熟練掌握方程知識 靈活求解各類問題

文 陳 林

二元一次方程建立在一元一次方程基礎(chǔ)之上，我們也進(jìn)一步學(xué)會用新的方程模型來刻畫生活實(shí)際問題。二元一次方程的學(xué)習(xí)可以類比一元一次方程，但由于未知數(shù)的個數(shù)和方程的解的個數(shù)都發(fā)生了改變，所以要特別注意兩者的區(qū)別。在本章中，同學(xué)們首先要學(xué)會解二元一次方程組，體會從二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，從復(fù)雜到簡單的化歸過程。下面以一些中考題為例進(jìn)行分析，以幫助同學(xué)們理清思路，熟練掌握方程知識，從而靈活求解各類問題。

一、充分利用解的定義

例1（2019·江蘇常州）若是關(guān)于x、y 的二元一次方程ax+y=3 的解，則a=______。

【分析】方程的解就是代入方程后能使原方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值。所以本題直接將方程的解代入，然后得到一個關(guān)于a的方程，求出a即可。

解：將x、y代入原方程，得a+2=3，所以a=1。

變式1若關(guān)于x、y 的二元一次方程組的解也是二元一次方程x-2y=10的解，則k的值為_______。

【分析】本題中，方程組的解也是方程x-2y=10 的解，說明這三個方程有公共解。

解：根據(jù)題意，聯(lián)立新的方程組解得再把這組解代入x+y=2k，得到k=-4。

【點(diǎn)評】方程的解與方程組的解，都是使方程成立的未知數(shù)的值。同學(xué)們一旦看到題目中有方程（組）的解這個條件，就可以采用代入的方法加以解決，也可以根據(jù)方程組的解建立新的方程組。

二、靈活選用求解方法

例2（2016·江蘇無錫）解方程組：

【分析】用加減消元法消去未知數(shù)y，求出x 的值，再代入求出y 的值即可。也可以采用代入消元法，將①變形后代入②，消去未知數(shù)y，兩種方法的計(jì)算量都差不多。

解：（加減消元法）由①得2x+y=3，③

③×2-②得x=4，把x=4 代入③，得y=-5，故原方程組的解為

（代入消元法）由①得y=3-2x，③

把③代入②，得x=4，把x=4 代入③得y=-5，故原方程組的解為

變式2解方程組

【解析】觀察這個方程組的系數(shù)，就可以發(fā)現(xiàn)用加減消元法更加簡便。

解：由①得2x+2y=3，③

【點(diǎn)評】中考中，關(guān)于這一章考查頻率最高的就是解二元一次方程組。同學(xué)們要采用最簡便的方法，這樣既快速又準(zhǔn)確。對于代入消元法，建議當(dāng)某個未知數(shù)的系數(shù)為1 時選擇此方法，而加減消元法適用于更加普通的方程組。

三、整體考慮求值問題

例3（2019·江蘇南通）已知a、b滿足方程組則 a+b 的值為（ ）。

A.2 B.4 C.-2 D.-4

【解析】對于本題而言，很多同學(xué)最先嘗試的是先解方程組，求出a 和b，再計(jì)算a+b 的值。其實(shí)，我們只要仔細(xì)觀察這個方程組，就會發(fā)現(xiàn)方程組未知數(shù)的系數(shù)有一定的規(guī)律，將兩個方程相加就可以得到5a+5b，進(jìn)一步就可以得到a+b的值。

解：兩方程相加，得5a+5b=10，所以a+b=2。故選A。

變式3（2019·江蘇常州改編）如果a-b-2=0，那么代數(shù)式1-2a+2b 的值是________。

【解析】本題是把a(bǔ)-b 看成一個整體來進(jìn)行求解，但是我們在對要求的代數(shù)式變形的時候，要注意符號的變化。

解：由題意得a-b=2，所以1-2a+2b=1-2（a-b）=1-2×2=-3。

【點(diǎn)評】對于一些方程組的求解問題，我們不要一開始就直接解方程組，而是要在觀察的基礎(chǔ)上進(jìn)行整體考慮，這是解方程組問題時非常重要的整體思想，當(dāng)然最關(guān)鍵的還是要能發(fā)現(xiàn)這個整體部分。上述問題若是直接去解方程組，計(jì)算量就會大大增加或根本無法解。所以，遇到方程組類的問題，我們首先應(yīng)該仔細(xì)審題，不僅要看題目的條件，還要看題目的問題，進(jìn)而選取最合適的方法進(jìn)行解答。