例談“設(shè)而不求”在導(dǎo)數(shù)問題中的應(yīng)用

江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)前黃中學(xué)國際分校 (213161) 陸 德

在導(dǎo)數(shù)相關(guān)問題中許多問題都涉及到繁雜的運(yùn)算,為了盡可能減少計(jì)算量,一些常用技巧和方法尤為必要，“設(shè)而不求”即是如此.所謂“設(shè)而不求”是指根據(jù)題設(shè)條件，巧妙設(shè)元，搭建＂未知＂和＂已知＂之間的等量關(guān)系, 通過合理代換或推理，利用整體化歸，韋達(dá)定理，整體消元等方法化繁為簡、避重就輕,“設(shè)而不求”在數(shù)據(jù)的處理上另辟蹊徑，旨在條件的分析轉(zhuǎn)化.

題型一 利用韋達(dá)定理消元

例1 (2017江蘇高考)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有極值，且導(dǎo)函數(shù)f′(x)的極值點(diǎn)是f(x)的零點(diǎn).(極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對應(yīng)的自變量的值)

(1)求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

(2)證明：b2>3a；

評注：如果孤立看待x1,x2，則需借助于求根公式，顯然求解f(x1),f(x2)時(shí)運(yùn)算過于繁瑣，而通過韋達(dá)定理尋求兩者關(guān)系后，運(yùn)算f(x1)+f(x2)過程就淺顯明朗.

題型二 整體換元實(shí)現(xiàn)消元

例2 (鹽城市2019屆高三第三次模擬考試)設(shè)函數(shù)f(x)=x-aex(e為自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R)．

(1) 當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線方程；

(2) 若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上具有單調(diào)性，求a的取值范圍；

解析：(1)略；(2)略；(3)函數(shù)g(x)=(ex-e)f(x)的零點(diǎn)即為方程(ex-e)f(x)=0的實(shí)數(shù)根，故ex-e=0或f(x)=0，由ex-e=0，得x=1，

題型三 虛設(shè)零點(diǎn)整體替換

例3 (2020屆常州市第一學(xué)期期中考試)已知函數(shù)f(x)=lnx-xex+ax(a∈R).

(1)若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若a=1，求f(x)的最大值.

評注：在解決函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的綜合問題中，導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)確定存在但無法直接求解時(shí)，可以結(jié)合零點(diǎn)存在定理虛設(shè)零點(diǎn)，巧妙利用零點(diǎn)所滿足的等量關(guān)系推理演算整體代換，復(fù)雜問題從而迎刃而解.

“設(shè)而不求”是高中數(shù)學(xué)解題的常用方法,也是實(shí)際應(yīng)用中的難點(diǎn)，其實(shí)質(zhì)是整體結(jié)構(gòu)意義上的變式和整體思想的應(yīng)用,數(shù)據(jù)的整合加工處理過程中利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，從形式和結(jié)構(gòu)上提煉內(nèi)核，轉(zhuǎn)化到常規(guī)知識背景下，從而將目標(biāo)清晰化，問題簡單化.