基本不等式的理解與應用
——以近年高考題為例

◇ 廖永福

基本不等式是高中數學的重要內容，也是高考數學的熱點.在應用基本不等式時，因其特征較多、題型多變、解法靈活，同學們難以掌握.本文試圖從基本不等式的特征入手，幫助大家厘清解題思路，促進思維發(fā)展.

1 直接用

對于符合基本不等式特征的式子，可以嘗試直接應用基本不等式解題.

例1(2019年上海卷)若的最大值為_________.

分析條件等式左邊符合基本不等式的特征，可以嘗試直接應用基本不等式求解.

解因為x，y∈R＋，所以

本題著重考查了基本不等式及其應用，屬于基礎題.

變式1(2013年福建卷)若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是( ).

A.[0，2] B.[－2，0]

C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2]

變式2(2010年山東卷)已知x，y∈R＋，且滿足，則xy的最大值為________.

變式3(2014年上海卷)若實數x，y滿足xy＝1，則x2＋2y2的最小值為_________.

答案1.D. 2.3. 3

2 變形后用

對于不符合基本不等式特征的式子，可先設法把它轉化為符合基本不等式特征的式子，再應用基本不等式，常用的變形技巧有配湊、拆分等.

例2(2011年重慶卷)若函數(x＞2)，在x＝a處取最小值，則a＝( ).

分析把函數解析式整理成符合基本不等式特征的形式，再求解.

解因為x＞2，所以x－2＞0.所以f(x)＝x＋

本題主要考查基本不等式的應用，考查考生分析問題和解決問題的能力.解題關鍵是通過配湊使f(x)符合基本不等式的特征，屬于基礎題.

變式1(2010年重慶卷)已知t＞0，則函數y＝的最小值為_________.

變式2(2011年湖南卷)設x，y∈R，且xy≠0，則的最小值為________.

答案1.－2. 2.9.

3 反復用

對于一些比較復雜的式子，有時需要反復應用基本不等式，這時要注意每次不等式取等條件是否一致，以確定能否取到最大值或最小值.

例3(2017年天津卷)若a，b∈R，ab＞0，則的最小值為________.

分析應用兩次基本不等式，即可求出最小值.

解因為a，b∈R，ab＞0，所以

本題主要考查基本不等式的應用，在反復應用基本不等式時，各個取等條件必須同時成立，否則取不到最值，屬于中檔題.

變式1(2009年重慶卷)已知a＞0，b＞0，則的最小值是( ).

變式2(2010年四川卷)設a＞b＞0，則a2＋的最小值是( ).

A.1 B.2 C.3 D.4

變式3(2010年四川卷)設a＞b＞c＞0，則的最小值是( ).

答案1.C. 2.D. 3.B.

4 先代后用

對于條件最值問題，可嘗試用局部代入法或整體代入法求解，前者是指先將條件等式變形，其中一個變量用其他變量表示，再代入所求式子中；后者是指將條件等式適當變形后整體代入，也稱1的代換法或常數代換法.

例4(2020年江蘇卷)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，則x2＋y2的最小值是_________.

分析由條件等式求得x2，代入所求式子并整理后，可用基本不等式求出最小值.

本題主要考查基本不等式在求解函數最值中的應用，解答本題的關鍵是把條件等式變形后整體代入，屬于中檔題.

變式1(2017年山東卷)若直線0，b＞0)過點(1，2)，則2a＋b的最小值為________.

變式2(2008年湖南卷)設0＜x＜1，則y＝的最小值為( ).

A.24 B.25 C.26 D.1

變式3(2014年重慶卷)若log4(3a＋4b)＝，則a＋b的最小值是( ).

變式4(2013年天津卷)設a＋b＝2，b＞0，則當a＝________時取得最小值.

變式5(2019年天津卷)設x＞0，y＞0，x＋2y＝4，則的最小值為________.

答案1.8. 2.B. 3.D. 4.－2.5.

5 先用后代

在條件最值問題中，若條件等式和所求式子有一個符合基本不等式的特征，則可嘗試應用基本不等式，把條件等式或其變形后的式子代入所求式子或其變形后的式子中求解.

例7(2018年天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，則的最小值為________.

分析先對所求表達式直接應用基本不等式，再把已知條件代入求解即可.

本題考查應用基本不等式求最值，考查計算能力.解題的關鍵是對所求表達式應用基本不等式后，再把已知條件代入，屬于中檔題.

變式(2011年天津卷)已知log2a＋log2b≥1，則3a＋9b的最小值為_________.

答案18.

6 為消元而用

在條件最值問題中，若條件等式(或變形后)只含有兩數的和與積，則求兩數和(或積)的最值問題可轉化為解不等式問題.先建立兩數和與積之間的不等關系，再把條件等式變成用和(或積)表示積(或和)的形式后代入.

例8(2010年浙江卷)若正實數x，y滿足2x＋y＋6＝xy，則xy的最小值是_________.

分析應用基本不等式可得，把2x＋y＝xy－6代入后得到一個關于xy的不等式，解這個不等式即得.

解因為x，y都是正數.把2x＋y＝xy－6代入上式，得，即

本題主要考查基本不等式的應用、換元思想和一元二次不等式的解法，解題關鍵是應用基本不等式列出不等式，進而得到一個關于的一元二次不等式，屬于中檔題.

變式1(2015年湖南卷)若實數a，b滿足，則ab的最小值為( ).

變式2(2010年重慶卷)已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，則x＋2y的最小值是( ).

變式3(2011年浙江卷)若實數x，y滿足x2＋y2＋xy＝1，則x＋y的最大值是_________.

答案1.C. 2.B. 3.

7 變著用

例9(2020年海南卷)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，則( ).

分析選用基本不等式的變式和不等式的性質不難得出結果.

解因為1＝(a＋b)2≤2(a2＋b2)，所以a2＋故A正確.

因為a＞0，b＞0且a＋b＝1，所以2(a＋b)＝2，所以，故D正確.

綜上，選ABD.

本題考查不等式的性質和基本不等式的應用，考查學生的運算能力和轉換能力，靈活運用基本不等式的變式是解題的關鍵，屬于中檔題.

變式1(2015年上海卷)已知a＞0，b＞0，若a＋b＝4，則( ).

變式2(2010年安徽卷)若a＞0，b＞0，a＋b＝2，則下列不等式對一切滿足條件的a，b恒成立的是_________(寫出所有正確命題的編號).