(duì)象？一個(gè)自然的考慮是三階對(duì)象包含的是二階對(duì)象，因此相對(duì)化三階對(duì)象只需相對(duì)化二階對(duì)象，再取這些二階對(duì)象的類(lèi)。即Y(3)α={X(2)α|X(2)∈Y(3)}。這種相對(duì)化方法和一階、二階對(duì)象的相對(duì)化是一致的。

考慮三階類(lèi)A(3)，它包含所有具有如下性質(zhì)的二階類(lèi)：包含有界序數(shù)的所有前段。如果將所有包含小于α序數(shù)的二階類(lèi)記為[0...α)11它們對(duì)Vα 而言都是二階對(duì)象。，則A(3)={[0...α]|α ∈ON}。

此時(shí)會(huì)出現(xiàn)違背三階反映原理的結(jié)果：令Φ(X)為X的每一元素都有界。則顯然，Φ(A(3))每個(gè)元素有界，它們的高度都在ON之下，即Φ(A(3))成立。那么根據(jù)三階反映原理，存在某個(gè)β使得Φ(A(3))的任意元素在Vβ中有界。但，我們將A(3)相對(duì)化到Vβ，現(xiàn)在考慮那些在β之上的A(3)中的元素（因?yàn)閂β中的元素秩都小于β），把它們?nèi)壳械?。我們?huì)發(fā)現(xiàn)上部被切掉的部分在β中無(wú)界。因此Φ(A(3)β)在Vβ中不成立，矛盾。因此：

定理3.三階反映原理不一致。（[8]，第50 頁(yè)）

因此，RP2 無(wú)法很好地為大基數(shù)做辯護(hù)。

3.2 Reinhardt 的反映原理及其問(wèn)題

W.Reinhardt 所使用的集合論以及他對(duì)集合概念的理解均來(lái)源于Ackermann（見(jiàn)[15]）。Ackermann 聲稱(chēng)，對(duì)集合的良好定義不能包含“……的集合在V中”這樣的陳述，即集合x(chóng)的定義不能使用形如y ∈V的表述。同時(shí)，他允許使用V并將其看作已經(jīng)完成的對(duì)象，因此我們還可以談?wù)摶蛘呦胂髙V}這樣的對(duì)象。這種觀念來(lái)源于Cantor，他使用VΩ這樣的記號(hào)，并聲稱(chēng)我們可以想象VΩ之外的“似集合的對(duì)象”。

假設(shè)我們有V的多個(gè)候選解釋Vα0,Vα1,Vα2....，則根據(jù)Reinhardt 的結(jié)論，以前兩個(gè)解釋為例，對(duì)任意語(yǔ)句σ，都有：Vα0|=σ當(dāng)且僅當(dāng)Vα1|=σ。這意味著它們初等等價(jià)。對(duì)有參數(shù)的公式φ(x)，則有：

注意，這意味著Vα0?Vα1，并且這個(gè)初等嵌入j0是在α0之下是平凡的。這就是Reinhardt 的一階形式反映原理，它是一種固定片段之間的相互反映。

此時(shí)，我們?cè)賹⒄Z(yǔ)言中加入二階參數(shù)。先看一種情況：假設(shè)X ?Vα0是對(duì)Vα0而言的二階對(duì)象，則Reinhardt 要求，(Vα0,X)也應(yīng)該反射到某一層，因此初等嵌入j也會(huì)重新解釋X，使得j(X)是Vα1之中的類(lèi)，并且(Vα0,X)?(Vα1,j(X))。此時(shí)，則存在初等嵌入j使得：

注意到，在α0之下的那些序數(shù)β，顯然由于見(jiàn)證Vα0?Vα1的j0在α0下是平凡的，因此j(β)=β。反之，由于j(X)顯然是不同于X的一個(gè)解釋?zhuān)赜衘(α0)≠α0，故而crt(j)=α0。這意味著α0是1-可擴(kuò)張基數(shù)。

更一般地，由于Reinhardt 允許VON,ON作為對(duì)象出現(xiàn)，那么對(duì)于VON的二階對(duì)象ON而言，(VON,ON)也會(huì)相應(yīng)地有一個(gè)(Vj(ON),j(ON))使得crt(j)=ON。這意味著VON+1?Vj(ON)+1。對(duì)任意大于ON的λ亦如此。這意味著ON是可擴(kuò)張的，因此根據(jù)反映原理，存在可擴(kuò)張基數(shù)。繼而存在超緊基數(shù)。

但是Maddy 和Koellner 同時(shí)指出了Reinhardt 反映原理的不可靠之處。

第一個(gè)問(wèn)題是，一系列的解釋Vα是沒(méi)有盡頭的：

圖1 :帶二階參數(shù)的Reinhardt 反映原理

Reinhardt 的一個(gè)重要前提是，這些V的解釋之間初等嵌入總是存在，這才使得我們能夠得到后面的非平凡初等嵌入。但Kunen 告訴我們12可見(jiàn)集合論教材[7]，第323 頁(yè)。，V到V之間不存在非平凡的初等嵌入，并且L到L之間存在非平凡初等嵌入需要0?這樣的大基數(shù)來(lái)保證。因此，很難保證假設(shè)總是存在非平凡的初等嵌入不會(huì)導(dǎo)致矛盾。

并且，由于這些Vα全部都是V的前段，Reinhardt 很難解釋為什么不選用最高的某一層作為V的最有力的解釋?zhuān)獙⑺械腣α視為平行的對(duì)V的解釋。例如，比較Vω和Vn，顯然Vω有更強(qiáng)的閉包性質(zhì)，因?yàn)樗鼘?duì)自然數(shù)的后繼運(yùn)算封閉。

即便忽略上述問(wèn)題，仍然有其它問(wèn)題。其一則是Maddy 和Koellner 都提及的追蹤問(wèn)題（Tracking Problem）（見(jiàn)[9,12]）。以上文的Vα0和Vα1為例，我們不知道這個(gè)j是什么樣的初等嵌入，當(dāng)問(wèn)j(X)是一個(gè)什么樣對(duì)象的時(shí)候，則難以追蹤X在Vα1中的性質(zhì)，只能非常模糊地講是某個(gè)對(duì)象j(X)。對(duì)可定義的子集X ?Vα0這一點(diǎn)容易辦到，可以通過(guò)定義X的參數(shù)和公式追蹤j(X)，但對(duì)于j(X)而言，很難知曉這是個(gè)什么樣的對(duì)象，因?yàn)檫@個(gè)初等嵌入j對(duì)我們而言是模糊的。而這個(gè)Vα的序列無(wú)窮進(jìn)行，將有數(shù)量龐大的模糊的對(duì)象出現(xiàn)。這是不可接受的。

再次，即便允許V、ON這樣的對(duì)象是完成的對(duì)象，可以使用，但讓人難以理解的是“ON+1”、“VON之外”這樣的概念。畢竟，除了它們沒(méi)有良好的定義之外，我們還很難想象V之外的所謂“類(lèi)似集合的對(duì)象”是什么樣。

最后，Reinhardt 的反映原理是固定層數(shù)的反映原理，甚至某種意義上講，他的反映原理就是可擴(kuò)張基數(shù)本身的定義。如果他的反映原理可以被當(dāng)作反映原理合理地使用，那為什么我們不可以直接使用可測(cè)基數(shù)、超緊基數(shù)的定義作為反映原理？因此這種“反映原理”對(duì)大基數(shù)的辯護(hù)顯然是不成立的。

3.3 Welch 的GRP 及其問(wèn)題

盡管RP2 和它的修改版本、Reinhardt 帶有哲學(xué)背景的反映原理都不能很好地為大基數(shù)的存在性或者一致性做出辯護(hù)，但是，仍然有集合論學(xué)家和哲學(xué)家嘗試找出超出V=L的反映原理。RP2 看起來(lái)太弱：它試圖超出0?，卻無(wú)法達(dá)到ω-Erd?s 之上；而Reinhardt 的反映原理看起來(lái)太強(qiáng)：它能證明存在可擴(kuò)張基數(shù)，但卻同時(shí)也無(wú)法完全避免出現(xiàn)V到V的非平凡初等嵌入。那么，是否可以尋找一種反映原理，證明存在Woodin 基數(shù)的真類(lèi)？

前文中的反映原理嘗試了在語(yǔ)言中加入高階參數(shù)、允許高階量詞，也嘗試了在不同層數(shù)之間使用高階參數(shù)進(jìn)行反射。而Welch 則引入了某些特定高階對(duì)象的類(lèi)進(jìn)行反射（見(jiàn)[20]）。V的“部分”既包括了一些集合，也包括了一些類(lèi)，例如序數(shù)類(lèi)ON。我們令所有V的“部分”為C。則GRP 斷言，任意(V,∈,C)的性質(zhì)都會(huì)在某個(gè)(Vκ,∈,D)中已經(jīng)成立。其中，D是Vκ的某些“部分”，即其中有一階對(duì)象：Vκ中的集合，也有二階對(duì)象：秩為κ的集合。因此，D ?Vκ+1。

定義2.定義GRP 如下：存在非平凡初等嵌入j滿(mǎn)足crt(j)=κ，使得：（[21]，第9 頁(yè)）

可知此反映原理的強(qiáng)度與D的寬度相關(guān)。若D極端“窄”，則j表達(dá)的東西極少。例如D=?時(shí)，則是前面討論過(guò)的RP2。如果D取到合適的寬度，則可以獲得足夠強(qiáng)的大基數(shù)。首先，它可以達(dá)到我們的最低目標(biāo)。

定理4.假設(shè)P(κ)L ?D ?Vκ+1。若存在j使得crt(j)=κ滿(mǎn)足j:(Vκ,∈,D)→(V,∈,C)，那么0?存在。

證明.由于P(κ)L ?D ?Vκ+1，可知κL ∈D，且可知j(κ)=ON ∈V。我們定義κ上的L-濾（即U ?P(κ)∩L）如下：

容易驗(yàn)證這是一個(gè)κ完全的非主超濾。令Ult(L,U)為L(zhǎng)在U下生成的超冪模型。令j0見(jiàn)證L是Ult(L,U)初等子模型的初等嵌入。由莫斯托夫斯基坍塌和哥德?tīng)柲垡恚芍嬖讦幸?jiàn)證Ult(L,U)與L同構(gòu)，因此j′=j0?π是L到L的非平凡初等嵌入。因此0?存在。

我們引入Shelah 基數(shù)和Woodin 基數(shù)的幾種等價(jià)刻畫(huà)。

定義3.κ是Shelah 基數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意f:κ →κ，存在傳遞的M使得j:V →M滿(mǎn)足

1.crt(j)=κ；

2.Vj(f)(κ)?M。（[18]，第3390 頁(yè)）

Woodin 基數(shù)有如下的等價(jià)定義（[7]，第384 頁(yè)）：

1.κ是Woodin 基數(shù)；

2.對(duì)任意f:κ →κ，存在α ＜κ使得存在傳遞的M，j:V →M滿(mǎn)足：

(a)crt(j)=α；

(b)f[α]?α；

(c)Vj(f)(α)?M。

3.對(duì)任意f:κ →κ，存在α ＜κ使得：

(a)f[α]?α；

(b)存在擴(kuò)張（extender）E ∈Vκ且jE(f)(α)=f(α)，Vf(α)?UltE。

可證明，任意的Shelah 基數(shù)都是Woodin 基數(shù)。現(xiàn)在，考慮D=Vκ+1這種極端情況。可以利用D=Vκ+1時(shí)的GRP 證明存在Shelah 基數(shù)。

定理5.假設(shè)GRP且D=Vκ+1，那么κ是Shelah基數(shù)。（[21]，第10 頁(yè)）

因此可以有如下證明存在Woodin 基數(shù)的真類(lèi)：

因此，我們有：

定理6.GRP可以證明V中存在Woodin基數(shù)的真類(lèi)。（[21]，第10 頁(yè)）

GRP 看似是一種強(qiáng)大的反映原理，或者說(shuō)，它似乎是前面各類(lèi)反映原理的一個(gè)推廣。Welch 同樣引入了二階參數(shù)來(lái)為大基數(shù)做辯護(hù)，但他的二階參數(shù)并不是允許在語(yǔ)言中使用高階量詞和高階對(duì)象，他似乎明確地指出了C是哪些二階對(duì)象，即V的所有“子集”。那么，GRP 是本文語(yǔ)境討論下的可用于內(nèi)在辯護(hù)的反映原理嗎？

首先需要考察GRP 是否是本文語(yǔ)境中討論的反映原理。我們先看哥德?tīng)栃闹械姆从吃硎鞘裁礃拥模?/p>

“所有確立集合論公理的原則都應(yīng)該能歸約到阿克曼的原則：絕對(duì)（無(wú)窮）是不可知（unknowable）的。這一原則的強(qiáng)度隨著我們獲得越來(lái)越強(qiáng)的集合論系統(tǒng)而增強(qiáng)。其他的原則都是（這一原則）派生的原則。因此，核心的原則是反映原則，它可能將隨者我們經(jīng)驗(yàn)的增加被更好地理解。同時(shí)，它還幫助我們分離出更多的具體原則，這些原則或者給我們更多信息，或者我們尚未從現(xiàn)在理解的反映原理中推理出來(lái)?！保╗22]，第七章）

GRP 類(lèi)似Reinhardt 所介紹的Ackermann 反映原理（見(jiàn)[15]）。這是一種“語(yǔ)法”的反映原理，即它是與具體的每條公式F(y,x1,...,xn)和具體的集合y,x1,...,xn相關(guān)。相反，GRP 的形式不是如此，甚至存在(Vκ,∈,Vκ+1)是(V,∈,C)的子結(jié)構(gòu)，這件事是無(wú)法在一般的一階邏輯中表達(dá)的，因此在一般的意義下，它當(dāng)然不是可以通過(guò)(V,∈,C)定義的。如果說(shuō)一般的反映原理是試圖刻畫(huà)“我們的語(yǔ)言無(wú)法固定集合宇宙”，那么GRP 相比之下則是斷言存在一個(gè)D和j，以至于有一個(gè)刻畫(huà)(V,∈,C)的子結(jié)構(gòu)。從這個(gè)意義上來(lái)看，顯然GRP 不是我們所認(rèn)可的具有內(nèi)在辯護(hù)合法性的反映原理。

其次，GRP 顯然總是依賴(lài)一個(gè)不可定義的j和D來(lái)進(jìn)行論證。它不僅不是一階的，更是不可定義的對(duì)象?？紤]如下命題，假設(shè)V=HOD，令X={A:A在V中不使用參數(shù)可定義}。那么我們有X是HOD 的初等子模型：假設(shè)對(duì)任意φ(x,和任意∈X，若HOD|=?xφ(x,，則存在一個(gè)集合a使得HOD|=φ(a,。由選擇公理，令a0是最小的見(jiàn)證這一點(diǎn)的a，可知a0可定義且HOD|=φ(a0,。由于X是HOD 的初等子模型，在V=HOD 下，V中的元素都應(yīng)該是可定義的。V=HOD 是一個(gè)有諸多證據(jù)的命題。由此，使用不可定義的對(duì)象對(duì)V中大基數(shù)進(jìn)行辯護(hù)的論證都不可靠。

最后，盡管GRP 體現(xiàn)了“集合概念的不可窮盡”特性，但蘊(yùn)含集合概念不可窮盡特性的命題很多，這些命題并不都能看成是對(duì)大基數(shù)的內(nèi)在辯護(hù)。例如，對(duì)可測(cè)基數(shù)，我們令“原則U”定義如下：存在可測(cè)基數(shù)的平穩(wěn)類(lèi)13S 是一個(gè)平穩(wěn)集當(dāng)且僅當(dāng)其與任意閉無(wú)界集相交非空。。則可知14原則U 和下列結(jié)果來(lái)自筆者與H.Woodin 教授的討論。：

定理7(ZFC).下列等價(jià)：

1.原則U；

2.任意可定義的序數(shù)閉無(wú)界類(lèi)C，存在κ ∈C是可測(cè)基數(shù)；

3.對(duì)任意n，存在無(wú)界多κ使得Vκ ?Σn V且κ是可測(cè)基數(shù)。

證明.我們證明2 與3 等價(jià)。

2 推3：對(duì)任意序數(shù)閉無(wú)界類(lèi)，都可以取κ為可測(cè)基數(shù)，此時(shí)存在傳遞模型M使得M ?V且crt(j)=κ。易知，因此對(duì)任意Σn語(yǔ)句，有Vκ ?Σn M ?V。

3 推2：由于“存在閉無(wú)界類(lèi)C”是Σn+1的，因此若κ滿(mǎn)足Vκ ?Σn V，則Vκ也滿(mǎn)足“存在閉無(wú)界類(lèi)C”，因此在κ下有無(wú)界多C中的點(diǎn)。而由于C是一個(gè)閉無(wú)界類(lèi)，故κ ∈C。

因此，若令定理7的第三條為RP*，那么對(duì)原則U 的斷言實(shí)際上等價(jià)于某種形式的反映原理RP*。并且，我們有一些ZFC 的定理支持我們接受RP*：

定理8.1.若κ是不可達(dá)的，那么Vκ ?Σ1V。

2.若κ是超緊基數(shù)，那么Vκ ?Σ2V。

3.若κ是可擴(kuò)張基數(shù)，那么Vκ ?Σ3V。（[7]，第384-385 頁(yè)）

因此，按照Welch 的做法，我們完全可以認(rèn)為RP*是一種反映原理。若假設(shè)RP*成立，則從ZFC+RP* 可得原則U，即可獲得可測(cè)基數(shù)的平穩(wěn)類(lèi)。并且，這種反映原理強(qiáng)度強(qiáng)于可測(cè)基數(shù)，其強(qiáng)度在o(κ)=1 和o(κ)=2 之間15o(κ)指κ 的Mitchell 秩。。對(duì)許多大基數(shù)公理，我們都能構(gòu)造類(lèi)似原則U 的命題。這些命題從表面上看刻畫(huà)了V的不可定義性，并且可以從一些定理得到形式上的支持；可以證明，這些命題能夠使我們獲得比可測(cè)基數(shù)更強(qiáng)的大基數(shù)。但是，這種反映原理并不給我們某些特定大基數(shù)存在的證據(jù)。因?yàn)檫@些反映原理事實(shí)上等價(jià)于斷言存在某些大基數(shù)的平穩(wěn)類(lèi)。換言之，對(duì)于斷言這些大基數(shù)存在，我們需要一個(gè)解釋?zhuān)╡xplanation），尤其是需要集合論內(nèi)部的一個(gè)解釋。如果這個(gè)解釋實(shí)際上等價(jià)于斷言大基數(shù)的存在，那么顯然它不是對(duì)大基數(shù)存在的合法解釋。

在以上兩種意義上，筆者認(rèn)為GRP 不能作為大基數(shù)的合理內(nèi)在辯護(hù)。

4 總結(jié)

基于哥德?tīng)査岢鰞?nèi)在辯護(hù)的涵義，不難發(fā)現(xiàn)內(nèi)在辯護(hù)就是基于集合概念本質(zhì)的辯護(hù)。然而什么是集合概念的本質(zhì)？在考察了王浩等人的工作后，筆者簡(jiǎn)單總結(jié)了集合概念的幾個(gè)特點(diǎn)，即不可完全性、不可定義性、需要滿(mǎn)足極大化原則和與序數(shù)概念緊密相關(guān)。如果我們這樣界定集合概念的本質(zhì)，那么反映原理的確是一種內(nèi)在辯護(hù)。利用反映原理的幾個(gè)變種：RP2、Reinhardt 的反映原理和Welch的GRP，我們的確可以獲得不同強(qiáng)度的大基數(shù)，甚至可以獲得Woodin 基數(shù)的真類(lèi)。但是正如前文所述，筆者認(rèn)為這些反映原理或者強(qiáng)度不夠，或者存在哲學(xué)上的困難。因此目前我們無(wú)法使用反映原理對(duì)大基數(shù)進(jìn)行內(nèi)在辯護(hù)。

那么，這是否意味著對(duì)大基數(shù)的內(nèi)在辯護(hù)是失敗的？筆者認(rèn)為，反映原理對(duì)大基數(shù)公理辯護(hù)的失敗，很可能源自于我們對(duì)于“集合概念的本質(zhì)”的界定是過(guò)于簡(jiǎn)單的16例如，從我們對(duì)“集合概念的本質(zhì)”的界定來(lái)看，甚至很難說(shuō)明為什么反映原理的確比大基數(shù)公理本身更加“內(nèi)在”。。不僅如此，筆者認(rèn)為，盡管目前我們對(duì)集合概念在數(shù)學(xué)上有了一些理解，但對(duì)這些數(shù)學(xué)結(jié)果的利用是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的17我們?cè)谇拔膶?duì)“集合概念的本質(zhì)”的界定幾乎沒(méi)有使用到任何當(dāng)代集合論發(fā)展的成果，例如力迫。，這是我們對(duì)“集合概念的本質(zhì)”缺乏認(rèn)知的重要原因。因此，本文的結(jié)果并不意味著對(duì)大基數(shù)的內(nèi)在辯護(hù)是不可能的，而僅僅意味著反映原理無(wú)法很好地為大基數(shù)公理進(jìn)行內(nèi)在辯護(hù)。同時(shí)，這也意味著對(duì)集合概念的本質(zhì)的探索將是一個(gè)有廣闊前景的問(wèn)題。