求解約束優(yōu)化問題的改進(jìn)海豚算法*

陳建華 陳建榮

（1.右江區(qū)社會(huì)保險(xiǎn)事業(yè)局 百色 533000）

（2.右江民族醫(yī)學(xué)院 百色 533000）

（3.中山大學(xué)數(shù)據(jù)科學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院 廣州 510006）

1 引言

近幾年，通過模仿生物行為習(xí)慣的群智能優(yōu)化算法如雨后春筍般不斷涌現(xiàn)。因?yàn)閷?duì)函數(shù)性態(tài)不敏感，所以對(duì)于傳統(tǒng)方法難于求解的優(yōu)化問題，群智能算法往往表現(xiàn)出較好的求解速度與精度［1～2］。約束優(yōu)化問題（Constrained optimization problems，COPs）是在科學(xué)、工程和商業(yè)等諸多領(lǐng)域中經(jīng)常出現(xiàn)但又較難求解的一類數(shù)學(xué)規(guī)劃問題，因此，研究如何快速而有效地求得問題的最優(yōu)解，具有非常重要 的 理 論 及 實(shí) 際 意 義［3］。海 豚 算 法［4］（Dolphin swarm optimization algorithm，DSOA）是2016 年提出的一種新型群智能優(yōu)化算法。本文針對(duì)算法的不足，提出了改進(jìn)海豚算法（Improved dolphin swarm optimization algorithm，IDSOA）。

2 約束優(yōu)化問題

一般的約束優(yōu)化問題，可描述如下：

其中，f( X )為目標(biāo)函數(shù)，gi( X )和hj( X )分別為m 個(gè)不等式約束和p 個(gè)等式約束。 X=(x1，x2，…，xn)∈Ω ?S 為n 維決策向量，Ω 為可行域，S 為決策空間。lk和uk分別為xk的上下界。

3 海豚算法［4］簡介

假設(shè)海豚搜索空間為S=[-a1，a1] ×[- a2，a2] ×…×[-an，an] ?Rn，ak＞0，k=1，…，n。在復(fù)平面內(nèi)構(gòu)造方域F={hR+ihI|hR，hI∈[- ak，ak]}，其中i 為虛部。點(diǎn)hR+ihI∈Fk可以表示為hR=ρkcos θk，hI=ρksin θk，其中0 ≤ρk≤ak，θk∈[0 ，2π] 。則，海豚j 的初始速度表示為，其中在初始時(shí)刻t0，海豚j 探測(cè)到一群沙丁魚位于則其坐標(biāo)為其中是[0，ak]內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，是區(qū)間[0，2π]內(nèi)的隨機(jī)角度，i 為虛部，為海豚規(guī)模。

算法主要搜索類型包括：1）追逐行為。在t 時(shí)刻，海豚j 的速度和位置分別為和，它找到的最優(yōu)目標(biāo)（即，沙丁魚群）位于將當(dāng)前時(shí)刻海豚群體探測(cè)到的最優(yōu)目標(biāo)表示為GR(t)+iGI(t) ，其中i 為虛部。則在t+1時(shí)刻，海豚j 的速度和位置根據(jù)下述公式更新：

2）捕食行為。假設(shè)在t 時(shí)刻，一群海豚已經(jīng)連續(xù)追逐目標(biāo)ω 步（ω ＜Gen，Gen 為算法最大迭代次數(shù)）。此時(shí)，部分海豚已經(jīng)到達(dá)可以對(duì)沙丁魚進(jìn)行捕食或攻擊的位置，則其下一時(shí)刻的位置通過下式給出：

其中，rR，l和rI，l分別是區(qū)間[gR，l(t)-ε(t)，gR，l(t)+ε(t)]和[gI，l(t)-ε(t)，gI，l(t)+ε(t)]內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)；l 是屬于集合{1 ，…，n} 的隨機(jī)數(shù)；ε(t)是滿足|ε(t)|?1 的 遞 減 正 函 數(shù)；正 整 數(shù)ω 滿 足t ≥ω ，ω ＜Gen，Gen 為算法最大迭代次數(shù)；k=1，…，n；l=I，R。

算法搜索行為選擇：以優(yōu)化問題min f( X )為例。t 時(shí)刻在有M 只海豚的群體中，海豚j 的位置為有

對(duì)Yj按升序排列，將Yj的順序記為Oj(t) 。?。?/p>

稱μj為轉(zhuǎn)換因子。易知其滿足0 ≤μj(t)＜1。那么，搜索行為根據(jù)如下規(guī)則進(jìn)行選擇：規(guī)則一，若t ≤ω 或η ＜μj，則海豚j 根據(jù)式（1）～（4）更新自己的速度和位置。規(guī)則二、若t ＞ω 且η ≥μj，則海豚j 根據(jù)式（5）和（6）更新自己的位置。其中，η 是[0，1]內(nèi)的隨機(jī)數(shù)。

4 改進(jìn)海豚算法

4.1 最大速度限制

假設(shè)n 維優(yōu)化問題在第i 維上的搜索范圍（以閉區(qū)間為例）是[ai，bi]?R，i=1，2，…，n。則其i維上的最大速度限制值在t 時(shí)刻，把由式（1）和（2）計(jì)算出的t+1時(shí)刻海豚j 的速度合并記為，其中，分別對(duì)應(yīng)實(shí)部和虛部的速度。那么，在最大速度限制下，在t+1 時(shí)刻，海豚 j 第i 維上的速度值其中，sign(·)為符號(hào)函數(shù)，min(·)為取最小值函數(shù)，abs(·)為絕對(duì)值函數(shù)。則海豚j 在t+1時(shí)刻的速度和位置為

4.2 新捕食行為

在新捕食行為中，海豚j 在t+1時(shí)刻的位置由下式給出：

4.3 改進(jìn)海豚算法簡單流程

Input：w1，w2，cR1，cI1，β1，β2，ω，α，迭代次數(shù)閾值Gen，海豚規(guī)模M 。

Step1：初始化海豚，令t=0。

Step2：依次計(jì)算M 只海豚個(gè)體的適應(yīng)度值。

Step3：若t ＞Gen ，算法終止并輸出解。否則t=t+1，轉(zhuǎn)Step4。

Step4：若t ≤ω，用式（9）和式（10）依次對(duì)M 只海豚進(jìn)行速度和位置更新，轉(zhuǎn)Step2。否則轉(zhuǎn)Step5。

Step5：用式（7）和式（8）計(jì)算Yj和μj，并產(chǎn)生[0，1]內(nèi)的隨機(jī)數(shù)η 。對(duì)M 只海豚依次執(zhí)行：若μj≤η ，海豚j 用式（11）更新，否則用式（9）和式（10）更新。轉(zhuǎn)Step2。

5 仿真實(shí)驗(yàn)和分析

5.1 實(shí)驗(yàn)環(huán)境及仿真實(shí)例

硬件環(huán)境：Intel? Core（TM）i7-4790K CPU @4.00GHz、16GB 內(nèi) 存、SanDisk SDSSDHII120G 硬盤。軟件環(huán)境：Windows 10 64 位專業(yè)版，Matlab R2017b。工程應(yīng)用仿真實(shí)例為伸縮繩設(shè)計(jì)問題、焊接條設(shè)計(jì)問題和壓力管設(shè)計(jì)問題［5］。

5.2 參數(shù)設(shè)置及仿真結(jié)果

本文采取對(duì)算法連續(xù)獨(dú)立運(yùn)行50 次的策略來消除隨機(jī)性對(duì)求解結(jié)果的影響。DSOA 算法和ID?SOA 算法均使用統(tǒng)一的參數(shù)值：M=40 ，Gen=600，w1=w2=0.6，cR1=cI1=2，β1=β2=2，ω=30，cR2=cR3=β1(G en-t )/Gen ， cI2=cI3=β2(G en-t)/Gen，ε( t )=1/1000t100。IDSOA 算法的獨(dú)有參數(shù)均設(shè)置為α=0.3。從仿真結(jié)果（表1～表6）可以看出，IDSOA 算法在綜合性能上均優(yōu)于對(duì)比算法。注：“-”表示文獻(xiàn)未給出計(jì)算結(jié)果。

表1 伸縮繩設(shè)計(jì)問題最優(yōu)結(jié)果比較

表2 伸縮繩設(shè)計(jì)問題統(tǒng)計(jì)值比較

6 結(jié)語

在深入分析DSOA 算法原理及搜索行為的基礎(chǔ)上，針對(duì)算法的薄弱環(huán)節(jié)進(jìn)行調(diào)整與改進(jìn)，提出了一種IDSOA 算法。三個(gè)典型工程實(shí)例的仿真和統(tǒng)計(jì)結(jié)果證明IDSOA 算法擁有比DSOA 算法更好的性能，在求解精度、收斂速度和穩(wěn)定性等方面均有更好的表現(xiàn)。因此，IDSOA算法對(duì)于求解約束優(yōu)化問題是非常有效和可行的。

表3 焊接條設(shè)計(jì)問題最優(yōu)結(jié)果比較

表4 焊接條設(shè)計(jì)問題統(tǒng)計(jì)值比較

表5 壓力管設(shè)計(jì)問題最優(yōu)結(jié)果比較

表6 壓力管設(shè)計(jì)問題統(tǒng)計(jì)值比較