初中數(shù)學(xué)二元一次方程解題方法

李杰

【摘要】本文通過具體例題的方式闡述二元一次方程的解題方法和策略，通過具體的詳解提高學(xué)生的解題能力和素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】二元一次方程;數(shù)學(xué)解題

1 代入消元法求解二元一次方程組

例題 已知2x+y=4，①

x+2y=5，②求x和y的值.

解題分析 使用代入消元法來求解二元一次方程組，題目中所包含的x、y系數(shù)的性質(zhì)是不相同的;x的系數(shù)是1和2，y的系數(shù)是1和2，由此可知它們的最小公倍數(shù)都為2，因而在解題時，消去x或者消去y，其解題難易程度是相同的.

解題方法 ①式乘以2得：4x+2y=8，

將其進行變換可得：2y=8-4x，③

然后將③代入②式中可得：3x=3，

解得：x=1;把x=1代入①式得y=2.

綜上這個方程組的解是x=1，y=2.

2 加減消元法求解二元一次方程組

例題 已知4x+2y=-5，①

3x-3y=3，②

求x和y的值.

解題分析 根據(jù)等式兩邊相等的特性，將二元一次方程組中兩個方程的其中一個未知數(shù)前的系數(shù)的絕對值變?yōu)橄嗟鹊臄?shù)值，然后再將兩個方程相加減來消去該未知數(shù)，從而使得方程組中只含有一個未知數(shù)，進而求解.

解題方法 ①式乘以3得：12x+6y=-15，

②式乘以2得：6x-6y=6，

將這兩式相加得：18x=-9，

所以x=-12，③

將③式代入①式得y=-32.

綜上這個方程組的解是x=-12，y=-32.

3 二元一次方程組的應(yīng)用

例題1 實驗室有A、B兩種濃度不同的乙醇溶液，A種乙醇溶液中乙醇與水比例為3∶7，B種乙醇溶液中乙醇與水的比例為4∶1，現(xiàn)在實驗室為了做某項實驗，需要一種乙醇與水比例為3∶2的乙醇溶液共50kg，那么請問，A、B兩種乙醇溶液各應(yīng)準備多少 kg才能夠滿足需求.

解題分析 通過審題可知該題目當中存在兩個未知數(shù)，可直接利用二元一次方程組的相關(guān)知識來解答.在對題目進行分析后，我們應(yīng)得知題中所隱藏的幾個相等關(guān)系：

（1）所需A、B兩種乙醇溶液的質(zhì)量之和為50kg;

（2）混合前兩種溶液中乙醇的量與混合后溶液中乙醇的量相等;

（3）混合前兩種溶液水的量和混合后溶液含水的量相等.

解題方法 設(shè)A、B兩種乙醇溶液分別取x kg， y kg，列二元一次方程組得：

x+y=50，310x+45y=35×50，

解得 x=20，y=30.

答：A種酒精溶液取20kg，B種酒精溶液取30kg.

例題2某家商店需要裝修，現(xiàn)有兩種不同的裝修方案可供選擇，第一種為：請A、B兩個裝修隊同時裝修，共需8天時間能夠完成，所需支付的裝修費用共計為3520元;第二種裝修方案為：先由A裝修隊單獨裝修6天，然后再由B裝修隊單獨裝修12天，所需支付兩個裝修隊的裝修費用共計為3480元，那么：

（1）A、B兩個裝修隊各工作一天，商店需各付他們多少裝修工錢;

（2）已知A裝修隊單獨完成裝修需要12天，B裝修隊單獨完成裝修需要24天，單獨請哪隊進行裝修，商店所需支付的費用最少.

解題分析 本題共有兩種裝修方案，每種方案中各隱含一個等式.

第1種方案 如果請A、B兩個裝修隊同時裝修，共需8天時間能夠完成商店的裝修工作，所需支付兩支裝修隊費用共計為3520元;

第2種方案 如果先請A裝修隊單獨裝修6天，再請B裝修隊單獨裝修12天也可完成商店裝修工作，所需支付兩支裝修隊費用共計為3480元.

解題方法

（1）設(shè)A裝修隊單獨裝修一天商店需付x元，B裝修隊單獨裝修一天商店需付y元，列方程組：

8（x+y）=3520，①6x+12y=3480，②

解得x=300，y=140.

答：A裝修隊單獨裝修一天商店需支付300元，B裝修隊單獨裝修一天商店需支付140元.

（2）單獨請A裝修隊進行裝修，商店需支付300×12=3600元，單獨請B裝修隊進行裝修，商店需支付24×140=3360元.

答：請B裝修隊單獨進行裝修，商店所需支付的費用最少.

例題3 小白的爸爸為了準備小白上學(xué)所需要的費用，打算使用兩種不同的存儲方式在銀行共計存儲2000元，其中一種為年利率2.25%的教育儲蓄，另一種則是年利率為2.25%定期存儲，存滿一年后小白的爸爸將錢全部取出，本金和利息共計為2042.75，請問兩種儲蓄各存了多少錢（利息所得稅=利息金額×20%，教育儲蓄不需要繳納利息所得稅）

解題分析 此題為典型的收入問題，這類問題有著一定的難度，題目中所包含的等量關(guān)系較為含蓄，在這種情況下我們就可以變換一種解題思路，采用圖表法來對該類問題進行分析，題目中的相等關(guān)系量就會呈現(xiàn)出來.

設(shè)教育儲蓄存了x元，一年定期存了y元，根據(jù)題意可得出如下表格：

教育儲蓄

一年定期

現(xiàn)在

x

y

一年后

x+x×2.25%

y+y×2.25%×80%

解題方法 設(shè)教育儲蓄為x元，一年期定存為y元，則列方程組為：

y=2000-x，

（1+0.0225）x+y[1+0.0225（1-0.2）]=2042.75，

解得：x=1500，

y=500.

答：教育儲蓄為1500元，一年期定存為500元.

例題4 現(xiàn)有甲乙兩個帳篷廠，正常生產(chǎn)計劃為一周兩個帳篷廠總共可以生產(chǎn)帳篷9千頂，現(xiàn)某地出現(xiàn)地震，為了抗震救災(zāi)，現(xiàn)共需帳篷14千頂，經(jīng)過共同商議兩廠決定在一周內(nèi)生產(chǎn)出這批帳篷.為此，甲帳篷廠和乙?guī)づ駨S在這一周內(nèi)生產(chǎn)的效率分別達到了平常的1.6倍和1.5倍，并如期完成了賑災(zāi)帳篷的生產(chǎn)工作.那么在趕制賑災(zāi)帳篷的一周內(nèi)，甲帳篷廠和乙?guī)づ駨S各生產(chǎn)了多少千頂帳篷？

解題分析 經(jīng)過審題我們可知題目中包含兩個未知量，因而可以利用二元一次方程組的相關(guān)知識進行解答，根據(jù)計劃前后生產(chǎn)效率的倍數(shù)關(guān)系，可由已知量和未知量列出兩個等式，即是兩個二元一次方程組成的方程組.

解題方法

設(shè)甲帳篷廠生產(chǎn)帳篷x千頂，乙?guī)づ駨S生產(chǎn)帳篷y千頂，由題意得：x+y=9，1.6x+1.5y=14，

解得 x=5，y=4.

答：甲帳篷廠總計生產(chǎn)帳篷8千頂，乙?guī)づ駨S總計生產(chǎn)帳篷6千頂.