高三數(shù)學(xué)課堂的高效源于“用教材教”*
——例談改編教材例習(xí)題的幾種手段

江蘇省江浦高級中學(xué) (211800) 徐愛勇

縱觀近些年高考卷，每年試題中總會有相當(dāng)一部分直接來源于教材例習(xí)題的改編、拓展、整合，有些試題甚至就是教材的原題.這一舉措對推進(jìn)課程改革起到了良好的“風(fēng)向標(biāo)”作用，同時還能夠更加理性地引導(dǎo)教師在教學(xué)過程中要重視教材的使用，注重挖掘教材的內(nèi)涵.“用教材教”這一觀點(diǎn)應(yīng)當(dāng)成為全體一線教師達(dá)成的一條基本共識.“用教材教，而不是教教材”真正的意圖是要求教師能夠更加靈活地、富有創(chuàng)造性地使用教材.如果把教材文本呈現(xiàn)的內(nèi)容看作是“露出海面的冰山一角”，那么“用教材教”就要求教師能夠把“海面以下的巨大冰山托出海面”，讓學(xué)生領(lǐng)略到“整座冰山”.

高效課堂是學(xué)生主動學(xué)習(xí)、積極思考的課堂，是師生互動、生生互動的課堂，是學(xué)生對所學(xué)知識主動實(shí)現(xiàn)意義建構(gòu)的課堂.構(gòu)建高效課堂業(yè)已成為全體同仁不懈的追求.基于此，筆者試結(jié)合自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和體會，來闡述在高三復(fù)習(xí)過程中，改編教材例習(xí)題的幾種手段，以期能夠達(dá)到高效備考的目的，希望能夠引起廣泛地關(guān)注.

1.手段1——變換圖形

案例1(蘇教版數(shù)學(xué)2 P95第21題)已知M(-1,3),N(6,2)，點(diǎn)P在x軸上，且使PM+PN取最小值，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

變式平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,-2),B(4,0),P(a,1)，N(a+1,1)，當(dāng)四邊形PABN的周長最小時，過三點(diǎn)A,P,N的圓的圓心坐標(biāo)是．

評析：本題主要考查的核心知識點(diǎn)為“求點(diǎn)關(guān)于線的對稱點(diǎn)”.更多時候，對其變式多為“改變對稱軸的位置”，從而增加其運(yùn)算的容量.更有甚者，將對稱軸直線的斜率定為1或-1，從而直接得出結(jié)果，將解題思索過程固化，偏離了解題教學(xué)的價值方向.

改變已有命題的條件或結(jié)論的表現(xiàn)形式，將原命題中的條件或結(jié)論間接化、隱蔽化，或改變問題的背景變換出新的命題的方法.本題變式的核心就是“將線段BN平移至PC，其中C(3,0)”即可，從而體現(xiàn)其“靈動性”.

2.手段2——以圖思題

案例4(蘇教版必修4P122例5圖3-2-2)如圖1，在半圓鋼板上截取一塊矩形材料，怎樣截取能使這個矩形的面積最大？

圖1

圖2

變式(1)(蘇教版必修4 P121思考)在一個圓所有內(nèi)接矩形中，怎樣的矩形面積最大？

(2)(蘇教版必修4 P132 第18題)如圖2，在半徑為R,圓心角為60°的扇形AB弧上任取一點(diǎn)P，作扇形的內(nèi)接矩形PNMQ，使點(diǎn)Q在OA上，點(diǎn)M,N在OB上，求這個矩形面積的最大值及相應(yīng)的∠AOP的值.

圖3

(3)(蘇教版數(shù)學(xué)5 P19例4)如圖3，半圓O的直徑為2，A為直徑延長線上的一點(diǎn)，OA=2，B為半圓上任意一點(diǎn)，以AB為一邊作等邊三角形ABC，問：點(diǎn)B在什么位置是，四邊形OACB的面積最大？

(4)在(3)的基礎(chǔ)上，點(diǎn)B在什么位置時，線段OC的長取最大值？

評析：通過歸納類比、拓展思考、反思建構(gòu)，做到舉一反三，由此及類，由習(xí)題到模式，這是培養(yǎng)解題能力、抽象概括能力的重要手段.本組題在教材中均為核心題型，按照如此串聯(lián)和變式，圓→半圓→扇形→矩形→三角形→面積→長度→……一目了然，從而增強(qiáng)了復(fù)習(xí)的針對性.

3.手段3——變量包裝

變式(1)已知u≥1，v≥1且(logau)2+(logav)2=loga(au2)+loga(av2)(a>1)，則loga(uv)的最大值為，最小值為．

評析：有些問題看似平淡無奇，缺乏新意，但若我們對問題進(jìn)行改頭換面，或提煉，或抽象，或純化，往往會有意想不到的感悟.這些感悟主要是把一個個零散的發(fā)現(xiàn)由表及里、由淺入深地集中和聯(lián)系起來，再通過恰當(dāng)?shù)姆椒右蕴幚?，化歸為已有的認(rèn)識，就自然形成了構(gòu)造模型的方法，這一構(gòu)造思想一般超越了問題的原有意境，具有更為豐富的想象力和創(chuàng)造力.

4.手段4——直觀想象

案例4(蘇教版數(shù)學(xué)5 P56第6題)設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，S3,S9,S6成等差數(shù)列，求證：a2,a8，a5也成等差數(shù)列.

變式(1)設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，a2,a8，a5成等差數(shù)列，求證：S3,S9,S6也成等差數(shù)列.

(2)設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，S4,S10,S7成等差數(shù)列，求證：a3,a9，a6也成等差數(shù)列.

評析：有些數(shù)學(xué)問題的已知條件或結(jié)論的外表形態(tài)與結(jié)構(gòu)，讓人容易想到相關(guān)的或相似的定義、定理、公式或圖形等，如果我們善于抓住這一直覺，也許會從中得到有益啟發(fā).當(dāng)我們解完題后，一個很自然的念頭，立即會從腦海中掠過.該問題的逆命題是否成立？顯然成立，解答過程從略.

再審視本題，還可以發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的下標(biāo)似乎存在某種對應(yīng)關(guān)系.經(jīng)過持續(xù)探究，可得到如下結(jié)論：設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，Sm,Sn,St成等差數(shù)列，求證：對任意自然數(shù)k,am+k,an+k，at+k也成等差數(shù)列.

5.手段5——橫向到邊

案例5(蘇教版數(shù)學(xué)1 P73第5題)汽車在隧道內(nèi)行駛時，安全車距d(m)正比于車速v(km/h)的平方與車身長(m)的積，且安全車距不得小于半個車身長.假定車身長約為4m，車速為60km/h，安全車距為1.44個車身長.(1)試寫出車距d與車速v之間的函數(shù)關(guān)系式；(蘇教版選修2—2P38頁第4題，題目同上，增加了第2問)(2)在交通繁忙時，應(yīng)規(guī)定怎樣的車速，可以使隧道的車流量最大？

變式將上兩題進(jìn)行整合，合并成一題，從而完成從“建模”到“解?！蓖甑恼^程.

評析：對數(shù)學(xué)習(xí)題的拓展常表現(xiàn)在解題方法層面上.這是一種聯(lián)系性拓展，但數(shù)學(xué)教學(xué)中的聯(lián)系性拓展不僅局限于此，還包括對教學(xué)內(nèi)容之間的前后串聯(lián)、課本例題的深化引申、課后習(xí)題的整合統(tǒng)一等.

不同的數(shù)學(xué)分支間具有普遍的聯(lián)系性，有的顯而易見，有的則較為隱蔽.數(shù)學(xué)教學(xué)的一個功能就是要向?qū)W生揭示這種關(guān)系，在這個過程中，可以使學(xué)生的知識體系得到整合，并逐漸對數(shù)學(xué)中的各種思想方法產(chǎn)生較為清晰的認(rèn)識.

6.手段6——縱向到底

案例6(蘇教版數(shù)學(xué)1 P8例1)寫出集合{a,b}的所有子集.

(蘇教版數(shù)學(xué)1 P9練習(xí)1)寫出集合{1,2,3}的所有子集.

(蘇教版數(shù)學(xué)1 P8旁白)集合{a1,a2,a3,a4}有多少個子集？

(蘇教版數(shù)學(xué)1 P17第8題)求滿足{1，3}∪A={1,3,5}的集合A.

(蘇教版數(shù)學(xué)1 P94第18題)已知一個函數(shù)的解析式為y=x2，它的值域是{1,4}，求此函數(shù)的定義域.

變式(1)集合{a1,a2,…,an}的所有子集的個數(shù)是多少？

(2)求集合M={1,2,3}的所有非空子集中各元素之和.若M={1,2,3,4}呢？你能按此方法大膽嘗試探索，發(fā)現(xiàn)一個具有一般規(guī)律的結(jié)論嗎？

(3)若A∪B={a,b}，則這樣的A,B共有多少組？若A∪B={a,b,c}，則結(jié)論又如何呢？若A∪B∪C={a,b}，則結(jié)論又如何呢？你能按此方法大膽嘗試探索，發(fā)現(xiàn)一個具有一般規(guī)律的結(jié)論嗎？

評析：我們把表面上不盡相同，而問題實(shí)質(zhì)一致的若干問題有機(jī)地銜接在一起，形成問題串的方法.這種方法體現(xiàn)了在知識交匯點(diǎn)處命題的指導(dǎo)思想，也是各級各類考試中命制習(xí)題最常用的方法.

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要讓學(xué)生掌握一定的數(shù)學(xué)知識，更重要的是要讓學(xué)生理解蘊(yùn)涵在這些知識中的豐富數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)思想方法對學(xué)生思考問題、解決問題更具有普遍性與指導(dǎo)性.例習(xí)題的教育價值是否能夠充分發(fā)揮出來，完全取決于例習(xí)題中的數(shù)學(xué)思想是否被我們充分地挖掘與展現(xiàn).

類似的題目和手段還可以舉出一些.但本文的目的不是針對個別的題目，而是想糾正目前高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)中的一些不良傾向.在高考復(fù)習(xí)中“用教材教”，以主干知識為核心，以教材例習(xí)題的拓展性、多解性、歸一性、開放性和辨析性等特點(diǎn)精心做好高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)工作，積極更新教學(xué)觀念，只有這樣才能真正地做到回到課本中去.