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    射影幾何調(diào)和點列作圖與阿波羅尼斯圓的聯(lián)系

    2020-12-11 03:31:06趙臨龍
    河南科學(xué) 2020年11期
    關(guān)鍵詞:作法阿波羅尼斯

    趙臨龍

    (安康學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,陜西安康 725000)

    1 問題背景

    在射影幾何中,調(diào)和點列是最基本也是最重要的概念,是射影幾何理論建立及其研究的重要工具. 如利用調(diào)和點列形成的極點與極線概念,是研究二次曲線內(nèi)在結(jié)構(gòu)的重要工具. 因此,調(diào)和點列的幾何作圖成為人們討論的熱點.

    在《高等幾何》[1]中,關(guān)于調(diào)和點列的幾何作圖,先后給出歐式幾何的圓中作圖、仿射幾何的平行線作圖、射影幾何的完全四邊形作圖和射影對應(yīng)作圖等.

    現(xiàn)對于仿射幾何的平行線作圖進(jìn)行討論.

    命題1 如圖1. 已知點列A、B、C,求其調(diào)和點列D 滿足(AB,CD)=-1.

    作法 如圖1. 在直線AB異側(cè)過點C作直線A′B′,使A′C=CB′;連接AA′×BB′=S;過點S 作SD//A′B′交直線AB 于點D. 則點D為所求點,即(AB,CD)=-1.

    圖1 調(diào)和點列的作圖Fig.1 Mapping of harmonic points

    方程(3)的幾何意義是以CD為直徑的圓,該圓在歐式幾何中叫作阿波羅尼斯圓.

    命題2[2](阿波羅尼斯圓)已知兩點A、B,C、D分別為線段AB的定比λ(λ≠1)的內(nèi)外分點,則以CD為直徑的圓上任意點到A、B兩點的距離之比為λ.

    2 問題討論

    阿波羅尼斯(Apolloning,約公元前260—170)是古希臘著名的數(shù)學(xué)家,與歐幾里得、阿基米德一起被稱為亞歷山大時期的數(shù)學(xué)三巨匠,他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究,主要的研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中,阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一[2].

    推論3 已知兩點A、B,C、D 分別為線段AB 的定比λ(λ≠1)的內(nèi)外分點,且交點S=AA′×BB′,則點S 在阿波羅尼斯圓上的充分必要條件是AA′∶BB′=λ.

    此時,當(dāng)直線AS 為阿波羅尼斯圓的切線(S 為切點)時,則由圓直徑的對稱性,得到該阿波羅尼斯圓的切線AS′(S′為切點),于是SS′是極點A 關(guān)于該阿波羅尼斯圓的極線,則該阿波羅尼斯圓心與極點的連線AB⊥SS′[3].

    推論4 如圖2,已知兩點A、B,C、D分別為線段AB的定比λ(λ≠1)的內(nèi)外分點,關(guān)于阿波羅尼斯圓過點B 作垂直于直徑的弦SS′,則AS、AS′為該圓的切線.

    圖2 阿波羅尼斯圓的切線作圖Fig.2 The tangents of Apolloning circle

    3 理論應(yīng)用

    3.1 幾何作圖題

    例1 已知兩點A、B,C、D分別為線段AB的定比λ(λ>1)的內(nèi)外分點,作出阿波羅尼斯圓.

    作法1 對于線段AB,直接作出其定比為λ(λ>1)的內(nèi)外分點C、D,則以CD 為直徑即可作出阿波羅尼斯圓.

    證明 如圖2,設(shè)AB=2a,則

    得到以CD為直徑的阿波羅尼斯圓.

    推論5 對于(AB,CD)=-1,過阿波羅尼斯圓外點A作該圓的切線AS(S為切點),則切點S與該圓直徑直線ACD構(gòu)成的直線SC,SD分別為∠ASB的內(nèi)、外角平分線.

    注 在例1中,對于0<λ<1,只需將點A、B位置互換即可. 另外,作法2較作法1麻煩,但正是利用了調(diào)和點列性質(zhì),充分反映了事物的本質(zhì).

    例2 已知點P及圓O,作過點P關(guān)于該圓O的切線.

    ①當(dāng)點P為圓O上點S.

    作法 如圖2,過點S作SS′垂直圓O的直徑CD于B,作出點列D、C、B的調(diào)和點A,連接AS,則AS為已知圓O的切線.

    證明 如圖2,由于(AB,CD)=-1,且CD 為直徑的圓O為阿波羅尼斯圓. 此時,SS′⊥CD=B,由推論3,得到AS為已知圓O的切線.

    ②當(dāng)點P為圓O外點A.

    作法 如圖2,作出點列A、D、C 調(diào)和點B,過點B 作與圓O 直徑CD 垂直的弦SS′,連接AS、AS′,則AS、AS為已知圓O的切線.

    證明 如圖2,由于(AB,CD)=-1,且直徑為CD 的圓O 為阿波羅尼斯圓. 此時,SS′⊥CD=B,由推論3,則AS、AS′為已知圓O的切線.

    注 在例2 中,其做法較一般的歐式幾何作法麻煩,但利用調(diào)和點列將兩種作法統(tǒng)一起來,充分揭示其內(nèi)在聯(lián)系,這正是數(shù)學(xué)研究所追求的.

    圖3 競賽題圖示Fig.3 Chart of contest question

    3.2 問題答題

    由于阿波羅尼斯圓的趣味性,它成為研究相關(guān)問題的重要方法,尤其在相關(guān)高考題研究中,文獻(xiàn)不少[4-21].

    例3(2001年中國西部數(shù)學(xué)奧林匹克題) 如圖3,過圓O 外一點A 作其切線AS、AT,OA 與圓O 和ST 分別交于點C、B,EF為過B的任意弦. 求證:C為ΔAEF的內(nèi)心.

    證明 如圖3,由于阿波羅尼斯圓上任意點E到線段AB 兩端點滿足EA∶EB=λ=AC∶CB,則EC 為ΔEAB 的內(nèi)角平分線;同理FC 為ΔFAB 的內(nèi)角平分線,即點C 為ΔAEF的內(nèi)心.

    推論6 如圖3,在阿波羅尼斯圓中,對于(AB,CD)=-1,過點B作不與CD重合的弦EF,則AB平分∠EAF.

    圖4 高考題圖示Fig.4 Chart of the University Entrance Examination question

    推論7 如圖3,在阿波羅尼斯圓中,對于(AB,CD)=-1,過點B作不與CD重合的弦EF,則點C、D分別是ΔAEF的內(nèi)心和外心.

    例4(2019年江蘇省高考數(shù)學(xué)專題應(yīng)用題) 如圖4,一緝私艇巡航至距領(lǐng)海邊界線l(一條南北方向的直線)3.8 n mile的A處,發(fā)現(xiàn)在其北偏東30°方向相距4 n mile的B處有一走私船正欲逃跑,緝私艇立即追擊.已知緝私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍. 假設(shè)緝私艇和走私船均按直線方向以最大航速航行.

    1)若走私船沿正東方向逃離,試確定緝私艇的追擊方向,使得用最短時間在領(lǐng)海內(nèi)攔截成功;

    2)問:無論走私船沿何方向逃跑,緝私艇是否總能在領(lǐng)海內(nèi)成功攔截,并說明理由.

    解法 1)略.

    2)如圖4. 建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(2,2 3),設(shè)緝私艇在P(x,y)處成功攔截到走私船,因為緝私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍,即PA∶PB=3.

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