高考平衡問題常見題型分類及求解策略

田長軍

平衡問題是高考物理每年必考的知識點，要求考生只研究共點力作用下物體的平衡問題. 筆者對多年的高考真題進行了研究，總結了高考中常見的幾類題型，并給出了求解方法，希望對學生備考提供幫助.

1. 一般平衡問題.

【例1】（2020年全國卷Ⅲ）如圖1所示，懸掛甲物體的細線拴牢在一不可伸長的輕質細繩上O點處;繩的一端固定在墻上，另一端通過光滑定滑輪與物體乙相連. 甲、乙兩物體質量相等. 系統(tǒng)平衡時，O點兩側繩與豎直方向的夾角分別為α和β. 若α=70°，則β等于（ ）

A. 45° B. 55° C. 60° D. 70°

解析：甲物體是拴牢在O點，且甲、乙兩物體的質量相等，則甲、乙繩的拉力大小相等，O點處于平衡狀態(tài)，則左側繩子拉力的方向在甲、乙繩子的角平分線上，如圖2所示，

根據(jù)幾何關系有180°=2β+α，解得β=55°，故選B.

求解策略：三力平衡問題中，任意兩個力的合力與第三個力等大反向，且正好組成一個三角形，這種問題最終是將力學平衡問題轉化為幾何問題來解決.

2. 動態(tài)平衡問題.

【例2】（2019年全國卷Ⅰ）如圖3所示，一粗糙斜面固定在地面上，斜面頂端裝有一光滑定滑輪. 一細繩跨過滑輪，其一端懸掛物塊N，另一端與斜面上的物塊M相連，系統(tǒng)處于靜止狀態(tài). 現(xiàn)用水平向左的拉力緩慢拉動N，直至懸掛N的細繩與豎直方向成45°. 已知M始終保持靜止，則在此過程中（ ）

A. 水平拉力的大小可能保持不變

B. M所受細繩的拉力大小一定一直增加

C. M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加

D. M所受斜面的摩擦力大小可能先減小后增加

解析：對N受力分析可知，物體在重力、水平拉力F和細繩的拉力FT三個力的作用下處于平衡狀態(tài)，做出三個力的矢量三角形，如圖4所示. FT與豎直方向的夾角逐漸增大的過程中，水平拉力F的大小逐漸增大，細繩的拉力FT也一直增大，選項A錯誤，B正確;

M的質量與N的質量的大小關系不確定，設斜面傾角為θ，由分析可知FTmin=mN g，故若mN g≥mM gsin θ，則M所受斜面的摩擦力大小會一直增大，若mN g

求解策略：本題是三力動態(tài)平衡問題，也是高考中最常見的動態(tài)平衡問題. 三力動態(tài)平衡問題常見解法有：

（1）三角形圖解法：適用于物體所受的三個力中，有一力的大小和方向均不變，另一個力的方向不變，大小變化，第三個力則大小、方向均發(fā)生變化的問題. 這類問題先將三個力平移，首尾相連構成閉合三角形，然后觀察哪些力變化，哪些力不變，將方向不變的力延長，將方向變化的力按題目要求進行旋轉，變化過程中物體一直處于平衡狀態(tài)，三角形總是存在，只是形狀發(fā)生了改變，比較這些不同形狀的矢量三角形，各力的大小及變化就非常明顯了.

（2）相似三角形法：適用于物體所受的三個力中，一個力大小、方向不變，其它二個力的方向均發(fā)生變化，且三個力中沒有二力保持垂直關系，但可以找到力構成的矢量三角形相似的幾何三角形的問題. 這類問題先正確分析物體的受力，畫出受力分析圖，將三個力的矢量首尾相連構成封閉三角形，再尋找與力的三角形相似的幾何三角形，利用相似三角形的性質，建立比例關系，把力的大小變化問題轉化為幾何三角形邊長的大小變化問題進行討論.

（3）作輔助圓法：適用的問題是物體所受的三個力中，開始時兩個力的夾角為90°的情況. 這類問題先對物體受力分析，畫出力的示意圖，將三個力的矢量首尾相連構成封閉三角形，然后根據(jù)力的變化情況具體分析即可看出力的變化規(guī)律.

（4）解析法：適用的類型較為廣泛. 先對物體受力分析，畫力的示意圖，根據(jù)平衡條件列方程，物理量的變化規(guī)律在方程中即可發(fā)現(xiàn). 有的題目還需要根據(jù)函數(shù)的單調性等數(shù)學方法求解某一區(qū)間內的最值后才能討論其變化規(guī)律.

3. 連接體中的平衡問題.

【例3】（2020年山東卷）如圖5所示，一輕質光滑定滑輪固定在傾斜木板上，質量分別為m和2m的物塊A、B，通過不可伸長的輕繩跨過滑輪連接，A、B間的接觸面和輕繩均與木板平行. A與B間、B與木板間的動摩擦因數(shù)均為μ，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力. 當木板與水平面的夾角為45°時，物塊A、B剛好要滑動，則μ的值為（ ）

A.?B.?C.?D.

解析：（解法一：隔離法）當木板與水平面的夾角為45°時，兩物塊剛好滑動，對A物塊受力分析如圖6，沿斜面方向，A、B之間的滑動摩擦力f1= N= mgcos45°①，根據(jù)平衡條件可知T=mgsin45°+ mgcos45°②，對B物塊受力分析如圖7，沿斜面方向，B與斜面之間的滑動摩擦力f2= N′= ·3mgcos45°③，根據(jù)平衡條件可知2mgsin45°=T+ mgcos45°+ ·3mgcos45°④，聯(lián)立②④式可得 = ，C正確.

（解法二：整體-隔離法）對A受力分析，由平衡條件知T=mgsin45°+ mgcos45°，對AB整體受力分析，由平衡條件知2T+3 mgcos45°=3mgsin45°，聯(lián)立以上兩式可得 = .

求解策略：在連接體問題中，一般都是兩個及以上的物體發(fā)生相互作用，無論系統(tǒng)中的物體處于靜止狀態(tài)還是勻速直線運動狀態(tài)，加速度都為零. 可將系統(tǒng)中的多個物體看作一個整體，捆綁在一起受力分析，即整體法.也可以將某個物體單獨分離出來受力分析，即隔離法. 用整體法和隔離法，再根據(jù)平衡條件列方程求解.

4. 復合場中的平衡問題

【例4】（2017年全國卷Ⅰ）如圖8所示，空間某區(qū)域存在勻強電場和勻強磁場，電場方向豎直向上（與紙面平行），磁場方向垂直于紙面向里，三個帶正電的微粒a、b、c電荷量相等，質量分別為ma、mb、mc，已知在該區(qū)域內，a在紙面內做勻速圓周運動，b在紙面內向右做勻速直線運動，c在紙面內向左做勻速直線運動. 下列選項正確的是（? ?）

A. ma>mb>mc B. mb>ma>mc

C. mc>ma>mb D. mc>mb>ma

解析：設三個微粒的電荷量均為q，a在紙面內做勻速圓周運動，說明洛倫茲力提供向心力，重力與電場力平衡，得ma g=qE;b在紙面內向右做勻速直線運動，三力平衡，得mbg=qE+qvB;c在紙面內向左做勻速直線運動，三力平衡，得mc g+qvB=qE. 三式比較即得mb>ma>mc，故選項B正確，A、C、D錯誤.

求解策略：帶電粒子以某一速度垂直進入磁場時，會受到洛倫茲力的作用，進入電場時，會受到電場力的作用. 若帶電粒子在電場、磁場和重力場三個場的疊加場中處于平衡狀態(tài)，對粒子受力分析，列方程求解. 不過在分析的過程中需要注意兩個問題，一是若粒子處于靜止狀態(tài)，則不受洛倫茲力的作用. 二是注意各力的空間方向，電場力、洛倫茲力、重力和其他力不一定在同一平面內.

5. 電磁感應中的平衡問題.

【例5】（2015年海南卷）如圖9所示，兩平行金屬導軌位于同一水平面上，相距l(xiāng)，左端與一電阻R相連;整個系統(tǒng)置于勻強磁場中，磁感應強度大小為B，方向豎直向下. 一質量為m的導體棒置于導軌上，在水平外力作用下沿導軌以速度v勻速向右滑動，滑動過程中始終保持與導軌垂直并接觸良好. 已知導體棒與導軌間的動摩擦因數(shù)為 ，重力加速度大小為g，導軌和導體棒的電阻均可忽略. 求：

（1）電阻R消耗的功率;

（2）水平外力的大小.

解析：（1）導體切割磁感線運動產生的電動勢為E=Blv，

根據(jù)歐姆定律，閉合回路中的感應電流為I= ，

電阻R消耗的功率為P=I2R，聯(lián)立可得P= .

（2）對導體棒受力分析，受到向左的安培力和向左的摩擦力，向右的外力，三力平衡，故有F安+ mg=F，F(xiàn)安=BIl=B· ·l，故F= + mg.

求解策略：導體棒在磁場中切割磁感線運動時，導體棒相當于電源，若回路閉合，回路中會有感應電流，這時導體棒也相當于通電導體在磁場中切割磁感線運動，會受到安倍力的作用.若導體棒處于勻速直線運動狀態(tài)，通過受力分析，列平衡方程求解. 但需要特別注意的是，若磁場方向與導體棒和導軌所在的平面不垂直，安倍力的方向就與導體棒運動速度方向不在一條直線上，需要對安培力進行分解，用正交分解法解決.

6. 平衡中的臨界與極值問題.

【例6】（2013年全國卷Ⅱ）如圖10所示，在固定斜面上的一物塊受到一外力的作用，F(xiàn)平行于斜面上. 若要物塊在斜面上保持靜止，F(xiàn)的取值應有一定范圍，已知其最大值和最小值分別為F1和F2（F2>0）. 由此可求出（ ）

A. 物塊的質量

B. 斜面的傾角

C. 物塊與斜面間的最大靜摩擦力

D. 物塊對斜面的正壓力

解析：設滑塊受到的最大靜摩擦力為f，對滑塊受力分析，當靜摩擦力平行斜面向下時，拉力最大，有F1-mgsin -f=0;當靜摩擦力平行斜面向上時，拉力最小，有：F2-mgsin +f=0，聯(lián)立解得：f= ，故C正確;mgsin = ，因質量和傾角均未知，故A錯誤，B錯誤;物塊對斜面的正壓力為：N=mgcosθ，未知，故D錯誤;故選C.

求解策略：處理臨界與極值問題一般有三種方法.（1）解析法：根據(jù)物體的平衡條件列出平衡方程，用數(shù)學方法求極值，例如導數(shù)、函數(shù)的單調性、配方、均值不等式等.（2）圖解法：在三個力作用下的平衡問題中，可根據(jù)圖解法，用矢量三角形求解最值（點到直線的距離，垂線段最短）.（3）極限法：極限法是一種處理極值問題最有效的方法之一，它是指通過恰當選取某個變化的物理量將問題推向極端（如“極大”“極小”等），從而把比較隱蔽的臨界現(xiàn)象暴露出來，快速求解.

7. 平衡中的STSE問題.

【例7】（2012年全國卷Ⅱ）拖把是由拖桿和拖把頭構成的擦地工具（如圖11甲）. 設拖把頭的質量為m，拖桿質量可以忽略;拖把頭與地板之間的動摩擦因數(shù)為常數(shù)μ，重力加速度為g，某同學用該拖把在水平地板上拖地時，沿拖桿方向推拖把，拖桿與豎直方向的夾角為θ.

（1）若拖把頭在地板上勻速移動，求推拖把的力的大小.

（2）設能使該拖把在地板上從靜止剛好開始運動的水平推力與此時地板對拖把的正壓力的比值為λ. 已知存在一臨界角θ0，若θ≤θ0，則不管沿拖桿方向的推力多大，都不可能使拖把從靜止開始運動. 求這一臨界角的正切tanθ0.

解析：（1）設沿拖桿方向用大小為F的力推拖把，地板對拖把的支持力為N，摩擦力為f，建立坐標系，受力分析，如圖11（乙）所示. 利用正交分解法，將推拖把的力沿豎直和水平分解，由平衡條件有

Fcos +mg = N ……①

Fsin? = f ……②

f =? N ……③

聯(lián)立①②③式得F= mg ……④

（2）若不管沿拖桿方向用多大的力都不能使拖把從靜止開始運動，應用

fsin ≤ N ……⑤

這時，①式仍滿足，聯(lián)立①⑤式得

sin - cos ≤? ……⑥

上式右邊總是大于零，且當F無限大時極限為零，有

sin - cos ≤0 ……⑦

使上式成立的角滿足θ≤θ0，這里是題中所定義的臨界角，即當θ≤θ0時，不管沿拖桿方向用多大的力都推不動拖把. 臨界角的正切值為tanθ0= .

求解策略：高考物理中，涉及科學、技術、社會、環(huán)境等STSE問題的新情景類試題越來越多，選材靈活，立意新穎，要求學生從日常生活中提煉出物理模型，再將物理模型轉化成數(shù)學公式求解. 物體受到三個或三個以上共點力的作用而處于平衡狀態(tài)時，通過建立平面直角坐標系將物體所受的力分解為相互垂直的兩組，每組力都滿足平衡條件，即正交分解法. 本題中，拖把頭受四個力，用正交分解法解決較為簡便.

責任編輯 李平安