變與不變

朱蕾

社會(huì)在變革，技術(shù)在發(fā)展，特別是疫情期間，教學(xué)時(shí)空的變化，讓我們更深層次地去思考教學(xué)的本源是什么，為何而教。本期雜志的導(dǎo)讀，將透過(guò)教學(xué)中的種種變化，解讀其背后的不變。在變與不變中，厘清教學(xué)本質(zhì)。

一、變的是單位，不變的是“大想法”

本期“專(zhuān)題研究”里有一篇郜舒竹教授的文章《“乘”的想法始于哪兒》。一直以來(lái)我們都把“乘”視為“相同加數(shù)求和”，也就是“重復(fù)加”的過(guò)程，乘的目的是使加的過(guò)程簡(jiǎn)化，這也是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的普遍認(rèn)識(shí)。但郜教授在文章里卻有了不同的結(jié)論。郜教授通過(guò)論述“重復(fù)加的窘境”，發(fā)現(xiàn)“乘”作為運(yùn)算，其意義在小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中，呈現(xiàn)出不斷進(jìn)化的動(dòng)態(tài)特征，例如在低年級(jí)對(duì)乘運(yùn)算形成的認(rèn)識(shí)是重復(fù)加，那么到高年級(jí)學(xué)習(xí)小數(shù)和分?jǐn)?shù)的運(yùn)算時(shí)就會(huì)出現(xiàn)認(rèn)知困難。郜教授通過(guò)分析“‘增加的兩種眼光”，闡述了“乘”的想法始于看待“單位”的眼光的改變：“加”是保持單位不變的運(yùn)算，而“乘”是使單位改變的運(yùn)算。例如2米高的植物長(zhǎng)到6米，從“加”的眼光看，就是2米+4米=6米，原有高度和增加高度兩個(gè)加數(shù)可以分別看待，是一種互不影響的并列關(guān)系;如果我們換一種眼光，從“乘”的眼光看，這樣的生長(zhǎng)過(guò)程可以看作是2米×3=6米，這里的3與原有高度不是并列關(guān)系，是一種包含關(guān)系，表示3個(gè)2米。通過(guò)這樣的多個(gè)例子，進(jìn)一步說(shuō)明了從想法上說(shuō)，“乘”的認(rèn)識(shí)是先于“加”的，而且兩者有本質(zhì)的差異，“乘”的想法主要體現(xiàn)為“單位化”的眼光以及運(yùn)算過(guò)程中的“單位轉(zhuǎn)換”。這樣的想法在數(shù)數(shù)和記數(shù)時(shí)，就已經(jīng)出現(xiàn)。郜教授提出“乘”作為數(shù)學(xué)課程中的重要內(nèi)容，其意義是動(dòng)態(tài)的、發(fā)展的、變化的。認(rèn)知起點(diǎn)并不限于“加”。乘的想法源于“單位化”的眼光，乘的運(yùn)算在于實(shí)現(xiàn)單位轉(zhuǎn)化。

這篇文章在幫助我們厘清“乘”和“加”之間關(guān)系的同時(shí)，也給了我們很好的教學(xué)建議。即在計(jì)算教學(xué)中僅關(guān)注算法和算理是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還要關(guān)注背后的想法，抓住不變的那個(gè)具有普遍意義的“大想法（big idea）”，例如“單位化”和“單位轉(zhuǎn)化”這樣的大想法，對(duì)于學(xué)生思維發(fā)展以及今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都將會(huì)起到重要的作用，這也是目前我們提倡的基于素養(yǎng)導(dǎo)向的大概念教學(xué)，從教授專(zhuān)家結(jié)論轉(zhuǎn)向培養(yǎng)專(zhuān)家思維。

二、變的是內(nèi)容，不變的是基本取向

本期的“本期話題”是一組有關(guān)數(shù)學(xué)拓展課開(kāi)發(fā)與實(shí)施的文章。數(shù)學(xué)拓展課是基礎(chǔ)性課程的有益補(bǔ)充，在激發(fā)學(xué)生興趣、關(guān)注生活經(jīng)驗(yàn)、落實(shí)核心素養(yǎng)、實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)上有著不可替代的作用。《人民教育》2020年創(chuàng)刊70周年紀(jì)念號(hào)上的一篇文章《全球教育變革的六大趨勢(shì)與挑戰(zhàn)》中指出“項(xiàng)目式學(xué)習(xí)深入課程教學(xué)改革”是教育變革趨勢(shì)之一。面向未來(lái)，上好數(shù)學(xué)拓展課，有著極其重要的價(jià)值和意義。

潘紅娟老師和她的團(tuán)隊(duì)經(jīng)歷區(qū)域調(diào)研、行動(dòng)研究后，由點(diǎn)及面類(lèi)化梳理，初步形成了“數(shù)學(xué)繪本類(lèi)”“數(shù)學(xué)文化類(lèi)”“數(shù)學(xué)游戲類(lèi)”“項(xiàng)目學(xué)習(xí)類(lèi)”“綜合實(shí)踐類(lèi)”等各類(lèi)數(shù)學(xué)拓展課的基本模型。潘老師的團(tuán)隊(duì)給出了五個(gè)案例：《河貍是個(gè)修房高手》是數(shù)學(xué)繪本類(lèi)的拓展課;《小區(qū)垃圾知多少》是項(xiàng)目學(xué)習(xí)類(lèi)的拓展課;《共享單車(chē)中的數(shù)學(xué)問(wèn)題》是現(xiàn)實(shí)話題類(lèi)的拓展課;《測(cè)量人體的表面積》是綜合實(shí)踐類(lèi)的拓展課;《腳印的面積有多大》是數(shù)學(xué)文化類(lèi)的拓展課。通過(guò)閱讀這五個(gè)案例，我們發(fā)現(xiàn)教學(xué)的內(nèi)容在變，但不同課型的教學(xué)結(jié)構(gòu)、教學(xué)流程卻有著共性特點(diǎn)。潘老師在文中指出，數(shù)學(xué)拓展課的基本流程為：首先尋找核心知識(shí)，確定素養(yǎng)目標(biāo);第二步設(shè)計(jì)驅(qū)動(dòng)性問(wèn)題;第三步厘清解決問(wèn)題的認(rèn)知策略;第四步設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng)或項(xiàng)目任務(wù);第五步設(shè)計(jì)成果交流與評(píng)價(jià)方式;最后設(shè)計(jì)成果展示與延伸任務(wù)。但在這些不變中又蘊(yùn)含著變，不同內(nèi)容的同類(lèi)課，一定會(huì)有若干種變式，以適應(yīng)不同的學(xué)生、不同的情境和不同的主題。

辯證閱讀這組文章后，我們發(fā)現(xiàn)在變與不變中，恒定不變的其實(shí)是價(jià)值取向，“學(xué)科育人”是數(shù)學(xué)拓展課的立意之本。數(shù)學(xué)拓展課的基本取向是著眼于綜合素養(yǎng)，堅(jiān)守學(xué)科特質(zhì)，將“數(shù)學(xué)認(rèn)知目標(biāo)”融于“整體育人目標(biāo)”，這也是數(shù)學(xué)拓展課不變的基本取向。

三、變的是方法，不變的是學(xué)生立場(chǎng)

作為教師，我們每天面對(duì)的是學(xué)生，教育是直面人、發(fā)展人的事業(yè)，當(dāng)然學(xué)科教學(xué)也不例外，眼中有學(xué)生，心中才會(huì)有方法。本期就有這樣的文章說(shuō)明了變的是方法，不變的是學(xué)生立場(chǎng)。

曾根紅老師的《一年級(jí)學(xué)生“反向等式”掌握情況調(diào)查分析》一文，對(duì)一年級(jí)學(xué)生正向與反向計(jì)算題掌握情況進(jìn)行了調(diào)查，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)正向等式接觸多、練習(xí)多，正確率比較高，計(jì)算反向等式正確率偏低。曾老師通過(guò)對(duì)調(diào)查結(jié)果的統(tǒng)計(jì)分析以及對(duì)學(xué)生的訪談，發(fā)現(xiàn)主要原因是學(xué)生對(duì)反向等式的意義理解不深，缺少解決問(wèn)題的方法。曾老師也在文中給出了教師加強(qiáng)反向等式教學(xué)的操作建議，運(yùn)用直觀演示的方法，讓學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)過(guò)程，理解反向等式的意義，掌握解決問(wèn)題的方法。郜舒竹教授曾在《不同未必是錯(cuò)誤》一文中指出學(xué)生的任何“錯(cuò)誤”都有其合理性，這種合理性往往體現(xiàn)在學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和數(shù)學(xué)規(guī)律兩個(gè)方面。在教學(xué)過(guò)程中，教師的一個(gè)重要任務(wù)就是基于學(xué)生立場(chǎng)，研究這種合理性。首先要有意識(shí)地搜集、整理學(xué)生的錯(cuò)誤案例。然后辨別搜集來(lái)的案例究竟是不是錯(cuò)誤的。第三，分析產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因。最后思考如何實(shí)施有針對(duì)性的教學(xué)。這給了我們研究學(xué)生“錯(cuò)誤”的范式，本期曾根紅老師的研究就是這樣基于學(xué)生立場(chǎng)，給出教學(xué)方法。

研究“錯(cuò)誤”需要有學(xué)生立場(chǎng)，我們的教學(xué)設(shè)計(jì)亦是如此。謝紅英老師和張金河老師在《“變教為學(xué)”理念下的有效學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)》一文中指出，有效的教學(xué)活動(dòng)體現(xiàn)在學(xué)生的主體性上，要設(shè)計(jì)有效的學(xué)習(xí)活動(dòng)，教師可以在解決問(wèn)題的關(guān)鍵處、生活與數(shù)學(xué)的結(jié)合處、學(xué)生的認(rèn)知沖突處、學(xué)生的認(rèn)知錯(cuò)誤處這四個(gè)方面下功夫，認(rèn)真做到讓每一位學(xué)生都參與，每一位學(xué)生都有機(jī)會(huì)，每一位學(xué)生都受到重視，使每一位學(xué)生都獲得自由、自主、自信的發(fā)展。

此外，本期還有一些基于學(xué)生立場(chǎng)的文章值得一讀?！短窖h(huán)之“源理”? ?定循環(huán)之依據(jù)——以學(xué)定教“循環(huán)小數(shù)”實(shí)錄與評(píng)析》一文告訴我們，學(xué)生對(duì)循環(huán)小數(shù)的認(rèn)知不是零起點(diǎn)，教師需要把握學(xué)情，尊重學(xué)情，學(xué)生已經(jīng)知道的、自學(xué)能會(huì)的知識(shí)，就應(yīng)該放手讓學(xué)生展示，在自學(xué)和交流中不斷完善認(rèn)知。《素材 方法 過(guò)程——例談空間想象能力培養(yǎng)應(yīng)把握的三個(gè)要點(diǎn)》一文，利用案例說(shuō)明了教學(xué)中要選擇符合學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)的素材，才能引發(fā)學(xué)生主動(dòng)想象和探究?！稄碾s亂走向有序——記人教版二年級(jí)上冊(cè)“用三角尺拼角”一課教學(xué)》一文指出，要在分析學(xué)生錯(cuò)誤歸因的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)合適的教學(xué)環(huán)節(jié)展開(kāi)教學(xué)，以達(dá)成教學(xué)目標(biāo)。

尋找變與不變是一個(gè)辯證的過(guò)程，有了這樣的辯證閱讀，我們才能撥開(kāi)迷霧，看到本質(zhì)，找到教育的初心。這也是這期雜志帶給我們的思考。

（浙江省杭州市崇文教育集團(tuán)? ?310014）