借題發(fā)揮巧拓展 深入淺出妙提升

吳純朝

【摘要】著名教育家葉圣陶說過：教學(xué)有法，教無定法，貴在得法.作為新時代中學(xué)數(shù)學(xué)教師，研讀教材、調(diào)查學(xué)情和合理設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)是課前必做的三項工作.然而教師再怎么周密籌劃、精心設(shè)計數(shù)學(xué)課堂，總存在著某些不確定因素.教師的智慧在于啟發(fā)學(xué)生透過問題看本質(zhì)，并及時抓住師生思維碰撞的火花，巧妙拓展延伸，逐漸生成核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】拓展延伸;通性通法;數(shù)學(xué)建模;學(xué)習(xí)興趣;專業(yè)成長

2018年9月以來，我校以“三問五環(huán)六度”教學(xué)模式（課前自學(xué)獨研→合作探究學(xué)案→課堂展示對抗→質(zhì)疑→點評升華）持續(xù)推進課堂轉(zhuǎn)型.按學(xué)校要求備課組長得先上一節(jié)示范課，組員再照葫蘆畫瓢.筆者的一堂高三理科一輪復(fù)習(xí)“示范課”——對數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)，雖因意外上成了“滿堂灌”，還跑了題，但課后卻得到了聽課教師的一致好評：處變不驚，保護了學(xué)生的自尊心、好奇心和求知欲，步步為營啟發(fā)誘導(dǎo)，是一節(jié)精彩紛呈、原生態(tài)十足的拓展課.

一、課堂實錄

環(huán)節(jié)一：復(fù)習(xí)對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì).（略）

環(huán)節(jié)二：典例剖析-拓展提升（展示自學(xué)成果，點評升華）

師：第一題：不求值，比較下列各組對數(shù)的大小.

（1）log23與log2π. （2）log 1 3 3與log 1 3 π.

（3）log23與log 1 3 π.（4）log53與log4π.

女生甲：“（1）利用函數(shù)y=log2x在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增即可比出大小.”

男生乙：“（2）利用函數(shù)y=log 1 3 x在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減即可比出大小.”

男生丙：“（3）利用找出合理的中間量0即可比出二者大小.”

女生?。骸埃?）利用數(shù)形結(jié)合法，當(dāng)x∈（1，+∞）時，函數(shù)y=log4x的圖像比函數(shù)y=log5x的高，即可得出log53

師：這四個小題主要考查對數(shù)函數(shù)單調(diào)性及對數(shù)函數(shù)圖像的應(yīng)用，四名同學(xué)答得都很好，抓住了問題的本質(zhì)！

本以為此類問題就此告一段落，突然，男生戊弱弱地問了一句：“老師，你能講講怎么比較log20182017與log20192018的大小嗎？我昨晚研究了半個小時仍沒結(jié)果，要是高考碰到此類問題怎么辦？”

為什么是弱弱地問了一句？筆者當(dāng)時分析有兩個原因：一是擔(dān)心這個問題是不是太簡單會讓教師和同學(xué)取笑;二是擔(dān)心影響教師的課堂教學(xué)計劃，招來批評.

學(xué)生戊平時就特別愛思考、愛質(zhì)疑、愛提問，具備工科學(xué)生該有的優(yōu)秀品質(zhì).此時，他這不分場合“貿(mào)然”一問，讓剛才還熱鬧的教室頓時寂靜了下來.學(xué)生正等我接招呢！

說實話，這種“偏難怪”問題，筆者偶爾見過但從未留心，稍做思考，發(fā)現(xiàn)這不是一個簡單的常規(guī)比大小問題，兩者都非常接近1，“應(yīng)該”后者稍大.于是，筆者對學(xué)生說：“卡拉比猜想從1954年提出到1976年才被華人數(shù)學(xué)家丘成桐證出，經(jīng)歷了二十二年;費馬大定理從提出到證出更是經(jīng)歷了漫長的三百多年.戊的問題提得好，有探究價值！接下來我就同大家一起就該問題展開探討，假如沒得到完美解決，可不要對我失去信心喲！”學(xué)生異口同聲：“那是自然！”

在岔開話題期間，筆者已想到一種方法.

思路一：分離等量法

師：由于上述問題中，對數(shù)的底數(shù)、真數(shù)都較大，而且兩者都非常接近1，我們可以先解決同類問題——比較log65與log76的大小.

學(xué)生若有所思！

師：顯然直接利用函數(shù)y=log6x與y=log7x在（1，+∞）上的“手工圖像”（有誤差且挨得太近）是很難看出大小的！但大家知道，對數(shù)函數(shù)在（0，1）內(nèi)的函數(shù)值變化快，（1，+∞）內(nèi)的函數(shù)值變化慢.那么能否先轉(zhuǎn)化一下，再觀察圖像呢？

師：現(xiàn)在只需比較哪兩者的大??？

生：拋開等量1不管，只需比較log6 5 6 和log7 6 7 .

法一：（數(shù)形結(jié)合法）在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩個函數(shù)y=log6x與y=log7x的圖像，可得log6 5 6

法二：引入中間量log6 6 7 ，

一方面，函數(shù)y=log6x在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則有l(wèi)og6 5 6

另一方面，∵ln 7>ln 6>0，∴ 1 ln 7 < 1 ln 6 .而ln 6 7 <0，∴ ln 6 7? ln 7 > ln? 6 7? ln 6 ，即log6 6 7

從而有l(wèi)og6 5 6

師：課后同學(xué)們可以借鑒這種方法去比較log20182017與log20192018的大小.不過問題是解決了，可總覺得挺麻煩，太抽象，難以想到！那還有沒有其他方法呢？

學(xué)生戊：作差比較法，只是用完換底公式并通分后就進行不下去了！

師：很好，我們現(xiàn)在就來共同試一試吧！

思路二：作差比較法

師：作差法是比較兩數(shù)大小的基本方法，其三步驟是什么？

生：作差→變形→定號.

師：好，大家敘述我來板演！

師生：log20182017-log20192018= ln 2017 ln 2018 - ln 2018 ln 2019 = ln 2017ln 2019-ln22018 ln 2018ln 2019 .

學(xué)生戊：分母為正，分子沒法判斷符號呀？

師：同學(xué)們可能忘了，學(xué)習(xí)基本不等式時課后就有一個練習(xí)，形如判斷l(xiāng)n 2017ln 2019與ln22018的大?。?/p>

至此，筆者一看表，離下課僅有12分鐘，然后對學(xué)生說：“一不做二不休，誓將此問題拓展到底！”偶爾的小幽默將可愛的學(xué)生逗得哄堂大笑.

思路三：構(gòu)造函數(shù)法

師：結(jié)合這兩個對數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，我們是否可以構(gòu)造函數(shù)f（x）并研究其單調(diào)性，進而比較f（2017）與f（2018）的大小？

學(xué)生看著兩個對數(shù)log20182017與log20192018，再次若有所思.

學(xué)生戊：我想到了f（x）=logx+1x，可是沒見過這種函數(shù)呀！不會求導(dǎo)，怎么研究其單調(diào)性呢？

師：我們要敢于面對困難，先用換底公式變形后再試試吧！

此時學(xué)生戊露出了會心的微笑：老師，這個方法最巧妙！

環(huán)節(jié)三：課堂小結(jié)

師：本節(jié)公開課我本計劃引導(dǎo)大家復(fù)習(xí)對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)應(yīng)用，卻被善于思考的學(xué)生戊“攪和”了！但我相信對于參與其中的大多數(shù)同學(xué)而言，也許收獲更大！因為整個學(xué)習(xí)過程中既有通性通法——數(shù)形結(jié)合法、作差比較法的應(yīng)用，也有技巧性很強的“分離等量法”“構(gòu)造函數(shù)法”的引入.希望同學(xué)們課后進一步拓展、內(nèi)化，形成屬于你的創(chuàng)新思維能力.

環(huán)節(jié)四：作業(yè)布置

作業(yè)1 利用“分離等量法”比較log20182017與log20192018的大小.

作業(yè)2 利用“作差比較法”比較 a+1 - a 與 a - a-1 的大?。╝>1）.（提示：必要時可分子有理化）

作業(yè)3 利用“構(gòu)造函數(shù)法”證明：當(dāng)a>b>e時，ab

二、教學(xué)感悟

（一）教學(xué)活動中，鼓勵學(xué)生發(fā)問的重要性

教育是心靈與心靈的交流，人格與人格的對話，思維與思維的碰撞.在學(xué)習(xí)中，學(xué)生沒有問題才是最大的問題！阿爾伯特· 愛因斯坦曾說：“ 提出一個問題往往比解決一個問題更重要.因為解決問題也許僅是一個數(shù)學(xué)上或?qū)嶒炆系募寄芏?，而提出新問題，卻需要有創(chuàng)造性的想象力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進步.”然而，我們似乎已經(jīng)習(xí)慣于去了解學(xué)生的解答，卻忽視了問題才是智力的發(fā)動機，它能將好奇心轉(zhuǎn)變成可控的探究，它才是創(chuàng)新的燈塔.所以，教學(xué)活動中，教師不僅要以課前設(shè)定的問題引領(lǐng)課堂，更要鼓勵學(xué)生多思考、多發(fā)問，積極提出有價值的問題，進而提升他們的創(chuàng)造力.

（二） 教學(xué)活動中，滲透數(shù)學(xué)建模思想的必要性

學(xué)生在學(xué)校學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識，畢業(yè)后如果沒有機會去用，可能只記憶一時，但數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想與方法卻永遠發(fā)揮作用，可以受益終生.這就是數(shù)學(xué)思維能力之所在，數(shù)學(xué)教育根本之所在.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)思想方法的滲透可以促進學(xué)生獲得適應(yīng)個人發(fā)展和社會發(fā)展所需要的必備品格和關(guān)鍵能力——數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)建模，即構(gòu)造函數(shù)模型解決數(shù)學(xué)問題的意識與能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，這種意識與能力的培養(yǎng)是課堂教學(xué)的一大根本任務(wù).本節(jié)課根據(jù)教學(xué)實際，潛移默化地滲透了構(gòu)建函數(shù)模型的思想（構(gòu)造f（x）=logx+1x），提升了學(xué)生的創(chuàng)新思維能力.

（三） 教研活動中，教師需有專業(yè)成長的自覺性

教師不能在課堂中被學(xué)生問住，否則“親其師，信其道”就不存在了.中學(xué)教師還要“學(xué)習(xí)先進中學(xué)教育理論，了解國內(nèi)外中學(xué)教育改革與發(fā)展的經(jīng)驗和做法;優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，提高文化素養(yǎng);具有終身學(xué)習(xí)與持續(xù)發(fā)展的意識和能力，做終身學(xué)習(xí)的典范”.因為就像2010年的手機生產(chǎn)線造不出華為mate30手機一樣，不能與時俱進的教師用陳舊的教學(xué)模式和理念一定培養(yǎng)不出素質(zhì)全面的學(xué)生.教師應(yīng)該自主進行專業(yè)成長，因只有不斷擴大視野，完善知識結(jié)構(gòu)，提升理論水平，在教學(xué)中才能站得高看得遠，才能隨機應(yīng)變，游刃有余.

三、結(jié)束語

蘇格拉底說，教育不是灌輸，而是點燃火焰.雖然這節(jié)公開課貌似“滿堂灌”，但筆者仍認為本節(jié)課應(yīng)該達到了點燃學(xué)生思維火焰的目的.再者，數(shù)學(xué)課堂不能完全照著編好的“劇本拍戲”，意外事件也許會帶來意外之喜.只要恰當(dāng)利用這些“靈光乍現(xiàn)”，不僅不會阻礙教學(xué)進程，反而會水到渠成，提升學(xué)生的核心素養(yǎng).正所謂“借題發(fā)揮巧拓展，深入淺出妙提升”！

【參考文獻】

[1]張慶炎.失之東隅，收之桑榆：記一節(jié)被“攪和”的公開課[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（13）：7-9.

[2]米山國藏.數(shù)學(xué)的精神 思想和方法[M].毛正中，吳素華，譯.成都：四川教育出版社，1986.