圖從“匕首”現(xiàn)，數(shù)從像中來

雷小華

眾所周知，函數(shù)是高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的重要組成部分，是歷屆高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容，而函數(shù)及其圖像又是考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，所以平時(shí)的教學(xué)中必須給予高度重視. 函數(shù)圖像是相互依賴的兩個(gè)變量之間外在、直觀的表現(xiàn)形式，是函數(shù)解析式本質(zhì)屬性的直譯語言，兩者之間有著必然的聯(lián)系. 如何識辨函數(shù)與其圖像之間的對應(yīng)關(guān)系？如何理清它們之間的有機(jī)聯(lián)系？考試作答時(shí)是否能像老中醫(yī)那樣“望、聞、問、切”似的快速獲得正確答案？分析表明，函數(shù)圖像的識辨問題可試探著從四方面（戲稱四把“匕首”）入手而解答，另一方面，由表像（圖像）也可生成其特定的函數(shù)解析式. 故本文且命名為圖從“匕首”現(xiàn)，數(shù)從像中來.

一、圖從“匕首”現(xiàn)

函數(shù)圖像的識辯，應(yīng)抓?、俸瘮?shù)的性質(zhì)先整體地把握奇偶性，②再局部地從函數(shù)值的范圍或特值點(diǎn)來突破，③有必要時(shí)依靠導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性或極值、最值掌握其起伏形態(tài)，④最后兼顧其自變量x→+∞、x→0+（或x→0-）時(shí)所對應(yīng)的離原點(diǎn)遠(yuǎn)近函數(shù)值y的變化趨勢這四方面綜合得出答案，這就是破解函數(shù)圖像識辯問題的四把“匕首”，即：

抓全局，定奇偶（匕首1）;算特值，看范圍（匕首2）;

握起伏，估極值（匕首3）;觀遠(yuǎn)近，判走勢（匕首4）.

有了這4把“匕首”，函數(shù)圖像不難現(xiàn)出原形！

1. 2020年高考試題中涉及函數(shù)圖像的識辨試題分析.

下面，且看試題如何被這四把“匕首”破解，過程如下.

2. 近年高考試題中涉及函數(shù)圖像的識辨試題分析.

其解法如下.

二、數(shù)從像中來

當(dāng)給出某一特定類型的函數(shù)，如三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0），以其局部的一段圖像為已知條件，即由表象（圖像）求其函數(shù)解析式，解法同樣有規(guī)可尋，有法可依.

對函數(shù)解析式中的待定系數(shù)A、ω、φ，處理方法如下：

用好周期先定ω，最值零點(diǎn)再定φ，代點(diǎn)觀察振幅顯，誘導(dǎo)變形答案來.

借助這4步，數(shù)自然會(huì)從像中來.

1. 2020年高考試題中涉及數(shù)從像中來的試題分析.

以上試題破解過程如下.

2. 近年高考試題中數(shù)從象中來的試題分析.

三、實(shí)戰(zhàn)顯身手

練習(xí)一.（單選題）函數(shù)y=2|x|·sin 2x的圖像可能是（ ）

【簡解】①匕首1：抓全局，定奇偶.

設(shè)f（x）=2|x|·sin 2x，其定義域?yàn)镽，且關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱.

又f（-x）=2|-x|sin 2（-x）=-2|x| sin 2x=-f（x），故y=f（x）是奇函數(shù)，排除選項(xiàng)A，B;

②匕首2：算特值，看范圍. 當(dāng)x= 時(shí)，y=0，故排除選項(xiàng)C. 故答案選D.

答案：D.

【方法點(diǎn)睛】匕首1+匕首2.

練習(xí)二.（多選題）已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ） （x∈R，ω>0，0<φ< ）的部分圖像如圖所示. 則Asin（ωx+φ）=

A. 2sin（2x+ ） B. 2sin（2x+ ）

C. 2cos（ -2x） D. cos（ -x）

【簡解】①用好周期先定 .

由圖像得： = - = ，故 = = =2，排除答案D;

②最值零點(diǎn)再定 .

當(dāng)x= 時(shí)，y=0，即2× + = ，解得： = ;

③代點(diǎn)觀察振幅顯.

由點(diǎn)（0， 1）代入可得：Asin =1，解得A=2.

④誘導(dǎo)變形答案來. 由①②③可得：Asin（ωx+φ）=2sin（2x+ ）;

又（2x+ ）+（ -2x）= ，故Asin（ωx+φ）=2cos（ -2x）. 故選AC.

答案：AC.

【方法點(diǎn)睛】用好周期先定ω，最值零點(diǎn)再定φ，代點(diǎn)觀察振幅顯，誘導(dǎo)變形答案來.

函數(shù)與圖像之間的關(guān)系實(shí)則是數(shù)與形的關(guān)系，這讓人想到著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生談數(shù)形結(jié)合時(shí)所作的贊美詩：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)無形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。切莫忘，幾何代數(shù)流一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離?！?的確，解析式與圖像莫分離，本質(zhì)與表象原統(tǒng)一，圖從“比首”現(xiàn)，數(shù)從像中來.

責(zé)任編輯 徐國堅(jiān)