一類具有單理想的Hom-李代數(shù)的結(jié)構(gòu)

李小朝

（黃淮學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南駐馬店463000）

Hom-李代數(shù)是Hartwig,Larsson和Silvestrov在2006年研究Witt代數(shù)和Virasoro代數(shù)的形變理論時(shí)提出來(lái)的[1]，它是把李代數(shù)的Jacobi等式通過(guò)線性映射進(jìn)行扭曲而得到的新的代數(shù)結(jié)構(gòu)。Hom-李代數(shù)是李代數(shù)的一種形變或推廣。早期的李代數(shù)的形變研究見(jiàn)胡乃紅給出的q-李代數(shù)[2]。由于Hom-李代數(shù)與理論物理、量子群等有著緊密的聯(lián)系，自被提出以來(lái)，就得到廣泛和深入的研究，如Hom-李代數(shù)及其同調(diào)理論[3]，具有對(duì)稱不變雙線性型的Hom-李代數(shù)[4]等。陳良云等研究了Hom-李代數(shù)的廣義導(dǎo)子[5]，并給出Hom-李型代數(shù)的最新研究成果[6]。生云鶴研究了Hom-李代數(shù)的表示等[7]。有限維Cartan型李代數(shù)的保積Hom-結(jié)構(gòu)及復(fù)半單李代數(shù)的Hom-代數(shù)結(jié)構(gòu)[8-10]等已經(jīng)被系統(tǒng)研究且得到了較好的研究成果。但是由于Hom-李代數(shù)所用線性映射的多樣性，其結(jié)構(gòu)和分類問(wèn)題非常復(fù)雜。本文通過(guò)復(fù)數(shù)域?上單李代數(shù)構(gòu)造單保積Hom-李代數(shù)，研究理想為3維單保積Hom-李代數(shù)的4維Hom-李代數(shù)，給出這類Hom-李代數(shù)的非李代數(shù)結(jié)構(gòu)。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[1,7]設(shè)L 是復(fù)數(shù)域? 上一個(gè)線性空間，α:L →L 是一個(gè)線性映射。若二元運(yùn)算L×L →L:(x,y)→[x,y]是雙線性的，且對(duì)?x,y,z ∈L 滿足：(1)[x,y]=-[y,x]，(2)[α(x),[y,z]]+[α(y),[z,x]]+[α(z),[x,y]]=0，稱三元組(L,[,],α)是一個(gè)Hom-李代數(shù)。條件(2)中的等式稱為Hom-Jacobi等式。若還滿足α([x,y])=[α(x),α(y)]，則稱(L,[,],α)為保積Hom-李代數(shù)。

定義2設(shè)(L,[,],α)是一個(gè)Hom-李代數(shù)。若L 的子空間L1滿足α(L1)?L1, [L1,L1]?L1，稱(L1,[,],α|L1)是(L,[,],α)的Hom-子代數(shù)。若L的子空間L2滿足α(L2)?L2, [L2,L]?L2，稱(L2,[,],α|L2)是(L,[,],α)的理想。

定義3設(shè)(L,[,],α), (L,[,]′,α′)是兩個(gè)Hom-李代數(shù)，f:L →L是一個(gè)線性映射。若對(duì)?x,y ∈L，都有f ([x,y])=[ f (x),f (y)]′和f °α=α′°f，稱f 是一個(gè)Hom-李代數(shù)同態(tài)。特別地，若f 是可逆的線性映射，則稱f是一個(gè)Hom-李代數(shù)同構(gòu)，而Hom-李代數(shù)(L,[,],α),(L,[,]′,α′)是同構(gòu)的。

2 具有3維單理想的4維Hom-李代數(shù)

以3維單李代數(shù)L=sl2(?)為基礎(chǔ)，給出3維單保積Hom-李代數(shù)(L,[,],α)，進(jìn)而研究以3維單保積Hom-李代數(shù)(L,[,],α)為理想的4維非李代數(shù)的Hom-李代數(shù)的結(jié)構(gòu)。

設(shè){e,f,h}是L=sl2(?)的標(biāo)準(zhǔn)基，即[e,f ]=h, [h,e]=2e, [h,f ]=-2f，所考慮的矩陣也是在此基下的矩陣。由于α 是單李代數(shù)L=sl2(?)的自同態(tài)，則α=0 或者α 是自同構(gòu)。下面假定研究的L=sl2(?)的自同態(tài)不為零，即是自同構(gòu)。由文獻(xiàn)[9]的命題2.1知，保積Hom-李代數(shù)(L,[,],α)與(L,[,],β)同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)α,β是共軛的。因此給出L上的自同構(gòu)只需考慮其共軛類的代表元即可。在同構(gòu)的意義下有如下結(jié)論。

命題1[10]設(shè)(L,[,],α)是一個(gè)保積Hom-李代數(shù)，則α=id或者α(e)=-e,α( f )=-f,α(h)=h。

這樣以3 維單李代數(shù)L=sl2(?)為基礎(chǔ)，得到3 維單保積Hom-李代數(shù)(L,[,],α)，其中α=id 或者α(e)=-e,α( f )=-f,α(h)=h。接下來(lái)考慮以上述3維單保積Hom-李代數(shù)(L,[,],α)為理想的4維非李代數(shù)的Hom-李代數(shù)(g,[,],σ)。設(shè)g=span{e,f,h,x}，由于 [L,g]?L，則可以設(shè)

由定義2知，σ|L=α，σ在基{e,f,h,x}下對(duì)應(yīng)的矩陣為

對(duì)A1，可以選擇適當(dāng)?shù)脑豿，使得A1對(duì)應(yīng)情形分別為

定理1設(shè)(g,[,],σ3)是一個(gè)Hom-李代數(shù)，但(g,[,])不是李代數(shù)，則有如下結(jié)論：

(1)[x,e]=e, [x,f ]=f, [x,h]=h,σ3對(duì)應(yīng)的矩陣為A3=diag(1,1,1,2)；

(2)[x,e]=c11e+c12f +c13h,[x,f ]=c21e+c11f +c23h,[x,h]=2c23e+2c13f -2c11h, σ3對(duì)應(yīng)的矩陣為A3=diag(1,1,1, -1)，c11、c12、c13、c21不全為零。

證明由于(g,[,],σ3)是一個(gè)Hom-李代數(shù)，則有元素x、e、f滿足Hom-Jacobi等式，即

同理，元素x、e、h滿足Hom-Jacobi等式，有

元素x、f、h滿足Hom-Jacobi等式，有

由式（3）（4）（8）可得：(a4-2)(a4+1)c33=0；由式（1）（9）可得：(a24-1)c31=0；由式（2）（6）可得：(a24-1)c13=0。

綜上對(duì)a4進(jìn)行討論，注意到a4≠1。

若a4≠2且a4≠-1，則c13=c31=c33=0，進(jìn)而得cij=0(1≤i,j ≤3)。此種情形(g,[,])是李代數(shù)，舍去。

若a4=2，則c13=c31=0，進(jìn)而還有c21=c12=c32=c23=0，c11=c22=c33。容易驗(yàn)證c11≠0時(shí)，(g,[,])不是李代數(shù)。取適當(dāng)?shù)膞可以得到[x,e]=e, [x,f ]=f, [x,h]=h。

若a4=-1，則，相應(yīng)的運(yùn)算為

容易驗(yàn)證系數(shù)c11、c12、c13、c21不全為零時(shí)，(g,[,])不是李代數(shù)。

定理2設(shè)(g,[,],σ4)是一個(gè)Hom-李代數(shù)，σ4對(duì)應(yīng)的矩陣為A4，則(g,[,])是李代數(shù)。

證明與定理1的證明過(guò)程類似，可以得到a1=a2=a3=0，即σ4=id，此時(shí)Hom-李代數(shù)(g,[,],σ4)是李代數(shù)(g,[,])。

同樣對(duì)A2，可以選擇適當(dāng)?shù)脑豿，使得A2對(duì)應(yīng)情形分別為

定理3設(shè)(g,[,],σ5)是一個(gè)Hom-李代數(shù)，但(g,[,])不是李代數(shù)，則有：[x,e]=e, [x,f ]=f, [x,h]=-h,σ5對(duì)應(yīng)矩陣為A5=diag(-1, -1,1,2)。

證明由于(g,[,],σ5)是一個(gè)Hom-李代數(shù)，則有元素x、e、f滿足Hom-Jacobi等式，得

同理，元素x、e、h滿足Hom-Jacobi等式，可以得到

元素x、f、h滿足Hom-Jacobi等式，可以得到

由于a4≠±1，故c12=c21=0。由式（10）（18）得到c31=c23=0；由式（11）（15）得到c13=c32=0；由式（12）（13）（17）可得(a4-2)(a4+1)c33=0。

如果a4≠2，則c33=0，進(jìn)而c11=c22=0，此時(shí)(g,[,])是李代數(shù)，舍去。

如果a4=2，則有c11=c22=-c33。若c11=0，(g,[,])是李代數(shù)，舍去。因此這里設(shè)c11≠0，取適當(dāng)?shù)膞，可以得到[x,e]=e, [x,f ]=f, [x,h]=-h。

對(duì)A6、A7有類似的結(jié)論，證明過(guò)程略。

定理4設(shè)(g,[,],σ6)是一個(gè)Hom-李代數(shù)，但(g,[,])不是李代數(shù)，則有：(1) [x,e]=0, [x,f ]=h, [x,h]=2e, σ6對(duì)應(yīng)矩陣為A6=diag(-1, -1,1,1)；(2)[x,e]=h, [x,f ]=c23h, [x,h]=2c23e+2f,σ6對(duì)應(yīng)的矩陣A6=diag(-1, -1,1,1),其中c23為任意常數(shù)。

定理5設(shè)(g,[,],σ7)是一個(gè)Hom-李代數(shù)，但(g,[,])不是李代數(shù)，則有：(1)[x,e]=e+c12f, [x,f ]=c21e+f, [x,h]=2h,σ7對(duì)應(yīng)的矩陣A7=diag(-1, -1,1, -1),其中c12、c21為任意常數(shù)；(2)[x,e]=f, [x,f ]=c21e,[x,h]=0, σ7對(duì) 應(yīng) 的 矩 陣A7=diag(-1, -1,1, -1), 其 中c21為 任 意 常 數(shù)；(3) [x,e]=0, [x,f ]=e,[x,h]=0,σ7對(duì)應(yīng)的矩陣A7=diag(-1, -1,1, -1)。

3 結(jié)束語(yǔ)

Hom-李代數(shù)由于所用線性變換形式多樣，其結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜。利用李代數(shù)的形變得到Hom-李代數(shù)是很常用的，這種Hom-李代數(shù)的結(jié)構(gòu)研究比較方便。本文研究了以3 維單保積Hom-李代數(shù)為理想的4 維Hom-李代數(shù)，并給出了具體的結(jié)構(gòu)。利用已知Hom-李代數(shù)擴(kuò)充出新的Hom-李代數(shù)是值得探索的方法。