把脈錯因 遠離陷阱

文 葛 松

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識塊的重要內(nèi)容之一，也是各地中考試題中考查的重點。我們在解二次函數(shù)的問題時，往往會出現(xiàn)一些不同類型的錯誤，現(xiàn)對幾種常見錯誤分類剖析，供同學(xué)們參考借鑒。

一、概念不清，忽視字母系數(shù)

例1若y=（m2+m）xm2+1+2x+3是關(guān)于x的二次函數(shù)，則m的值為________。

【錯解】令m2+1=2，解得m1=1，m2=-1。所以當m=±1 時，y=（m2+m）xm2+1+2x+3 是二次函數(shù)。

【剖析】出錯的原因是概念不清。函數(shù)y=ax2+bx+c 為二次函數(shù)的條件是二次項系數(shù)a≠0。當m=-1時，此函數(shù)是y=2x+3，此時是一次函數(shù)而不是二次函數(shù)。

【正解】由m2+1=2，解得m1=1，m2=-1。又因為m2+m≠0，所以m≠0 且m≠-1，所以m1=1。即當m=1 時，函數(shù)為y=2x2+2x+3，是二次函數(shù)。

【點評】判斷函數(shù)y=ax2+bx+c是二次函數(shù)的兩個條件：①未知數(shù)的最高次數(shù)是2；②二次項系數(shù)a≠0。

二、考慮不周，忽視分類討論

例2 若函數(shù)y=（m-1）x2-4x+2m 的圖像與x軸只有一個交點，則m的值為____。

【錯解】因為函數(shù)y=（m-1）x2-4x+2m的圖像與x 軸只有一個交點，所以b2-4ac=（-4）2-4（m-1）?2m=0，即-8m2+8m+16=0，解得m1=-1，m2=2。

【剖析】已知條件中，沒有指明這個函數(shù)是關(guān)于x 的二次函數(shù)，因此它還可能是一次函數(shù)。此錯解因考慮不全，漏掉了一種情況。

【正解】（1）當m-1≠0 時，函數(shù)為二次函數(shù)，可得m1=-1，m2=2；（2）當m-1=0，即m=1 時，函數(shù)為一次函數(shù)y=-4x+2，它的圖像與x 軸只有一個交點，也滿足題意。綜上可知，m的值為-1或2或1。

【點評】對于含字母系數(shù)的函數(shù)問題，要重視對字母系數(shù)的討論，要區(qū)別是什么函數(shù)，有交點、有一個交點或與坐標軸有兩個交點等，根據(jù)題意加以界定，判斷函數(shù)類型，再去解決問題。

三、范圍不清，忽視增減性

例3若點P1（-1，y1）、P2（3，y2）、P3（5，y3）均在二次函數(shù)y=-x2+2x+m 的圖像上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（ ）。

A.y3＞y2＞y1B.y3＞y2=y1

C.y1＞y2＞y3D.y1=y2＞y3

【錯解】因為a=-1＜0，-1＜3＜5，所以y3＞y2＞y1，故選A。

【剖析】錯解忽視了二次函數(shù)增減性的適用范圍。因為二次函數(shù)的對稱軸是x=1，所以對于二次函數(shù)y=-x2+2x+m 的增減性應(yīng)分為x＞1 和x＜1 兩種情況討論。當x＞1 時，y 隨x 的增大而減??；當x＜1 時，y隨x 的增大而增大。對于對稱軸兩側(cè)的點，還應(yīng)根據(jù)拋物線的對稱性轉(zhuǎn)化為與拋物線的對稱軸等距的同側(cè)點，再根據(jù)增減性來比較大小。

【正解】因為對稱軸為x=1，所以y1=y2；又因為拋物線開口向下，且點P2、P3都在對稱軸的右側(cè)，即y 隨x 的增大而減小，所以y2＞y3，即y1=y2＞y3，故選D。

【點評】對拋物線上點的縱坐標大小比較的關(guān)鍵是要看開口方向和點在對稱軸的左側(cè)還是右側(cè)。判斷的基本方法是：①利用拋物線上的對稱點的縱坐標相等，把點轉(zhuǎn)化到對稱軸的同側(cè)，再利用增減性比較大??；②當已知拋物線表達式和橫坐標確定時，可直接求出縱坐標來比較大??；③利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，畫大致圖像去判斷。

四、判斷不準，忽視圖像位置

例4已知二次函數(shù)y=x2+mx+n 的圖像與y 軸交于點A，與x 軸正半軸交于B、C兩點，且BC=2，S△ABC=3，則m的值為____。

【錯解】由S△ABC=3，BC=2，得OA=3，所以n=3；由BC=2，得m2-12=4，即m=±4，所以m=±4。

【剖析】錯解沒有考慮到拋物線的對稱軸只能與x 軸正半軸相交，即x=，所以m＜0。

【正解】因為拋物線開口向上，且與x軸正半軸交于B、C 兩點，所以n＞0＞0，即n＞0，m＜0。由S△ABC=3，BC=2，得OA=3，即n=3；由BC=2，得m2-12=4，即m=±4，所以m=-4。

【點評】在無圖的情況下，要準確判斷圖像的位置，可以利用數(shù)形結(jié)合思想，畫出大致圖像后再進行解題。

五、取值不定，忽視實際條件

例5用長30m 的籬笆和一段長為8m 的墻（作為其中一邊）圍成一個矩形場地，怎樣圍使得圍成的矩形面積最大？最大面積是多少？

【錯解】設(shè)垂直于墻的一邊為xm，則S=x（30-2x）=-2（x-7.5）2+112.5，所以當垂直于墻的一邊為7.5m 時，所圍成的矩形面積最大，最大面積為112.5m2。

【剖析】錯解沒有考慮到墻的長度只有8m，而當垂直于墻的一邊為7.5m 時，平行于墻的一邊為30-2x=15（m），不符合實際。

【正解】設(shè)垂直于墻的一邊為xm，則S=x（30-2x）=-2（x-7.5）2+112.5，因 為0＜30-2x≤8，即11≤x＜15，所以S 隨x 的增大而減小，所以當x=11m 時面積最大，最大面積S為88m2。

【點評】在求二次函數(shù)的最值時，要考慮到自變量的取值范圍，如果對稱軸對應(yīng)的值不在范圍內(nèi)，應(yīng)就近選取自變量的值代入求其最值。