談多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式之“田”字模型算法

鄭月群

摘要：多項(xiàng)式相關(guān)計(jì)算是初中階段數(shù)學(xué)《數(shù)與式》知識(shí)模塊中的一個(gè)重要組成部分，而多項(xiàng)式的乘法計(jì)算又是其中較重要的內(nèi)容，所以多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的計(jì)算技能顯得尤其重要。本文由多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的幾何意義轉(zhuǎn)化為一種形式的計(jì)算方法，有效避免計(jì)算中易錯(cuò)情況，提高計(jì)算的準(zhǔn)確度，并提升學(xué)生的計(jì)算能力。

關(guān)鍵詞：多項(xiàng)式;田字模型;算法;方程思想

多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確度是計(jì)算能力高低的有力體現(xiàn)。學(xué)好了，可以提升計(jì)算能力;學(xué)不好，讓你懷疑人生。實(shí)踐證明，學(xué)生學(xué)習(xí)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式之后，常出現(xiàn)漏乘或重復(fù)乘、符號(hào)出錯(cuò)而導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤等問題。為了幫助學(xué)生有效克服以上出現(xiàn)的問題，筆者可謂絞盡腦汁。在一次設(shè)計(jì)教學(xué)情境時(shí)剛好用到長(zhǎng)方形的面積計(jì)算，筆者突發(fā)聯(lián)想到一種計(jì)算多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的方法，并應(yīng)用于課堂教學(xué)中，收到很好的效果，也證實(shí)這種計(jì)算方法是可行的。于是，筆者在已學(xué)單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式、合并同類項(xiàng)的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)，讓學(xué)生從長(zhǎng)方形面積計(jì)算的情境中引出多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的幾何意義，探究發(fā)現(xiàn)計(jì)算的規(guī)律，模擬出“田”字模型，利用模型的知識(shí)，通過例題、變式練習(xí)形成計(jì)算的技能，從而提升計(jì)算的能力，達(dá)到強(qiáng)化思維的目的。下面一起探討如何用“田”字模型算法求多項(xiàng)

解：

方法1：圖形可以看作是一個(gè)長(zhǎng)為（a+3b），寬為（a+b）的長(zhǎng)方形，此長(zhǎng)方形草地的面積為（a+3b）.（a+b）.

方法2：圖中區(qū)域（1）的面積為為a;圖中區(qū)域 （2）的面積為為3ab;圖中區(qū)域（3）的面積為ab;圖中區(qū)域（4）的面積為為36’。故此長(zhǎng)方形草地的面積為a+3ab+ab+3b=a+4ab+3b

聯(lián)合這兩種計(jì)算的結(jié)果，得到等式是（a+3b）·式乘多項(xiàng)式的積。

一、利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的幾何意義創(chuàng)建模型

（一）利用情景問題深入理解多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的幾何意義

如圖所示，這是一塊長(zhǎng)方形草地，小米為了測(cè)量它的面積快抓破頭了，你快來幫忙想一想辦法吧。

思考：怎樣計(jì)算這個(gè)長(zhǎng)方形草地的面積？思路分析：用整體計(jì)算或分塊計(jì)算。

第一種整體看大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為（a+3b），寬為（a+b），用長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式即可求出長(zhǎng)方形草地的面積。

第二種分塊計(jì)算四個(gè)小長(zhǎng)方形面積分別為a，3ab，ab，3b，把各小長(zhǎng)方形的面積相加即可得草地總面積。

（a +b） =a +3ab+ab+3b =a +4ab+3b

多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的幾何意義：多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式結(jié)果可看作是是一個(gè)寬與長(zhǎng)分別為兩個(gè)多項(xiàng)式值的長(zhǎng)方形的面積。

上面兩種計(jì)算方法讓學(xué)生初步感受到代數(shù)與幾何的內(nèi)在聯(lián)系，體會(huì)數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法。根據(jù)學(xué)生思考角度也會(huì)利用學(xué)過的知識(shí)如單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則，乘法分配律等探索得到想要的結(jié)論，多角度思考問題有效訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維和分析問題能力。

（二）利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的幾何意義解決問題

應(yīng)用上面的計(jì)算方法填空：

②根據(jù)圖形，得（a+b）（m+n）=am+an+bm+ bn.（a+b）（m+n）=

故（a-b）.（2a+b）=2a +ab-2ab-b=aab -b2

經(jīng)歷上面的計(jì)算練習(xí)，發(fā)現(xiàn)計(jì)算中必須關(guān)注的問題：①注意符號(hào)，如：多項(xiàng)式中每一項(xiàng)都包含符號(hào);②各個(gè)小長(zhǎng)方形面積中若有同類項(xiàng)，則要合并。

（三）抽象出數(shù)學(xué)模型，形成知識(shí)系統(tǒng)（1）“田”字模型算法

由多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的幾何意義把兩個(gè)多項(xiàng)式分別看作是一個(gè)大長(zhǎng)方形的寬與長(zhǎng)，把多項(xiàng)式的每一項(xiàng)類比為寬與長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的每條線段的長(zhǎng)，然后分別計(jì)算出各一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積，再求這些小長(zhǎng)方形面積的和，從而得到多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的積，我們將面積的圖形抽象為“田”字，把這種計(jì)算面積的規(guī)律模擬為一個(gè)“田”字模型，把這種計(jì)算多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的方法叫做“田”字模型算法。

（2）用田字模型算法計(jì)算步驟：

第（2）題的解答示圖為：

①畫出長(zhǎng)方形，每個(gè)多項(xiàng)式含有幾個(gè)項(xiàng)對(duì)應(yīng)長(zhǎng)方形的寬與長(zhǎng)就分為幾條線段，并在各條線段旁寫上多項(xiàng)式的對(duì)應(yīng)的項(xiàng);

②計(jì)算各小長(zhǎng)方形的面積寫在小長(zhǎng)方形內(nèi);

③把各個(gè)小長(zhǎng)方形面積相加，化簡(jiǎn)得多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的積;

（3）注意事項(xiàng)：①多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包含著正負(fù)符號(hào);②結(jié)果若有同類項(xiàng)，要合并。

長(zhǎng)方形的面積計(jì)算是七年級(jí)學(xué)生的“老朋友”了，把多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為求長(zhǎng)方形的面積計(jì)算，讓學(xué)生從熟悉的已學(xué)知識(shí)中揭示問題的本質(zhì)，引起學(xué)生的好奇心，激發(fā)急切探索奧秘的心情。

二、運(yùn)用田字模型算法求多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式積，形成計(jì)算技能

例1用田字模型算法計(jì)算：

（1）（m+3）（2m+1） （2）（x+y） （2x-3y）分析：應(yīng)用田字模型算法按步驟，有條理地進(jìn)行計(jì)算。

田字模型圖為：第（1）題

例題的教學(xué)能進(jìn)一步鞏固新知，形成技能，熟練應(yīng)用田字模型算法求多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的積。應(yīng)用田字模型算法解題時(shí)要注意多項(xiàng)式各項(xiàng)的符號(hào)和同類項(xiàng)的合并，及轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用。

三、變式訓(xùn)練提升計(jì)算能力

（一）直接應(yīng)用田字模型算法求多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的積

點(diǎn)撥：多項(xiàng)式是幾項(xiàng)式，所畫長(zhǎng)方形的寬與長(zhǎng)就對(duì)應(yīng)分成幾條線段。畫計(jì)算示意圖時(shí)注意因式的項(xiàng)數(shù)增加導(dǎo)致“田”字的變形，但計(jì)算的核心方法不變。田字模型圖為：第（1）題

實(shí)踐教學(xué)證明：通過例題1與對(duì)應(yīng)變式練習(xí)讓學(xué)生感受到應(yīng)用田字模型算法求多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的積時(shí)能夠有效的避免符號(hào)出錯(cuò)和漏乘等優(yōu)化特點(diǎn)。

（二）靈活應(yīng)用田字模型算法求等式中的字母的值

例2已知（mx+y）（x+ny）=x-4xy-5y，求3（m+n）-2mn的值。

思路分析：例題中已知等式左邊是兩個(gè)多項(xiàng)式的乘積，且每項(xiàng)都是字母。要求3（m+n）-2mn的值需知m與n的值，而m與n在已知等式左邊的兩個(gè)因式中出現(xiàn)，所以首先從已知的多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的計(jì)算開始解答。用田字模型算法計(jì)算它（mx+y）（x+ny）的展開式后，要注意當(dāng)系數(shù)中含字母m、n的同類項(xiàng)合并時(shí)處理方法。

田字模型圖：

實(shí)踐表明有部分學(xué)生看到了這種式子全是字母的題就會(huì)產(chǎn)生心理負(fù)擔(dān)，而利用田字模型算法計(jì)算后就不再害怕了，并能輕松、準(zhǔn)確地計(jì)算，但一定要弄清楚同類項(xiàng)的系數(shù)是什么，特別是含字母的系數(shù)的項(xiàng)。變式練習(xí)2：

（1）若（y-3）（y+8） =y+ay+b，則ab的值為

（2）已知（m+n-3）（m+n+3）=280，求m+ n的值.

分析：第（1）題與例2的解法相同，輕松算出y?+5y -24=y +ay+b，得出a=5，b=-24;得出結(jié)果ab=-120。

讓學(xué)生嘗試應(yīng)用田字模型算法計(jì)算第（2）題。方法1：直接用田字模型算法計(jì)算兩個(gè)多項(xiàng)式的積，再用完全平方公式求出最后結(jié)果。

田字模型圖：

方法2：觀察等式得出第（2）題已知等式中兩個(gè)多項(xiàng)式中有相同式子m+n，可以把m+n看作一個(gè)整體或一個(gè)項(xiàng)，再應(yīng)用田字模型算法計(jì)算得出結(jié)論，從而求出這m+n的值。完整解答過程如下：

解：由（m+n-3）（m+n+3） =280得： （m+n）2-9=280

".（m+n）'=289

田字模型圖：

把例2進(jìn)行變式得一組練習(xí)讓學(xué)生體驗(yàn)考查知識(shí)的形式雖變，但模型核心計(jì)算方法不變，所謂萬變不離其法。變式第（2）題在乘法公式的基礎(chǔ)上用整體代入方法解答，可以提升學(xué)生的思維能力。

（三）拓展應(yīng)用田字模型算法錘煉數(shù)學(xué)思想

例3已知（x？+ax+8）與（x？-3x+b）的積中不含x和x項(xiàng)，求a與b的值。

思路分析：審題可知要求a與6的值，需知兩個(gè)多項(xiàng)式的積，再結(jié)合題意“積中不含x和x項(xiàng)”可得與a、b相關(guān)的等式，從而得出結(jié)論。解答此題有兩個(gè)關(guān)鍵之處：①計(jì)算（x？+ax+8）與（x？-3x+b）的積;②理解關(guān)鍵詞“積中不含x和項(xiàng)”的含義是指積中含x和x3項(xiàng)的系數(shù)分別等于0.

田字模型圖：

變式練習(xí)3：

（1）若（y+m）與（5y+1）的積中含y的一次項(xiàng)系數(shù)為3，則m=

（2）已知（x+mx+n）（x-3x+4）的展開式中不含x和x項(xiàng)，

求：①m與n的值;

②在①的條件下（m+n）（m'-mn+n）的值。思路分析：變式練習(xí)中第（1）題解題關(guān)鍵：一是計(jì)算積;二是找出“積中含y的一次項(xiàng)系數(shù)”，使之等于3即可求出m的值。第（2）題與例3類似，可仿照例3來解答，但一定要理解題中關(guān)鍵詞語的含義。

例題和練習(xí)中多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)從兩項(xiàng)增加到三項(xiàng)，再次體驗(yàn)運(yùn)用模型計(jì)算可化繁為簡(jiǎn)的效果。

多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的計(jì)算中，特別是三項(xiàng)式乘三項(xiàng)式的計(jì)算簡(jiǎn)直是相當(dāng)部分學(xué)生的“惡夢(mèng)”。通過田字模型算法的學(xué)習(xí)，終于從復(fù)雜的計(jì)算中解脫了，運(yùn)用田字模型算法能清晰地有條理地計(jì)算出多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的積，極大限度的避免出錯(cuò)，從此愛上計(jì)算了，在收獲的知識(shí)的同時(shí)也感受到成功的喜悅。設(shè)計(jì)例題及變式練習(xí)時(shí)注重了對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行培養(yǎng)，如解答過程應(yīng)用整體代換，數(shù)形結(jié)合的及轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，以達(dá)到全方面提升學(xué)生的分析、計(jì)算能力和思維能力。

【參考文獻(xiàn)】

【1】張思明著：《理解數(shù)學(xué)：中學(xué)數(shù)學(xué)建模課程的實(shí)踐案例與探索》福建教育出版社2011年版，第46～48、206～207頁。

【2】全國(guó)數(shù)學(xué)建模工作委員會(huì)著：《初中生數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)教程》，濟(jì)南出版社2014年版，第103～105頁。

【3】張志存：《例談方程思想在解題中是應(yīng)用》，《中國(guó)教育與教學(xué)》2006年10月第4卷第8期。

【4】全國(guó)數(shù)學(xué)建模工作委員會(huì)：《初中生數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)教程》（初一下冊(cè)）。