小學(xué)數(shù)學(xué)問題串為何和何為*

劉賢虎

【摘? ?要】問題串可以作為學(xué)生學(xué)習(xí)的支架，實(shí)現(xiàn)“教、學(xué)、做”合一，發(fā)展學(xué)生的思維能力?？偨Y(jié)提煉在概念教學(xué)、計(jì)算教學(xué)、規(guī)則教學(xué)、解決問題教學(xué)中設(shè)計(jì)主題問題串的普遍性規(guī)律，能對(duì)教師的教學(xué)工作起到指導(dǎo)作用。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)問題串;設(shè)計(jì);教學(xué)

問題解決是20世紀(jì)80年代以來國際數(shù)學(xué)教育界提出的一個(gè)重要概念，也是課程標(biāo)準(zhǔn)中課程目標(biāo)闡述的四大維度之一，已成為廣大數(shù)學(xué)教育工作者持續(xù)關(guān)注的熱點(diǎn)。問題解決所指的問題與平常的練習(xí)和習(xí)題不同，它是具有挑戰(zhàn)性的、需要深入思考和探索才能解決的問題。問題解決的核心在于問題，實(shí)質(zhì)指向?qū)W生的思維。

一、問題串為（wéi）何

以問題為主線的教學(xué)，是將問題作為教學(xué)活動(dòng)的核心內(nèi)涵激發(fā)學(xué)生主動(dòng)參與的教學(xué)活動(dòng)，“教師和學(xué)生都應(yīng)以問題為中心進(jìn)行雙向的互動(dòng)，實(shí)現(xiàn)雙主體的雙互動(dòng)”[1]。如何發(fā)揮“問題”的引領(lǐng)作用，教師需要將每節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)進(jìn)行整體把握和深入思考，形成層層深入、邏輯關(guān)聯(lián)的問題串。這有利于學(xué)生明確學(xué)習(xí)目標(biāo)、整體把握學(xué)習(xí)內(nèi)容、提升學(xué)習(xí)效率和促進(jìn)思維發(fā)展。

“問題串”常常包括what（是什么，即知識(shí)技能）、why（為什么，即所包含的知識(shí)及知識(shí)之間的聯(lián)系和結(jié)構(gòu)）、where（從哪里來的，即獲取知識(shí)的方法策略和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）、how（怎樣，指向知識(shí)的價(jià)值意義），這些都是學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)該向自己提出的問題。經(jīng)常問這些問題是促進(jìn)學(xué)生元認(rèn)知能力發(fā)展的有效手段，而元認(rèn)知水平的高低正是決定問題解決成功與否的一個(gè)重要因素。

二、問題串為（wèi）何

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出，要培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題與解決問題的能力。在以問題為主線的教學(xué)中恰當(dāng)應(yīng)用問題串較為關(guān)鍵，問題串將教學(xué)內(nèi)容整合為一體，使目標(biāo)更明確，結(jié)構(gòu)更清晰，活動(dòng)更聚焦，能有效培養(yǎng)學(xué)生問題解決的能力。各個(gè)版本教材不同程度地體現(xiàn)了運(yùn)用問題串導(dǎo)學(xué)導(dǎo)教的特點(diǎn)，如人教版“解決問題”內(nèi)容從解題步驟上呈現(xiàn)了“閱讀與理解、分析與解答、回顧與反思”等問題串;北師大版整套教材更是以“情境+問題串”為其主要的編寫特色。在實(shí)施過程中，問題串將“學(xué)生的學(xué)習(xí)過程、教師的教學(xué)過程、內(nèi)容的呈現(xiàn)過程、目標(biāo)的達(dá)成過程有機(jī)整合在一起”[2]，有效地促進(jìn)了學(xué)生四能和四基的發(fā)展。

三、問題串何為

作為教師，要善于在研究一些具體學(xué)習(xí)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，總結(jié)出相關(guān)教學(xué)問題串的普遍性規(guī)律，進(jìn)而指導(dǎo)新的教學(xué)工作。

（一）概念教學(xué)，著眼多元表征從直觀到抽象，促進(jìn)意義建構(gòu)

數(shù)學(xué)概念是小學(xué)數(shù)學(xué)中重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容。學(xué)習(xí)概念有兩種形式，一種是直接揭示，指從大量的例子出發(fā)，以歸納的方式抽取出一類事物的共同屬性。小學(xué)階段的概念大多是描述性的，如乘法的意義、角、分?jǐn)?shù)、小數(shù)等。第二種是在已有的知識(shí)基礎(chǔ)上得出，屬于概念的同化，即學(xué)習(xí)者利用已有概念來理解一類事物的本質(zhì)特征，從而明確概念的方式。如“倍”的概念就是建立在乘法概念的基礎(chǔ)上的。概念的形成需要借助一定問題情境，使“新概念”與學(xué)生現(xiàn)有圖式建立實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系。一般情況下，概念教學(xué)需要關(guān)注的問題有：概念是什么，為什么要研究這個(gè)概念，這個(gè)概念和別的概念有什么聯(lián)系和區(qū)別等[3]。

如人教版四下“小數(shù)的意義”一課的問題串如下（本文課例都源于人教版）：

1. 0.4，0.78分別表示什么意思？你能把自己的想法畫出來或記錄下來嗎？（畫一畫，寫一寫）

2. 0.016表示什么意思？你能把自己的想法畫出來或記錄下來嗎？（畫一畫，寫一寫）

3.你發(fā)現(xiàn)一位小數(shù)、兩位小數(shù)、三位小數(shù)分別表示什么？相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率是多少？（比一比，想一想，說一說）

問題串里的問題1、2是“一位、兩位、三位小數(shù)分別是什么”的具象化，問題3指向概念之間的聯(lián)系，3個(gè)問題明確了學(xué)習(xí)的方向，能讓學(xué)生整體把握這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。教師還可設(shè)計(jì)優(yōu)質(zhì)的子問題，不斷追問，逐步觸及數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。如學(xué)生表示出0.4后，教師追問，你怎么知道這就是0.4？0.7怎樣表示，0.9呢？在0.1，0.4，0.7和0.9中，你認(rèn)為哪一個(gè)小數(shù)最重要？這樣的追問，從淺到深，由表及里，指向核心概念——計(jì)數(shù)單位，能夠促進(jìn)概念的意義建構(gòu)和學(xué)生的深層理解。

小學(xué)生的思維以直觀形象思維為主，因此概念教學(xué)要遵循從直觀到抽象的認(rèn)知過程。與此同時(shí)，概念的學(xué)習(xí)過程要讓學(xué)生經(jīng)歷情境表征、語言表征、圖形表征、動(dòng)作表征和符號(hào)表征等。多種表征方式之間的轉(zhuǎn)化越順暢，學(xué)生對(duì)概念的理解越深刻。

（二）解決問題教學(xué)，探索知識(shí)應(yīng)用從一般到特殊，彰顯方法策略

解決問題教學(xué)在把“四能”作為目標(biāo)的同時(shí)，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性也是目標(biāo)之一。數(shù)學(xué)教育家波利亞在《怎樣解題》中將數(shù)學(xué)問題解決過程分為四個(gè)階段，即弄清問題、擬訂計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃和回顧與反思[4]。人教版“解決問題”內(nèi)容采用類似結(jié)構(gòu)進(jìn)行編排，一、二年級(jí)教材呈現(xiàn)三個(gè)步驟：知道了什么、怎樣解答、解答正確嗎。三、四、五、六年級(jí)教材變?yōu)椋洪喿x與理解、分析與解答、回顧與反思。這樣的編排設(shè)計(jì)便于學(xué)生掌握解決問題的基本步驟與方法，形成模式思維。

解決問題的過程不僅是知識(shí)的應(yīng)用過程，更是學(xué)習(xí)各種數(shù)學(xué)思想方法，如歸納、類比、轉(zhuǎn)化、分類、優(yōu)化、有序等，以及各種策略，如畫圖、列表、假設(shè)等的過程。教學(xué)中通過對(duì)信息的收集、處理，經(jīng)歷猜想、嘗試和推理，比較、反思、驗(yàn)證解決問題的方法，幫助學(xué)生提高解決問題的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。因此，解決問題教學(xué)關(guān)注的一般問題有：你是怎樣解決的？你想到了哪些方法策略？解決問題的關(guān)鍵是什么？

如五上“分段計(jì)費(fèi)”一課提供的信息：收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)： 3km以內(nèi)7元;超過3km，每千米1.5元（不足1km按1km計(jì)算）。本課的問題串是：

1.楊叔叔坐了6.3km，他應(yīng)付多少錢？（想一想，畫一畫，算一算）

2.嘗試完成出租車價(jià)格表。除了用表格表示收費(fèi)情況，你還能用其他的方式表示出分段收費(fèi)嗎？（填一填，畫一畫，說一說）

3.解決分段計(jì)費(fèi)問題的關(guān)鍵是什么？（想一想，寫一寫，說一說）

教學(xué)時(shí)應(yīng)根據(jù)學(xué)生的思維習(xí)慣，引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)、提出問題——發(fā)現(xiàn)按照一般的思路無法解決，引發(fā)思考“分段計(jì)費(fèi)為什么不是單價(jià)×里程數(shù)”;以數(shù)學(xué)的思維分析、解決問題——先分段，再計(jì)算;訓(xùn)練學(xué)生掌握常見的問題解決的策略——列表、畫圖等，關(guān)注解決問題方法的多樣性。問題解決后，還要督促學(xué)生深入思考是否存在某些隱藏的錯(cuò)誤，能否找到更有效的解題方法，這一解題過程可獲得哪些一般性的結(jié)論和啟示等。

（三）計(jì)算教學(xué)，立足概念意義從特殊到一般，理解算理算法

計(jì)算教學(xué)在四基的視角下被賦予了新的意義和內(nèi)涵。算理是四則運(yùn)算的理論基礎(chǔ)，它是由數(shù)和運(yùn)算概念、運(yùn)算定律和運(yùn)算性質(zhì)等構(gòu)成的。具體的計(jì)算方法是四則運(yùn)算的基本程序和方法。算理為算法提供理論依據(jù)，學(xué)生對(duì)算理的理解和算法的掌握通常要經(jīng)歷從直觀到抽象、從特殊到一般的過程。在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要關(guān)注問題情境、學(xué)情以及應(yīng)給予的學(xué)習(xí)支持。

如六上“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”，教材先安排“把一張紙的[45]平均分成2份，每份是這張紙的幾分之幾？自己試著折一折，算一算”。接著計(jì)算[45]÷3，最后提出“根據(jù)上面的折紙實(shí)驗(yàn)和算式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？”教材借助直觀模型（面積），支撐分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的教學(xué)。大部分學(xué)生能根據(jù)認(rèn)知基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，想到豎著分，直觀地感受到4個(gè)[15]平均分成2份，每份是2個(gè)[15]，即[25]。還有學(xué)生會(huì)想到橫著分，把5份再平均分2份，相當(dāng)于把這張紙平均分10份，也就是求[45]的[12]是多少，[45]÷2=[45]×[12]=[410]=[25]。教師要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生將這兩種方法與分?jǐn)?shù)的意義、運(yùn)算的意義相聯(lián)系，回到知識(shí)的起點(diǎn)。學(xué)生接著思考“把一張紙的[45]平均分成3份，每份是這張紙的幾分之幾？”發(fā)現(xiàn)只能用第二種思路。學(xué)生對(duì)比優(yōu)化，發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)除以整數(shù)（不為0），當(dāng)分子是除數(shù)的倍數(shù)時(shí)，直接除比較簡單，但更一般的方法是用分?jǐn)?shù)乘這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)。接著應(yīng)脫離具體情境和動(dòng)手操作，讓學(xué)生計(jì)算[712]÷4，并借助數(shù)概念及運(yùn)算意義進(jìn)行表征，使學(xué)生對(duì)算理的理解走向深入。這樣可使學(xué)生從直觀到抽象、從特殊到一般地認(rèn)識(shí)規(guī)律，也有足夠的例子理解算理、歸納算法。

因此，“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”的問題串可設(shè)計(jì)如下：

1.把一張紙的[45]平均分成2份，每份是這張紙的幾分之幾？（折一折，算一算）

2.把一張紙的[45]平均分成3份，每份是這張紙的幾分之幾？（折一折，算一算，比一比）

3. [712]÷4怎么計(jì)算呢？說說你的解釋。（算一算，說一說）

4.結(jié)合以上計(jì)算，請(qǐng)你說說分?jǐn)?shù)除以整數(shù)該怎么計(jì)算。（想一想，說一說）

計(jì)算教學(xué)的一般問題是：具體情境下如何計(jì)算，你是怎么想的？脫離情境變成抽象的數(shù)如何解釋計(jì)算過程？這一類計(jì)算的方法是什么？

（四）規(guī)則教學(xué)，經(jīng)歷探究發(fā)現(xiàn)從猜想到驗(yàn)證，體驗(yàn)變與不變

小學(xué)數(shù)學(xué)中的定律、性質(zhì)、公式及規(guī)律等教學(xué)，簡稱為規(guī)則教學(xué)（不包括計(jì)算教學(xué)）。教學(xué)中可創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生合情推理，形成猜想，然后驗(yàn)證得出定律、性質(zhì)、公式及規(guī)律等。“歸納”和“類比”是合情推理的重要方式，如教學(xué)“加法和乘法的交換律”“乘法分配律”“比例的基本性質(zhì)”“商不變性質(zhì)”“小數(shù)的基本性質(zhì)”“小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)引起小數(shù)大小變化的規(guī)律”等常常利用歸納或類比推理。一般情況下，規(guī)則教學(xué)應(yīng)提出的問題是：發(fā)現(xiàn)了什么？如何驗(yàn)證自己的發(fā)現(xiàn)是否正確？前后之間有什么聯(lián)系？還需再舉例嗎？發(fā)現(xiàn)規(guī)則后，合情推理還需往前走一步。學(xué)生既要借助合情推理來發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，還要利用演繹推理來分析問題、解決問題。

如“平行四邊形的面積”，對(duì)如何計(jì)算平行四邊形的面積學(xué)生的表現(xiàn)主要有三種，第一種是（底邊+鄰邊）×2，第二種是鄰邊相乘，第三種是底×高。組織學(xué)生討論，發(fā)現(xiàn)第一種計(jì)算的是平行四邊形的周長，第二種計(jì)算的是長方形的面積，這兩種都不對(duì)。第三種學(xué)生一下子解釋不清楚，引發(fā)猜想：平行四邊形的面積計(jì)算是不是底×高呢。通過以下問題串引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行驗(yàn)證。

1.借助數(shù)方格的方法，你發(fā)現(xiàn)平行四邊形的面積等于什么？（數(shù)一數(shù)，算一算，比一比）

2.你打算把平行四邊形轉(zhuǎn)化成什么圖形？平行四邊形與轉(zhuǎn)化后的圖形有什么聯(lián)系？（剪一剪，比一比，說一說）

3.平行四邊形的面積計(jì)算，你還能想到其他的驗(yàn)證方法嗎？（想一想，說一說）

學(xué)生先借助數(shù)方格直觀感受，接著進(jìn)行探究，通過畫、剪、移、拼，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，發(fā)現(xiàn)平行四邊形與拼成的長方形之間的聯(lián)系，即形狀變了，面積大小沒變，進(jìn)而得出面積計(jì)算公式。其間教師要導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行抽象，思考感悟數(shù)學(xué)思想方法。

問題串的設(shè)計(jì)要環(huán)環(huán)相扣、由淺入深，激勵(lì)學(xué)生思考。在設(shè)計(jì)問題串時(shí)，要把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，還要善于將數(shù)學(xué)問題由原來的“學(xué)術(shù)形態(tài)”轉(zhuǎn)化為適合學(xué)生學(xué)習(xí)的“教育形態(tài)”。如六上“圓的初步認(rèn)識(shí)”一課的問題串是：什么是圓？圓有什么作用？圓與其他圖形有什么聯(lián)系和區(qū)別？可以進(jìn)行適當(dāng)完善：什么樣的圖形是圓？生活中哪些物體是圓，能換成別的圖形嗎？圓和其他平面圖形有什么聯(lián)系和區(qū)別？正如張奠宙先生所言，把數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，一是靠對(duì)數(shù)學(xué)的深入理解，二是要借助人文精神的融合。

參考文獻(xiàn)：

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（廣東省東莞松山湖中心小學(xué)? ? 523808）