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    淺說勾股定理的證法

    2020-12-08 01:30:54顧云霞
    初中生世界 2020年42期
    關(guān)鍵詞:證法勾股定理數(shù)學(xué)家

    文 顧云霞

    勾股定理被視為幾何學(xué)中的璀璨明珠,千古不衰,自古以來,其不僅運用廣泛,而且證明方法多種多樣,展示出它迷人的魅力。據(jù)統(tǒng)計,勾股定理有500多種證明方法,是證明方法最多的定理。

    圖1

    圖2

    圖3

    我國證明勾股定理的第一人是三國的趙爽,他的“勾股弦方圖”(如圖1)構(gòu)思巧妙,推理嚴(yán)謹(jǐn)。數(shù)學(xué)家華羅庚曾提出把“勾股弦方圖”帶到其他星球,作為地球人與其他星球“人”第一次“談話”的語言。如圖1,正方形ABCD的面積c2被剖分為4個“朱實”和1個“黃實”,即a2=a2+b2,即直角三角形ABE斜邊的平方等于兩直角邊的平方和。

    趙爽已經(jīng)證出了勾股定理,但數(shù)學(xué)家們并沒有停止步伐,而是努力尋求不一樣的奇妙證法。

    魏晉數(shù)學(xué)家劉徽評注《九章算術(shù)》中的“勾股章”時,曾用“以盈補(bǔ)虛,出入相補(bǔ)”的辦法做過證明(如圖2)。注文是:勾自乘為朱方,股自乘為青方,令出入相補(bǔ),各從其類,因就其余不移動也,合成弦方之冪,開方除之,即弦也。清代數(shù)學(xué)家李潢遵從劉徽的“令出入相補(bǔ),各從其類”原理,結(jié)合“旋轉(zhuǎn)變換”(如圖3),令△ACB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△AC′B′,再令△DFG繞點D逆時針轉(zhuǎn)動90°至△DF′G′,“其余不移動也”,最后令陰影的小三角形進(jìn)入弦方而證之;同時代數(shù)學(xué)家李銳,運用了“平移變換”證明,其大、中、小三類三角形只需要通過平移出入弦方相補(bǔ)的位置,圖形清晰,一目了然(如圖4)。

    圖4

    各種“出入相補(bǔ)型”證法所體現(xiàn)出來的“以形證數(shù),數(shù)形結(jié)合”的思想方法,在數(shù)學(xué)史上具有獨特的貢獻(xiàn)和地位。其他數(shù)學(xué)家的證明方法各有千秋,限于篇幅,這里就不一一列舉了,同學(xué)們?nèi)舾信d趣可查閱數(shù)學(xué)史書研究一番。

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