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    一道多元變量最值高考題的多角度探究

    2020-12-15 01:39:52江蘇省蘇州市吳江盛澤中學(xué)215228周偉芯沈惠華
    關(guān)鍵詞:二次曲線高考題填空題

    江蘇省蘇州市吳江盛澤中學(xué) (215228) 周偉芯 沈惠華

    多元變量最值問題是高考命題中的“常客”,一般出現(xiàn)在選擇題或填空題中,這類問題題干簡練,解法卻精彩紛呈,不同的解法往往可以幫助學(xué)生構(gòu)建高中數(shù)學(xué)的知識網(wǎng)絡(luò),提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.本文擷取一道2020年高考數(shù)學(xué)江蘇卷上一道題目加以探究,供大家參考.

    題(2020年高考江蘇卷第12題)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),則x2+y2的最小值是.

    說明:江蘇卷中共有14個填空題,前9個一般沒有難度,屬于送分的基礎(chǔ)題,第10-12題具有一定難度,屬于中檔題,而第13和14題屬于填空題部分較難的壓軸題.本題屬于中檔題,考查考生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng),考查考生數(shù)學(xué)解題中的轉(zhuǎn)化能力.本題從不同角度入手,可以得到不同的解法.

    一、從函數(shù)的角度入手

    從函數(shù)的角度入手,就是通過消元或其它手段把原問題變成一元函數(shù)的最值問題.

    二、從不等式的角度入手

    三、從方程角度入手

    四、從曲線與方程的角度入手

    解法8:(經(jīng)過換元,將原問題轉(zhuǎn)化為直線與二次曲線的位置關(guān)系問題)令x2=X>0,y2=Y>0,則條件等式5x2y2+y4=1即為方程5XY+Y2=1,它表示位于第一象限的二次曲線;目標函數(shù)x2+y2即為X+Y,令它的值為m,則方程X+Y=m表示這條直線位于第一象限的部分.

    眾所周知,高考題具有選拔功能,思維層次不同的考生往往得到不同的解法,而從不同角度出發(fā)思考也往往會產(chǎn)生不同的解題效果,或許解法比較繁瑣,或許解法比較簡潔,但無論哪種解法都蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想,只要適合學(xué)生,它們都是好方法.從以上高考題的八種解法中,我們可以看出,通過一道題的“一題多解”,可以撐起高中數(shù)學(xué)的“一片天”,可以編織知識與方法的“關(guān)系網(wǎng)”,這或許就是高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的“最高境界”.

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