基于改進(jìn)小波閾值函數(shù)的癲癇信號去噪算法*

呂 健

（江蘇科技大學(xué)電子信息學(xué)院 鎮(zhèn)江 212003）

1 引言

腦電信號（EEG）是非線性、非平穩(wěn)的隨機(jī)弱信號，幅度較為微弱，腦電信號的幅度一般只有50μv，最大幅度不超過100μv。通常，在檢測得到的EEG 信號中包含了大量的干擾信號，例如來源于非腦部神經(jīng)活動(dòng)產(chǎn)生的生理電信號：心電信號（ECG）、眼電信號（EOG）和肌電信號（EMG），電磁場干擾引發(fā)的工頻干擾偽差信號。因此，癲癇信號分析處理的首要任務(wù)是消除癲癇信號中的各類干擾信號，為接下來的癲癇診斷做準(zhǔn)備。

小波變換是通過對信號的時(shí)間-尺度（時(shí)間-頻率）進(jìn)行分析的方法，擁有多分辨分析的能力和時(shí)頻局部化分析的良好特性。目前小波去噪方法常見的有小波閾值去噪法、小波系數(shù)相關(guān)去噪法和基于模極大值去噪法等，但用途最廣的是小波閾值去噪法。

目前，閾值去噪常用的函數(shù)為硬閾值和軟閾值函數(shù)，但是硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)都存在些許缺陷，硬閾值函數(shù)在小波重構(gòu)信號時(shí)，信號波形容易產(chǎn)生震蕩，而軟閾值在信號重構(gòu)后，信號的均方差過大。如何盡可能地去除噪聲的同時(shí)保持信號重構(gòu)波形不失真，確定最優(yōu)小波基函數(shù)、分解層數(shù)、閾值函數(shù)和閾值選擇的方法，這是研究小波閾值去噪算法的關(guān)鍵。因此本文構(gòu)造了一種新的閾值函數(shù)，仿真實(shí)驗(yàn)表明本文構(gòu)造的閾值函數(shù)不僅有效地克服軟硬閾值函數(shù)的缺點(diǎn)，而且去噪效果優(yōu)于已有閾值函數(shù)，擁有一定的實(shí)用價(jià)值。

2 小波閾值去噪

2.1 小波閾值去噪基本原理

包含噪聲的癲癇信號可以用以下模型表示：

其中，s（n）為含噪癲癇信號，f（n）為癲癇信號，e（n）為噪聲信號，n 是信號的長度，σ為噪聲信號的標(biāo)準(zhǔn)方差［1］。

由于小波變換方法是線性變換，因此通過對f（n）做離散小波變換后，獲得的小波系數(shù)由兩部分組成，其分別對應(yīng)于癲癇信號的小波系數(shù)和噪聲所對應(yīng)的小波系數(shù)。幅值較大的小波系數(shù)對應(yīng)于癲癇信號，幅值較小的小波系數(shù)對應(yīng)于噪聲信號［2～3］。因此Donoho 提出了基于閾值函數(shù)的小波去噪方法，即將高頻系數(shù)中較小的小波系數(shù)置為零，而保留較大的小波系數(shù)，常用的方法有硬閾值和軟閾值［4～6］。在小波閾值去噪方法中，所構(gòu)造的閾值函數(shù)，對小波系數(shù)的閾值量化處理一定程度上它直接決定信號去噪的效果。

小波閾值去噪法通?？梢苑譃槿缦氯齻€(gè)基本步驟［7～8］：

1）小波分解：選擇最佳小波基函數(shù)，對含噪信號s（n）做j層小波分解；

2）閾值量化：選擇合適的閾值準(zhǔn)則，量化處理每層高頻小波系數(shù)；

3）信號重構(gòu)：根據(jù)近似系數(shù)和量化后的細(xì)節(jié)系數(shù)，重構(gòu)信號。

圖1 小波閾值去噪基本步驟

2.2 小波基函數(shù)的選擇

小波系數(shù)的本質(zhì)便是度量小波基函數(shù)與原信號相似程度。信號經(jīng)小波變換后得到的小波系數(shù)越大，則表明信號與小波基函數(shù)的波形越相似；反之，則相似程度較?。?］。為了盡量凸顯癲癇信號分解所得小波系數(shù)與噪聲信號分解對應(yīng)的小波系數(shù)之間的差異性，應(yīng)盡量選擇與癲癇信號的波形相似程度最好的小波基函數(shù)。經(jīng)過實(shí)驗(yàn)對比，db4 小波基與癲癇波形相似度極高，因此本文選擇db4 小波基進(jìn)行小波變換。

2.3 分解尺度的選擇

對癲癇信號進(jìn)行小波變換時(shí)，分解尺度i 的選取也極為重要。尺度越大，則噪聲和信號也將更明顯表現(xiàn)出不同特性，越利分離信號和噪聲。但與此同時(shí)，隨著尺度的增大，信號重構(gòu)時(shí)失真程度也越大，影響了信號去噪的性能［10］。因此，在選擇分解尺度的時(shí)，要特別注意處理好兩者之間的關(guān)系。

3 小波閾值函數(shù)

Donoho 提出了兩種閾值函數(shù)：軟閾值和硬閾值函數(shù)，這兩種函數(shù)在信號去噪中得到了廣泛的應(yīng)用［11］。

1）硬閾值函數(shù)

硬閾值函數(shù)是將小波系數(shù)的絕對值小于或等于閾值作噪聲置零處理，而保留小波系數(shù)絕對值大于閾值［12］。硬閾值函數(shù)的表達(dá)式如下式：

式中Wj，k為小波系數(shù)，λ 為選用的閾值，為經(jīng)過硬閾值函數(shù)量化后的小波系數(shù)。

2）軟閾值函數(shù)

軟閾值函數(shù)也是將小波系數(shù)絕對值小于或等于閾值的小波系數(shù)置零，而將小波系數(shù)絕對值大于閾值的予以收縮保留［13］。軟閾值函數(shù)的表達(dá)式如下：

式中，Wj，k為小波系數(shù)，λ 為選取的閾值，為經(jīng)軟閾值函數(shù)量化處理后的小波系數(shù)。函數(shù)sgn（Wj，k）是符號函數(shù)。

雖然軟、硬閾值函數(shù)在實(shí)際中應(yīng)用廣泛，但是它們自身也存在一些不足：

（1）硬閾值函數(shù)可以很好地保留信號的邊緣局部特性，但由于硬閾值函數(shù)在閾值λ 處存在間斷點(diǎn)，重構(gòu)的信號會產(chǎn)生振蕩現(xiàn)象。

（2）軟閾值函數(shù)圖像連續(xù)性好，去噪信號平滑。但量化后的小波系數(shù)存在固定偏差，會丟失信號的高頻信息，造成邊緣模糊。

4 小波閾值選取

在小波閾值函數(shù)方法去噪的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一便是選擇閾值，閾值選取的大小關(guān)系到信號去噪的最終效果。如果閾值選取的數(shù)值過小，則將在去噪后的信號中保留絕大部分噪聲信號；如果閾值數(shù)值選取過大，將會去除部分有用信號，導(dǎo)致信號失真。因此，在小波閾值函數(shù)去噪方法中關(guān)鍵之一便是選取合適的閾值λ。

本文介紹以下幾種常見的閾值估計(jì)準(zhǔn)則［14］：

1）固定閾值（Sqtwolog 規(guī)則）：固定閾值的基本原理是N 個(gè)具有獨(dú)立同分布的標(biāo)準(zhǔn)高斯變量中的最大值小于Th的概率隨著N的增長而趨近于1。

2）Stein 無偏風(fēng)險(xiǎn)閾值規(guī)則（Rigrsure 規(guī)則）：本準(zhǔn)則的基本原理基于Stein 的似然估計(jì)而選擇自適應(yīng)閾值。

3）啟發(fā)式閾值規(guī)則（Heursure 規(guī)則）：啟發(fā)式閾值方法是固定閾值和自適應(yīng)閾值兩種方法的綜合，是最佳閾值選擇的方法。但當(dāng)信噪比過小時(shí)，這時(shí)應(yīng)選用固定閾值準(zhǔn)則。

4）極大極小準(zhǔn)則（Minimaxi規(guī)則）：該準(zhǔn)則也選擇采用一種固定的閾值，它計(jì)算最小均方誤差下的極值。

5 小波去噪的性能評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

為了比較不同閾值函數(shù)之間處理癲癇信號的去噪效果，本文引入了兩種常用的評價(jià)指標(biāo)［15］：信噪比（SNR）、均方根誤差（RMSE）。

1）信噪比：信噪比通常用來作為信號去噪性能的評斷標(biāo)準(zhǔn)。信噪比的單位是分貝（dB），信噪比的定義表達(dá)式為

表達(dá)式中，f(i)為原始信號，f′(i)為去噪后的信號，信噪比SNR越大，表示去噪性能越好。

2）均方根誤差［16］：即原始信號與去噪后的估計(jì)信號之間的方差的平方根，其定義式為

式中，f(i) 為原始信號，f′(i) 為去噪后的信號。RMSE均方根誤差越小，表示信號去噪性能越好。

6 閾值函數(shù)的改進(jìn)

由上文可知，傳統(tǒng)的軟、硬閾值函數(shù)均有其自身的缺陷，因此在實(shí)際的信號去噪應(yīng)用中有存在一定的局限，為此本文構(gòu)造了一種改進(jìn)閾值函數(shù)。

根據(jù)閾值函數(shù)的基本原理所構(gòu)造出來的函數(shù)，應(yīng)當(dāng)滿足如下條件：

1）在閾值門限處函數(shù)應(yīng)連續(xù)，以避免出現(xiàn)偽吉布斯現(xiàn)象。

2）在小波系數(shù)大于閾值λ，閾值函數(shù)圖像需單調(diào)且連續(xù)。

3）函數(shù)應(yīng)有漸近線。經(jīng)過變換操作后，可使其漸近線與y（x）=x曲線重合。

本文構(gòu)造的閾值函數(shù)表達(dá)式如下：

其中0 ≤k ≤1，0 ≤α ≤1，軟硬閾值函數(shù)及改進(jìn)閾值函數(shù)的圖像如圖2所示。

圖2 改進(jìn)閾值函數(shù)及軟硬閾值圖像

本文所構(gòu)造的閾值函數(shù)在定義域內(nèi)，和軟閾值函數(shù)擁有著相同的連續(xù)性，避免了出現(xiàn)由于函數(shù)不連續(xù)而出現(xiàn)偽吉布斯現(xiàn)象。隨著小波系數(shù)的變大，可以明顯看出閾值函數(shù)逐漸逼近于硬閾值函數(shù)圖像。當(dāng)k=0，本閾值函數(shù)變?yōu)檐涢撝岛瘮?shù)，當(dāng)k=1，閾值函數(shù)變?yōu)橛查撝岛瘮?shù)。參數(shù)k 在（0，1）區(qū)間內(nèi)可靈活選取，不僅可以減少軟閾值方法中產(chǎn)生的恒定偏差，也可以彌補(bǔ)硬閾值的不連續(xù)的缺陷，可以盡量避免出現(xiàn)信號振蕩的現(xiàn)象，使重構(gòu)信號更平滑。當(dāng)小波系數(shù)小于閾值時(shí)，調(diào)節(jié)α使新閾值函數(shù)在閾值處理時(shí)保留較小的小波系數(shù)，即保留了部分有用信號，降低重構(gòu)信號時(shí)產(chǎn)生的均方差，去噪效果較為顯著。

7 實(shí)驗(yàn)仿真

本文研究采用的癲癇信號數(shù)據(jù)來源于CHB-MIT 頭皮腦電數(shù)據(jù)庫，采樣頻率256Hz 分辨率為16 位。本文選用了chb04.edf 文件，采樣頻率256Hz，本文選擇癲癇信號發(fā)生的片段中的1s 做仿真，取采樣數(shù)為256，用db4小波基函數(shù)對信號進(jìn)行4 層小波分解，閾值取固定閾值，在不同的分解層次取，其中j為第j 層分解層，符合噪聲所對應(yīng)高頻小波系數(shù)隨分解層數(shù)增大而減小的特征。對癲癇數(shù)據(jù)分別進(jìn)行軟硬閾值以及改進(jìn)閾值去噪處理。

圖3 原始信號圖像

圖4 硬閾值去噪圖像

圖5 軟閾值去噪圖像

圖6 k=0.2改進(jìn)閾值去噪圖像

圖7 k=0.4改進(jìn)閾值去噪圖像

圖8 k=0.6改進(jìn)閾值去噪圖像

表1 閾值函數(shù)去噪?yún)?shù)

通過觀察Matlab實(shí)驗(yàn)仿真圖，我們從圖中可以明顯看出，經(jīng)過本文所構(gòu)造的閾值函數(shù)去噪處理后的信號，比常規(guī)閾值函數(shù)方法所處理的癲癇信號更為接近原始信號，更加能反映原始信號的特征信息。為了更加準(zhǔn)確地評價(jià)去噪性能，通過計(jì)算比較去噪后癲癇信號的信噪比以及均方根誤差。通過分析比較表1當(dāng)中的數(shù)據(jù)，隨著k值的增大，本文的閾值函數(shù)去躁后的信噪比更大，均方根誤差更小，相較于軟、硬閾值函數(shù)的信噪比至少提高9%，而均方根誤差至少降低了19%和4%。因此本閾值函數(shù)擁有比軟、硬閾值函數(shù)更好的去噪效果，適合用于處理癲癇信號。

8 結(jié)語

本文主要介紹了小波閾值去噪方法的根本原理及基礎(chǔ)步驟，選擇合適的小波基函數(shù)、小波分解層數(shù)和閾值估計(jì)規(guī)則的選取。然后分析總結(jié)了軟、硬閾值函數(shù)的優(yōu)劣勢，針對傳統(tǒng)的閾值函數(shù)中所存在的缺陷，本文構(gòu)造了一種新型改進(jìn)閾值函數(shù)，與軟、硬閾值函數(shù)相比，本函數(shù)計(jì)算速度較快、連續(xù)性好且參數(shù)易于調(diào)整。在實(shí)際處理癲癇信號時(shí)，經(jīng)過去噪處理后的信號，不僅去除了癲癇信號中的毛刺。此外，信噪比得到較大提升，均方根誤差也相應(yīng)的降低，癲癇診斷的準(zhǔn)確性得到提高。

目前，本算法所處理的癲癇數(shù)據(jù)來源于CHB-MIT 頭皮腦電數(shù)據(jù)庫，并且只能進(jìn)行離線癲癇數(shù)據(jù)處理。接下來的重點(diǎn)便是實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)處理采集中的癲癇信號，應(yīng)用到臨床實(shí)驗(yàn)中。