高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)如何培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維

□甘肅省徽縣第一中學(xué) 田建輝

一、在對(duì)比概念中培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維

概念教學(xué)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中屬于重難點(diǎn)內(nèi)容，也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)。學(xué)生只有在掌握了概念后才能對(duì)其加以靈活運(yùn)用，這對(duì)于后續(xù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題也具有極其重要的意義。但是在概念教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生思維容易被限制，所以需要教師在關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)情況的同時(shí)，也要教會(huì)學(xué)生如何利用反向思維解決問(wèn)題，幫助其對(duì)數(shù)學(xué)概念有進(jìn)一步的深化和理解。

（一）在相反概念之間做對(duì)比

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中存在一些相反的概念，如果教師可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)其進(jìn)行對(duì)比探究，那么這對(duì)于提升學(xué)生的逆向推理能力是具有積極意義的。例如，教師在講授“反函數(shù)”這一章節(jié)時(shí)，就可以借助之前“函數(shù)”的相關(guān)概念，讓兩者做對(duì)比，對(duì)兩者的不同之處做重點(diǎn)講解，引導(dǎo)學(xué)生加深對(duì)逆向思維的感知，從而有效改善課堂教學(xué)效率。

（二）在概念屬性上做對(duì)比

數(shù)學(xué)概念中包含了元素之間的各個(gè)屬性，因此，教師為了在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中貫徹逆向思維教學(xué)就需要幫助學(xué)生做概念屬性的對(duì)比。例如，教師在講授“映射”這一章節(jié)內(nèi)容時(shí)，可以找機(jī)會(huì)使學(xué)生做逆向思維訓(xùn)練。首先，規(guī)定A→B 為集合A 到集合B 的映射，問(wèn)集合A與集合B 之間存在怎樣對(duì)應(yīng)關(guān)系？此時(shí)，教師可以建立假設(shè)，若集合A 中各元素都可以在集合B 中找到與之相對(duì)應(yīng)的元素，有且只有彼此一組對(duì)應(yīng)，但是事實(shí)證明集合B 中存在一些集合A 中未含有的元素，由此便可以知道映射有一對(duì)一與多對(duì)一兩種對(duì)應(yīng)方式。數(shù)學(xué)概念本身不難理解，關(guān)鍵是要掌握合適的方法，逆向思維的模式可以幫助學(xué)生進(jìn)一步了解概念的本質(zhì)。

二、在公式應(yīng)用中加強(qiáng)學(xué)生的逆向思維

數(shù)學(xué)公式是解決大部分題目的重要媒介，學(xué)生需要通過(guò)公式的靈活運(yùn)用解答數(shù)學(xué)問(wèn)題。逆向思維的培養(yǎng)有利于學(xué)生對(duì)公式內(nèi)容產(chǎn)生正確記憶，之后再結(jié)合正向理解就很容易明白公式中各個(gè)元素代表的含義與內(nèi)容。通過(guò)公式應(yīng)用培養(yǎng)學(xué)生逆向思維一般從以下兩個(gè)角度開(kāi)始：一是公式的逆推，二是公式的逆用。

（一）通過(guò)公式的逆推培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維

公式逆推的過(guò)程就是在培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，有利于學(xué)生學(xué)習(xí)效率的提升。例如教師在講授正余弦互變這些基礎(chǔ)公式時(shí)，就可以在學(xué)生完成正弦變余弦的轉(zhuǎn)化后再讓學(xué)生自己思考是否余弦也可以通過(guò)某種方式再轉(zhuǎn)換為正弦。這樣一來(lái)，學(xué)生對(duì)公式的印象就會(huì)得到加深，對(duì)其今后靈活運(yùn)用公式會(huì)產(chǎn)生積極意義，從而使難題簡(jiǎn)單化。學(xué)生學(xué)會(huì)逆推公式與靈活應(yīng)用公式逆推是兩個(gè)完全不同的階段，為了完成階段之間的跨越式轉(zhuǎn)變，需要在之后的學(xué)習(xí)過(guò)程中多加練習(xí)與鞏固，在平時(shí)做題時(shí)就注意增加公式逆推的練習(xí)次數(shù)。久而久之，學(xué)生就會(huì)掌握從另一個(gè)角度思考數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。

（二）通過(guò)公式的逆用培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維

逆向思維從本質(zhì)上來(lái)看就是一種思維的發(fā)散，通過(guò)公式的變形應(yīng)用可以帶給學(xué)生逆向思維很大程度的刺激，從而使學(xué)生數(shù)學(xué)能力得到提升。例如，教師在講授這種習(xí)題時(shí)：已知求sin4α＋cos4α的值。此時(shí)，除了接由公式的變化來(lái)解題，原式由 于cosα 的值是已知的，那么cos2α 的值也可以得出，結(jié)果就可以計(jì)算出來(lái)了，這是公式的正用，另外，借助逆向思 維，原 式之后根據(jù)給出的cosα 的值算出結(jié)果。三角函數(shù)的內(nèi)容在高中應(yīng)用還是比較廣泛的，往往會(huì)成為考試重點(diǎn)。因?yàn)槎喾N公式的存在，使三角函數(shù)這部分內(nèi)容對(duì)學(xué)生的靈活運(yùn)用能力有了一定要求，但是只要學(xué)生掌握了公式的逆推能力，這一章節(jié)的內(nèi)容難度就不算大了。

三、在題目的靈活解答中增強(qiáng)學(xué)生的逆向思維能力

目前高中數(shù)學(xué)的題目也在向復(fù)雜與困難方向靠攏，一部分題目按照正常解題思路很難找到好的解決方法，這時(shí)就需要借助逆向思維方式幫助學(xué)生打開(kāi)局面，破解難題。在數(shù)學(xué)解題領(lǐng)域，“反證法”的應(yīng)用還是比較多的?！胺醋C法”是指證明與題目中的命題相對(duì)應(yīng)的逆否命題成立與否，一般多用于以常規(guī)方式無(wú)法得出答案的情況。因?yàn)樵}與其逆反命題成立與否是保持一致的，所以當(dāng)原命題無(wú)從下手時(shí)可以從反方向思考，在確保公式定理應(yīng)用無(wú)誤的情況下看其逆否命題是否成立。反證法的應(yīng)用主要分為三步，“反設(shè)、歸謬以及做出結(jié)論”。以一例題舉證，證明“整數(shù)的平方若是偶數(shù)則其本身也是整數(shù)”。此時(shí)可先反設(shè)若該整數(shù)為奇數(shù)，設(shè)這一整數(shù)為2x＋1，x∈N，則可知其結(jié)果是奇數(shù)，所以這種反設(shè)不成立，這樣一來(lái)，題目中的命題就是成立的。反證法對(duì)于快速解決問(wèn)題也具有一定的優(yōu)勢(shì)，所以在遇到難題時(shí)教師可以引導(dǎo)學(xué)生多用反證法完成題目解答，這也是鍛煉其逆向思維的重要方式。