整體著眼 巧妙求值

代數(shù)式求值問題是歷年中考試題中一種極為常見的題型，它除了按常規(guī)思路代入求值外，還可以利用整體思想方法對代數(shù)式進(jìn)行化簡求值，這就需要我們對代數(shù)式的整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析和改造，善于用“整體”的眼光，把某些代數(shù)式看成一個(gè)整體，把握它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)行有目的、有意識的處理。下面彭老師以幾道中考試題為例與大家一起分析，構(gòu)建解題思路。

一、直接整體代入求值

例1（2018·湖南岳陽）已知a2+2a=1，則3（a2+2a）+2的值為________。

解：∵a2+2a=1，

故答案為5。

【評析】本題中我們將a2+2a作為一個(gè)整體直接代入，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用整體代入的思想解決問題。

變式（2018·江蘇無錫）若3a-2b=2，則代數(shù)式2b-3a+1的值等于（ ）。

A.-1 B.-3 C.3 D.5

解：當(dāng)3a-2b=2時(shí)，

故選A。

【評析】本題中我們將3a-2b作為一個(gè)整體，而所求的代數(shù)式中并沒有直接出現(xiàn)3a-2b，而是出現(xiàn)了3a-2b的倍數(shù)，從而我們可以將所求代數(shù)式先變形后再整體代入求值。

二、部分整體代入求值

例2（2019·江蘇常州）如果a-b-2=0，那么代數(shù)式1+2a-2b的值是______。

解：∵a-b-2=0，

故答案為5。

【評析】本題中，我們可以把所給條件中的部分項(xiàng)組成一個(gè)整體，代入到要求的代數(shù)式中。一般來說，要求的代數(shù)式中，必然也有部分項(xiàng)可以看作一個(gè)整體，是所給條件中部分項(xiàng)整體的倍數(shù)關(guān)系。同樣，求解時(shí)，別忘了給已知條件的部分項(xiàng)添上括號和系數(shù)。

三、兩次代入求值

例3（2019·遼寧大連改編）當(dāng)x=1時(shí)，代數(shù)式mx3+nx+1 的值是5，求當(dāng)x=-1時(shí)，mx3+nx+1的值為________。

解：∵當(dāng)x=1時(shí)，

故答案為-3。

【評析】本題中，我們需要把x=1 代入代數(shù)式mx3+nx+1中，但是僅僅代一次是不能解決問題的。因?yàn)橹荒艿玫疥P(guān)于m、n的多項(xiàng)式作為整體，所以我們需要把x=-1再次代入，觀察此時(shí)關(guān)于m、n的多項(xiàng)式的整體與之前的關(guān)系，并求值。

四、拆項(xiàng)重組代入求值

例4（2019·北京大興期末）已知：m2+mn=6，mn-n2=-4，求下列代數(shù)式的值：

【評析】這種類型的題目，因?yàn)闊o法直接求出m、n的具體數(shù)值，所以我們只能觀察所求的代數(shù)式與所給的代數(shù)式之間的聯(lián)系。我們通常將中間同時(shí)含有字母mn的項(xiàng)拆解，使其中一項(xiàng)與第一項(xiàng)合并后是所給第一個(gè)整體的倍數(shù)，另一項(xiàng)與最后一項(xiàng)合并后是所給第二個(gè)整體的倍數(shù)。（1）將2mn拆成mn+mn；（2）將0 拆成mn-mn；（3）看到第一項(xiàng)為2m2，則有一項(xiàng)被拆成2mn，湊出第一個(gè)所給整體的2倍。

用整體思想解決代數(shù)式的求值問題，就是把一些看似彼此獨(dú)立而實(shí)質(zhì)是緊密相連的代數(shù)式看作一個(gè)整體。這樣做，不僅可以擺脫固定模式的束縛，使復(fù)雜問題變得簡單，陌生的問題變得熟悉，往往還可以解決按常規(guī)方法解決不了的問題。