2020年全國新課標(biāo)Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題評(píng)析及2021年新高考備考建議

文∣羅文軍 劉娟娟

一、試題結(jié)構(gòu)及考點(diǎn)的變化

2020年全國新課標(biāo)Ⅰ卷數(shù)學(xué)試卷不分文理科，在整體結(jié)構(gòu)上，有8道單項(xiàng)選擇題、4道多項(xiàng)選擇題、4道填空題及6道必考解答題。在分值分布上，單項(xiàng)選擇題40分，多項(xiàng)選擇題20分，填空題20分，解答題70分。與歷年高考全國Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷相比較，全國新課標(biāo)Ⅰ卷數(shù)學(xué)試卷的選擇題新增了“多項(xiàng)選擇題”這類題型，多項(xiàng)選擇題考查知識(shí)容量大，運(yùn)算量大，可以更深入地考查考生的綜合思維能力，具有很好的梯度，考生部分選對(duì)就可以得3分，一定程度上有利于縮小學(xué)生選擇題部分成績(jī)的差距；6道解答題都是必做題，無選做題，并且第17題是一道開放性試題，設(shè)問方式有了創(chuàng)新，需要考生補(bǔ)充已知條件(三選一)并解答，條件不同，結(jié)論不同，但考查的知識(shí)點(diǎn)相同，這樣的開放性試題可以很好地考查考生的探究意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。

2020年全國新課標(biāo)Ⅰ卷未考查程序框圖、三視圖、線性規(guī)劃、坐標(biāo)系與參數(shù)方程和不等式選講等知識(shí)，因?yàn)?017年版全國新課標(biāo)中已經(jīng)刪除了這些內(nèi)容。

二、 主干知識(shí)考查分值分布的變化

表1 2020年全國新課標(biāo)Ⅰ卷數(shù)學(xué)卷主干知識(shí)考查的分值分布表

全國新課標(biāo)Ⅰ卷數(shù)學(xué)卷中，主干知識(shí)數(shù)列和概率與統(tǒng)計(jì)所占的分值權(quán)重增加。以往的全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)卷中，解三角形題和數(shù)列題交替出現(xiàn)在解答題中，一個(gè)出現(xiàn)在解答題中，另一個(gè)就出現(xiàn)在小題中。本卷解答題中解三角形和數(shù)列都存在。歷年全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)卷中，概率與統(tǒng)計(jì)的考查各有一道小題和大題；本卷中，概率與統(tǒng)計(jì)有3道小題和1道大題。

三、考查內(nèi)容

表2 2020年全國新課標(biāo)Ⅰ卷數(shù)學(xué)思想考查與題號(hào)對(duì)應(yīng)表

表3 2020年全國新課標(biāo)Ⅰ卷數(shù)學(xué)學(xué)科五大能力考查與題號(hào)對(duì)應(yīng)表

表4 2020年全國新課標(biāo)Ⅰ卷數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查與題號(hào)對(duì)應(yīng)表

從表2—表4可以看出，全國新課標(biāo)Ⅰ卷數(shù)學(xué)卷更加注重多種思想方法、學(xué)科能力和學(xué)科核心素養(yǎng)在同一道題中的綜合考查。第7題考查平面向量數(shù)量積的幾何意義，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想，旨在考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科核心素養(yǎng)。第8題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想，旨在考查數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。第9題考查曲線與方程的有關(guān)知識(shí)，考查了方程思想，考查了推理論證能力和運(yùn)算求解能力，旨在考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。第16題考查了直四棱柱的結(jié)構(gòu)特征和球體的性質(zhì)，考查了空間想象能力和運(yùn)算求解能力，旨在考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。第18題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和分組求和法，考查了方程思想，旨在考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。第19題以當(dāng)前社會(huì)關(guān)心的為治理空氣污染環(huán)境監(jiān)測(cè)部門對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研為背景，考查了概率以及獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查了考生的閱讀理解能力、提取信息和分析信息的能力，旨在考查數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。第21題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了函數(shù)與方程思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想，旨在考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的核心素養(yǎng)。第22題考查了橢圓的方程、直線與橢圓的位置關(guān)系以及圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)問題，考查了方程思想，旨在考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的核心素養(yǎng)。

第4題給出了中國古代測(cè)時(shí)儀器“日晷”的圖片，圖片看上去很美觀，將美育滲透進(jìn)試題，第5題滲透了體育，第6題和第15題滲透了勞育。

四、部分試題評(píng)析

題1(全國新課標(biāo)Ⅰ卷數(shù)學(xué)卷，題4)日晷是中國古代用來測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測(cè)定時(shí)間。把地球看成一個(gè)球(球心記為O)，地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過點(diǎn)A且與OA垂直的平面。在點(diǎn)A處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40°，則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為( )。

A. 20° B. 40° C. 50° D. 90°

【評(píng)析】日晷也叫日晷儀，是我國古代普遍使用的觀察日影計(jì)時(shí)的儀器，它是根據(jù)日影的位置指定當(dāng)時(shí)的時(shí)辰或時(shí)刻。本題將蘊(yùn)含豐富科學(xué)含量的中國古代傳統(tǒng)文化元素“日晷”融入高考真題，使題目具有了強(qiáng)烈的人文氣息，以優(yōu)秀傳統(tǒng)文化情境為載體，考查了球體的有關(guān)計(jì)算、平面與平面平行的性質(zhì)、直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了閱讀理解能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新能力等關(guān)鍵能力，弘揚(yáng)了中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，使考生感受到中國古代傳統(tǒng)文化，也認(rèn)識(shí)到古代中國人民的聰明才智，增強(qiáng)考生的民族自豪感，考查了數(shù)學(xué)文化的高考學(xué)科素養(yǎng)，體現(xiàn)了高考試題的育人功能。同時(shí)本題與地理學(xué)科中的緯度知識(shí)相關(guān)聯(lián)，也體現(xiàn)了以生活實(shí)踐情境為載體。

題2(全國新課標(biāo)Ⅰ卷數(shù)學(xué)卷，題5)某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是( )。

A. 62% B. 56% C. 46% D. 42%

【評(píng)注】本題以某中學(xué)的學(xué)生喜歡足球或游泳為背景，取材于生活真實(shí)情境，體現(xiàn)以生活實(shí)踐情境為載體，考查了積事件的概率公式，考查了考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí)，旨在考查考生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，考查了數(shù)學(xué)應(yīng)用的學(xué)科素養(yǎng)，做到了將體育滲透入高考試題。

題3(全國新課標(biāo)Ⅰ卷數(shù)學(xué)卷，題6)基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)?；驹偕鷶?shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間。在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：I(t)=ert描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與R0，T近似滿足R0=1+rT。有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0=3.28，T=6。據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln 2≈0.69) ( )。

A. 1.2天 B. 1.8天

C. 2.5天 D. 3.5天

【評(píng)析】本題以“新冠肺炎疫情初始階段累計(jì)感染病例數(shù)的數(shù)學(xué)模型的研究成果”為背景，以生活實(shí)踐情境為載體，考查了指數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用，考查了指數(shù)式化對(duì)數(shù)式，考查了數(shù)學(xué)知識(shí)在生活實(shí)踐中的應(yīng)用，考查了考生的閱讀理解能力、運(yùn)算求解能力和數(shù)學(xué)建模能力等關(guān)鍵能力，考查了考生解決實(shí)際問題的能力，考查了考生的探究意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)，旨在考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科核心素養(yǎng)，也考查了數(shù)學(xué)探索的學(xué)科素養(yǎng)，同時(shí)，該指數(shù)模型的建立凝結(jié)了科學(xué)家的勞動(dòng)成果，本題做到了將勞育滲透入高考試題。

A.若n=1，則H(X)=0

B.若n=2，則H(X)隨著p1的增大而增大

D.若n=2m，隨機(jī)變量Y所有可能的取值為1,2,…,m，且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m)，則H(X)≤H(Y)

【評(píng)析】本小題主要考查對(duì)新定義“信息熵”的理解和運(yùn)用，是一道信息創(chuàng)新型多項(xiàng)選擇題，體現(xiàn)了以探索創(chuàng)新情境為載體，考查了對(duì)數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)及不等式的基本性質(zhì)的運(yùn)用，考查了考生分析、思考和解決問題的能力，考查了考生閱讀理解能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)，考查了考生的綜合思維能力和思維品質(zhì)，旨在考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，也考查了理性思維的學(xué)科素養(yǎng)，具有很好的區(qū)分度。

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分。

【分析】解法一：由題意結(jié)合所給的條件，利用正弦定理角化邊，得到a,b的比例關(guān)系，根據(jù)比例關(guān)系，設(shè)出長(zhǎng)度，由余弦定理得到c的長(zhǎng)度，根據(jù)選擇的條件進(jìn)行分析判斷和求解。解法二：利用誘導(dǎo)公式和兩角和的三角函數(shù)公式求得tanA的值，得到角A,B,C的值，然后根據(jù)選擇的條件進(jìn)行分析判斷和求解。

【詳解】解法一：

選擇條件①的解析：

∴m=1，此時(shí)c=m=1。

選擇條件②的解析：

選擇條件③的解析：

【評(píng)析】本題是一道開放性試題，主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，本題與常規(guī)的解三角形題相比，涉及的解三角形知識(shí)廣泛，注重考查考生整體運(yùn)用解三角形知識(shí)的能力，考查綜合思維的靈活性和發(fā)散性，考查了理性思維的學(xué)科素養(yǎng)。這類開放性試題可以破除高考試題題型設(shè)置的八股化，可以很好地考查考生的探究精神和創(chuàng)新意識(shí)，是新時(shí)代高考數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)型的一大亮點(diǎn)。

五、2021年全國新高考備考建議

第一輪復(fù)習(xí)：2020年8月—2021年2月。

第二輪復(fù)習(xí)：2021年3月—2021年4月中旬。

第三輪復(fù)習(xí)：2021年4月中旬—2021年5月中旬。

第一輪復(fù)習(xí)要過好課本關(guān)，積極引導(dǎo)學(xué)生對(duì)課本中相關(guān)公式進(jìn)行重新推導(dǎo)，比如對(duì)點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)，通過推導(dǎo)讓學(xué)生體會(huì)推導(dǎo)過程中蘊(yùn)含的思想方法，通過推導(dǎo)圓錐曲線的弦長(zhǎng)公式，讓他們認(rèn)識(shí)兩點(diǎn)間距離公式與弦長(zhǎng)公式的聯(lián)系，體會(huì)“設(shè)而不求”的思想，在數(shù)列復(fù)習(xí)中，通過推導(dǎo)等差和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，分別引導(dǎo)學(xué)生掌握求數(shù)列通項(xiàng)公式的不完全歸納法、疊加法和疊乘法，推導(dǎo)等差數(shù)列和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，分別使學(xué)生體會(huì)其中的倒序求和法和錯(cuò)位相減法。要對(duì)課本中的例、習(xí)題做到歸類總結(jié)，對(duì)其中的經(jīng)典習(xí)題進(jìn)行多解探究和變式探究。同時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生重新閱讀散布在教材閱讀材料中的祖暅原理、割圓術(shù)、斐波那契數(shù)列和海倫-秦九韶公式等數(shù)學(xué)文化知識(shí)，在此基礎(chǔ)上，教師要適當(dāng)選取一定數(shù)量的相關(guān)數(shù)學(xué)文化題目供學(xué)生練習(xí)使用。在回歸課本的基礎(chǔ)上，做到對(duì)考點(diǎn)知識(shí)全面覆蓋的學(xué)科體系構(gòu)建，絕不能主觀臆斷那些冷門考點(diǎn)可能不考而在復(fù)習(xí)中排除，從而留下了復(fù)習(xí)的盲點(diǎn)。

教師要在研究《中國高考評(píng)價(jià)體系》的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生做近三年全國Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷高考真題；關(guān)于三視圖、程序框圖、線性規(guī)劃、坐標(biāo)系與參數(shù)方程和不等式選講的題目不做，因?yàn)?017年版新課標(biāo)中已經(jīng)刪除了這些內(nèi)容，新課標(biāo)不考查。因?yàn)闅v年高考真題是高考試題的源頭之一，例如2020年全國新課標(biāo)Ⅰ卷數(shù)學(xué)卷第5題源于2019年全國Ⅲ卷文科數(shù)學(xué)卷第4題，第13題源于2018年全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)卷第20題第(1)問。要注重研究2020年全國新課標(biāo)Ⅰ卷，通過做這兩套真題，體會(huì)《中國高考評(píng)價(jià)體系》和《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》的要求在高考試題中的呈現(xiàn)，把握好復(fù)習(xí)難度，對(duì)哪些知識(shí)不宜鉆得太深和對(duì)哪些知識(shí)又不宜復(fù)習(xí)得太淺陋做到心中有數(shù)。

教師要采擷一些高三一輪復(fù)習(xí)資料書中好的數(shù)學(xué)文化試題，引導(dǎo)學(xué)生耐心閱讀完比較長(zhǎng)的題目，從題目提取有利于破解題目問題的關(guān)鍵信息，培養(yǎng)學(xué)生好的閱讀理解能力、分析問題和解決問題的能力。

教師可以在高三一輪復(fù)習(xí)和二輪復(fù)習(xí)階段，每?jī)芍馨才乓淮螖?shù)學(xué)周考練，題目個(gè)數(shù)和高考一樣多，在周考練的試題命制中，要以考查近段時(shí)間復(fù)習(xí)過的知識(shí)為主，做到以課本為依據(jù)，選擇題和填空題中可以設(shè)置1到2道數(shù)學(xué)文化試題，也要結(jié)合自己學(xué)校的實(shí)際學(xué)情,把握好試題難度。

第二輪復(fù)習(xí)中，主要是強(qiáng)化框架性問題的梳理和專題綜合訓(xùn)練，提升學(xué)生知識(shí)遷移、學(xué)以致用的能力。

教師可以根據(jù)高中數(shù)學(xué)主干知識(shí)，將復(fù)習(xí)內(nèi)容分成三角函數(shù)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何和概率與統(tǒng)計(jì)這六個(gè)專題進(jìn)行復(fù)習(xí)。在專題題目的選取上，要關(guān)注知識(shí)的交匯，例如選取一些解析幾何與不等式知識(shí)交匯的題目、概率與統(tǒng)計(jì)和函數(shù)交匯的題目、數(shù)列和不等式交匯的題目等。在每一個(gè)專題中設(shè)置一定數(shù)量的數(shù)學(xué)文化題目，例如在數(shù)列專題和立體幾何專題中可以設(shè)置一些取材于中國經(jīng)典名著《九章算術(shù)》中的問題的題目。二輪復(fù)習(xí)中，要注重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力和推理論證能力。

三輪復(fù)習(xí)，就是套題訓(xùn)練階段，每周訓(xùn)練兩套數(shù)學(xué)模擬題，在命制試題時(shí)，首先要做一個(gè)數(shù)學(xué)三輪模擬訓(xùn)練命題雙向細(xì)目表，便于做到同一套題中的考點(diǎn)不重復(fù)，四周的套題訓(xùn)練要覆蓋近三年全國Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷除三視圖、程序框圖、線性規(guī)劃、坐標(biāo)系與參數(shù)方程和不等式選講等外考到的所有考點(diǎn)，也要適當(dāng)設(shè)置一些冷門考點(diǎn)試題。有意在每套題的小題中，設(shè)置1到2道題干比較長(zhǎng)的數(shù)學(xué)文化題或者新定義題目。教師在試題的講評(píng)中要精心挑選，切忌從頭到尾講完整套試題，引導(dǎo)學(xué)生把自己模擬訓(xùn)練中做錯(cuò)的題目整理到糾錯(cuò)本中，引導(dǎo)學(xué)生要認(rèn)真分析和思考出錯(cuò)的原因,到底是知識(shí)點(diǎn)掌握不熟練還是運(yùn)算能力不過關(guān)。要特別注意的是，教師要把引導(dǎo)學(xué)生對(duì)經(jīng)典題目進(jìn)行多解探究貫穿高三復(fù)習(xí)的始終，通過多解探究，提升學(xué)生的綜合思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，在解題中落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。