KoBol分數(shù)階期權(quán)定價模型的數(shù)值方法

張靈溪，殷俊鋒

（同濟大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海200092）

經(jīng)典的Black‐Scholes（BS）模型［1］假設(shè)標的資產(chǎn)的收益變化服從幾何布朗運動，也就是資產(chǎn)的價格服從對數(shù)正態(tài)分布，設(shè)St為標的資產(chǎn)在t時刻的價格，r為無風(fēng)險利率，σ為波動率，V(x，t)為t時刻時x= ln(St)下的期權(quán)價格，那么V(x，t)滿足以下方程：

Black‐Scholes期權(quán)定價模型是金融工程中一個重大突破，為風(fēng)險中性條件下的期權(quán)定價理論提供了有力的數(shù)學(xué)支撐。但是，該模型成立的前提條件非常嚴格，例如市場交易無摩擦，市場不存在套利機會，資產(chǎn)收益服從正態(tài)分布，在這種情況下由該模型計算出的結(jié)果往往與市場真實的情況不相吻合。實際市場中的隱含分布與正態(tài)分布相比存在尖峰肥尾的現(xiàn)象，因此在期權(quán)市場中會存在波動率微笑［2］。

為了弱化其模型假設(shè)對定價帶來的影響，很多學(xué)者都在此基礎(chǔ)上做了深入的研究。Merton［3］提出了跳躍過程服從對數(shù)正態(tài)分布的跳‐擴散模型。Kou［4］假設(shè)資產(chǎn)跳躍服從對數(shù)雙指數(shù)分布，從而構(gòu)造了相應(yīng)的跳‐擴散模型。 還有隨機波動率模型［5- 6］，考慮交易費用的期權(quán)定價模型［7］等。對于跳‐擴散模型［8-10］以及美式期權(quán)［11］的求解也有許多不同的數(shù)值方法。

隨著研究的深入，Mandelbrot［12］發(fā)現(xiàn)股票的收益分布有長尾的特點，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出用α 穩(wěn)定的列維過程代替標準的幾何布朗運動，用純無限跳躍模型來描述金融資產(chǎn)價格的變化，其中α< 2。在此基礎(chǔ)上，許多學(xué)者利用列維過程來代替Black‐Scholes模型中的布朗運動，從而提出了相應(yīng)基于列維過程的期權(quán)定價模型。Carr 等［13］提出FMLS(finite moment log stable)模型，可以表示標的資產(chǎn)對數(shù)收益的傾斜密度特征。 Koponen［14］、Boyarchenko等［15］將修正α穩(wěn)定的列維過程應(yīng)用在模擬標的資產(chǎn)的動力學(xué)特征上，稱為KoBoL模型。Carr等［16］提出允許標的資產(chǎn)價格出現(xiàn)有限或者無限跳躍幅度的過程，稱之為CGMY模型。近年來，這些由列維過程推導(dǎo)出的金融衍生品定價模型由于可以準確描述標的運動而得到廣泛且深入的研究［17］。

利用分數(shù)階模型進行期權(quán)定價時，需要求解一個分數(shù)階對流擴散方程。Marom等［18］比較了上述3種分數(shù)階期權(quán)定價模型定價歐式期權(quán)的數(shù)值結(jié)果，但并未給出相應(yīng)的穩(wěn)定性與收斂性條件。Wang等［19］給出了具有一階精度的差分離散格式，并在障礙期權(quán)上進行定價。Meng 等［20］利用CGNR 算法對歐式看漲期權(quán)進行定價，并與Black‐Scholes 模型進行了比較。Zhang等［21］利用BiCGSTAB算法求解了單邊分數(shù)階歐式看漲定價。

本文主要研究一類雙邊分數(shù)階期權(quán)定價方程的數(shù)值解法。首先對于這類雙邊分數(shù)階方程的一般形式，利用帶位移的Grünwald 格式，給出每個時間層上的離散格式，并分析了迭代格式的數(shù)值穩(wěn)定性。然后結(jié)合KoBol 模型下迭代矩陣的特殊結(jié)構(gòu)，構(gòu)造了預(yù)處理Krylov子空間方法進行求解。最后，在數(shù)值實驗中對歐式看漲期權(quán)進行定價，并使用國內(nèi)上證50ETF與滬深300ETF場內(nèi)期權(quán)數(shù)據(jù)進行實證研究，驗證算法有效性的同時也體現(xiàn)了KoBol 模型在真實市場中的有效性。

1 基于分數(shù)階列維過程期權(quán)定價模型

對于列維過程Xt，t ≥0，其為增量獨立固定的隨機過程，且路徑依概率連續(xù)。不失一般性，假設(shè)X0≡0。Xt的對數(shù)特征函數(shù)有以下Lévy‐Khintchine表達式：

式中：m ∈R；σ ≥0；i= ?1；h(x) 為截斷函數(shù)。列維測度W滿足以下公式：

Ψ ( ξ ) 為列維過程的特征指數(shù)，列維測度W (dx ) 還可以寫成W (dx) = w( x )dx，w( x ) 又稱作列維密度函數(shù)。

特別地，KoBol 模型的列維密度函數(shù)為如下形式：

式中：D > 0，λ> 0，p、q∈[ ?1，1]，p+ q= 1，0<α≤2。

除了KoBol 模型外，分數(shù)階期權(quán)定價模型還有FMLS與CGMY模型，這3類模型都可以表示為如下的分數(shù)階微分方程：

式中：x ∈(?∞，+ ∞)，t ∈(0，T)，0< α< 2，a 和d 是非負常數(shù)，函數(shù)b( x ) 和c( x ) 充分光滑，函數(shù)～f ( x )和～h( x )是連續(xù)的，且均為非負函數(shù)。?α?+xα與?α??xα分別為Riemann‐Liouville 左分數(shù)階微分算子與右分數(shù)階微分算子［22］，有如下形式：

式中：α∈(n?1，n)，n 為整數(shù)，Γ(?)表示Gamma 函數(shù)，在本文中只考慮α∈(1，2)的情況。

KoBol模型中的相關(guān)參數(shù)可以作如下表示：

相比于BS 模型中的對數(shù)正態(tài)分布，在分數(shù)階期權(quán)模型中，可以通過調(diào)整參數(shù)的取值，使隱含分布更接近市場的實際分布。例如在KoBol 模型中，可以通過參數(shù)α和λ調(diào)整隱含分布的峰度，參數(shù)p調(diào)整隱含分布的偏度，這樣在一定程度上可以消除波動率微笑對期權(quán)定價帶來的影響。

期權(quán)定價問題是一個終值問題，自變量x 定義在無界區(qū)域(?∞，∞)上，為了能夠使用數(shù)值方法求解該問題，需要用合理的方法截斷為x ∈[ L，R ]，參考文獻［23］。在歐式期權(quán)中，終值條件與邊值條件為

對于看漲期權(quán)有

首先對截斷區(qū)域[ L，R ] ×[ 0，T ] 進行網(wǎng)格劃分。 將空間層N 等分，步長h =( R?L)/N，對應(yīng)的節(jié)點為xn= L+ nh，n= 0，1，…，N；將時間層M等分，步長τ = T/M，對應(yīng)的節(jié)點為tm= mτ，m =0，1，…，M。函數(shù)V ( x，t )在對應(yīng)節(jié)點上取值簡記為V ( xn，tm)= Vmn，其余記號類似。

Meerschaert 與Tadjeran 證明了使用Grünwald格式離散分數(shù)階擴散方程得到的迭代格式不穩(wěn)定，并提出了帶位移的Grünwald‐Letnikov格式［24］如下：

對方程(1)使用中心差分格式離散對流項，得到如下的半離散格式：

其中

對于半離散格式(3)，時間方向的采用加權(quán)隱式差分格式離散，第m層與第m + 1層的加權(quán)平均如下：

其中θ ∈[ 0，1 ]。 特別地，當θ = 1時，為顯式格式

Tadjeran［25］證明了帶位移的Grünwald格式在空間層上為一階精度，又因為Crank‐Nicolson 格式在時間層上為二階精度，那么差分格式(6)的截斷誤差為O (τ2)+ O( h )，所以該格式相容。在此基礎(chǔ)上，對式(6)的穩(wěn)定性做以下分析。

引理1 （Gerschgorin 圓盤定理）設(shè)A=［aij］∈Cn×n，令

解之得Re(λS) < 0。記Snn為矩陣S第n行的對角元，rn為該行所對應(yīng)的圓盤半徑，由式( 4) 可以得到

因為Re(λS) < 0，所以有Snn+ rn< 0，即

2 預(yù)處理技術(shù)

在求解大規(guī)模稀疏線性方程組時，以CG、GMRES、BiCGSTAB 和CGNR 為代表的Krylov 子空間迭代法是目前廣泛使用的方法［26］，并在金融領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用［20-21］。這類子空間迭代法的收斂速度與迭代矩陣特征值的聚集程度有關(guān)，使用預(yù)處理方法能有效改善原線性方程組系數(shù)矩陣的性質(zhì)，使得相應(yīng)迭代方法的步數(shù)和求解時間大大減少，提高計算穩(wěn)定性和計算效率。

預(yù)處理方法是指對于線性方程組Ax = b，其中A 為系數(shù)矩陣，b 為右端向量，x 為需要求解的向量，尋找一個非奇異矩陣H，然后應(yīng)用Krylov 子空間迭代法求解以下同解線性方程組：

相應(yīng)得到原算法的左預(yù)處理格式與右預(yù)處理格式，其中H稱為預(yù)處理矩陣?？紤]到右預(yù)處理方法不會改變GMRES 算法中的殘差，在本文中使用右預(yù)處理格式。

在上節(jié)中離散得到的Crank‐Nicolson格式如下：

同時，對于KoBol模型，可以將方程(1)中的系數(shù)寫成以下格式：

所以可以得到如下形式：

可以采用循環(huán)預(yù)處理子來加速子空間方法［27］，如Strang循環(huán)預(yù)處理子［28］與Chan循環(huán)預(yù)處理子［29］。記Tn為一個n× n 的Toeplitz 矩陣，那么Strang 循環(huán)預(yù)處理矩陣s(Tn) 是一個與Tn階數(shù)相同的Toeplitz 矩陣，其元素可由長度為2n?1 的序列sk所決定。 其中

類似地，Chan 循環(huán)預(yù)處理矩陣c(Tn)也是一個與Tn階數(shù)相同的Toeplitz 矩陣，其元素可由長度為2n?1的序列sk所決定。 其中

在后面的數(shù)值實驗中將該預(yù)處理技術(shù)應(yīng)用于GMRES、BiCGSTAB 和CGNR 算法上并比較計算效果。

3 數(shù)值實驗

首先對一個帶精確解的雙邊分數(shù)階擴散方程來驗證該離散格式的精度與收斂階。然后，在KoBol模型下對歐式看漲期權(quán)進行定價。

例1 考慮如下終值問題：

其中該方程的精確解為U(x，t) = 4et?Tx2(2?x)2。

根據(jù)前文提到的離散格式對上述方程進行差分離散，并將例1中的系數(shù)代入式(7)驗證，發(fā)現(xiàn)此時Crank‐Nicolson 格式無條件穩(wěn)定。取時的數(shù)值解與真實解如圖1，并記精度誤如表1。

圖1 例1中數(shù)值解與真實解的比較(t=0)Fig. 1 Comparison of exact solution with numerical solution for Example 1 (t=0)

例2 考慮如下歐式看漲期權(quán)KoBol模型：

表1 例1中Crank?Nicolson格式計算精度E∞與收斂階Tab. 1 Numerical accuracy E∞ and conver?gence order of Crank?Nicolson scheme for Example 1

其中參數(shù)選取分別為：r= 0.05，T= 0.5，p= 0.5，q= 0.5，σ= 0.2，λ= 3，α= 1.9，K= 80，v=

例2的解曲面如圖2a。將相同的期權(quán)參數(shù)利用Black‐Scholes 公式進行定價，將得出的期權(quán)價格與Kobol 模型下的做差比較如圖2b，其價格在一定程度上體現(xiàn)了列維分布與正態(tài)分布相比具有尖峰肥尾的特點。在期權(quán)交易中，將期權(quán)分為實值期權(quán)、平值期權(quán)與虛值期權(quán)，那么，尖峰意味著在平值附近其概率分布更靠近現(xiàn)價，從而在相同波動率下其理論收益略低于Black‐Scholes 模型，所以價格也略低。而肥尾意味著在深度虛值與深度實值部分的理論收益高于正態(tài)分布的估計，其價格略高于Black‐Scholes模型的價格，這也與實驗結(jié)果觀測一致，說明該模型更接近于實際分布。

將Strang 和T. Chan 循環(huán)預(yù)處理子用在GMRES、BiCGSTAB、CGNR算法上并與未經(jīng)預(yù)處理的算法作比較，在計算例2 的同時，記錄每個時間層上求解線性方程組的迭代步數(shù)IT 與計算時間并取平均，其中最大迭代步數(shù)max IT= 10 000，停止準則為||rk|| ||r0|| ≤1× 10?7，實驗結(jié)果見表2。

圖2 例2歐式看漲期權(quán)在KoBol模型下的解Fig. 2 Solution for a European call option in KoBol model

表2 例2采用預(yù)處理子空間方法的計算結(jié)果對比Tab. 2 Numerical results of preconditioned subspace methods for Example 2

實驗結(jié)果表明，無論是迭代步數(shù)還是計算時間，使用預(yù)處理技術(shù)之后的計算效率都明顯優(yōu)于未經(jīng)預(yù)處理的算法。同時，可以發(fā)現(xiàn)相同條件下預(yù)處理GMRES 算法是所有算法中計算時間最快的方法。預(yù)處理技術(shù)之所以可以降低子空間算法的迭代步數(shù)，原因在于預(yù)處理之后系數(shù)矩陣的特征值較為聚集。將例2中N= 210時，經(jīng)兩類預(yù)處理子預(yù)處理之后的系數(shù)矩陣特征值繪制如圖3 所示。可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過預(yù)處理之后的特征值確實較為聚集。

圖3 例2經(jīng)預(yù)處理后的系數(shù)矩陣特征值分布Fig. 3 Eigenvalue of preconditioned coefficient matrix

4 基于股指期權(quán)的實證研究

通過對中國股票市場進行研究發(fā)現(xiàn)，在國內(nèi)股票市場也存在尖峰肥尾的現(xiàn)象。圖4為上證50指數(shù)與滬深300指數(shù)在2019年1月至12月每日對數(shù)收益率的歸一直方圖與對應(yīng)的正態(tài)分布概率密度函數(shù)圖，可以發(fā)現(xiàn)在中國股票市場中，這一特點十分明顯。所以Black‐Scholes模型在我國市場中進行定價時會有較大誤差。接下來驗證KoBol模型可以更好地描述國內(nèi)期權(quán)市場。

圖4 2019年上證50指數(shù)與滬深300指數(shù)的尖峰肥尾現(xiàn)象Fig. 4 Skewed and fat tailed phenomenon of SSE 50 and CSI 300 Index in 2019

在國內(nèi)的場內(nèi)期權(quán)交易市場中，交易最為活躍、成交量最大的是當月合約，其買賣價差也更為接近，所以考慮上交所2020年1月3日收盤時，1月22 日到期的上證50ETF 與滬深300ETF 場內(nèi)期權(quán)收盤數(shù)據(jù)。在實際交易中，市場上更多地采用Black‐Scholes模型進行定價，將比較KoBol模型及Black‐Scholes 模型的定價與市場價格之間的差距。對KoBol 與Black‐Scholes（BS）模型選取的參數(shù)如表3，標的現(xiàn)價S0與時間T均為市場收盤數(shù)據(jù)，無風(fēng)險收益率r為1年期國債收益率。采用過去180 d的年化歷史波動率作為定價模型中的波動率，年化天數(shù)為252 d，經(jīng)計算得50ETF為σ= 16.74%，300ETF為σ= 17.29%。

表3 KoBol模型與Black?Scholes模型參數(shù)選取Tab. 3 Parameter selection for Kobol model and BS model

對于Black‐Scholes模型直接利用歐式期權(quán)的解析解進行定價。用VM表示市場實際價格，用均方誤差E1、相對誤差E2與最大誤差E∞來衡量誤差大小，分別有如下形式：

兩種模型的定價結(jié)果如表4與表5，與市場價格作差取絕對值之后的結(jié)果見表6 與表7。可以看出KoBol模型下的誤差相比Black‐Scholes 模型都要更小，說明KoBol模型下的價格更接近市場價格。

因場內(nèi)交易為競價交易，考慮到實值期權(quán)在臨近到期日時行權(quán)風(fēng)險上升，所以其買賣價差較大且成交量有限，市場作用接近于期貨，此時其成交價格并不能精確體現(xiàn)期權(quán)實際價格，而虛值期權(quán)相對來說買賣價差更小，且不存在套利空間，所以其價格能較好地反映期權(quán)的實際價格。因此考慮計算虛值期權(quán)的3種誤差，得到結(jié)果如表8至表10，可以看出，與Black‐Scholes模型相比，KoBol模型的定價更貼近市場實際價格。

在前文提到了Black‐Scholes模型不能完美地描述實際市場，主要是因為Black‐Scholes 模型假設(shè)在市場風(fēng)險中性下標的資產(chǎn)的預(yù)期收益分布服從正態(tài)分布，即隱含收益分布與市場不符。這樣的不足之處導(dǎo)致了有波動率微笑的存在，所以在利用Black‐Scholes模型進行場外期權(quán)定價時，需要根據(jù)期權(quán)的期限與行權(quán)價來調(diào)整波動率，從而會產(chǎn)生相應(yīng)的誤差，如果能夠?qū)⒉煌袡?quán)價期權(quán)的隱含波動率控制在更小的范圍甚至接近一致，那么對于期權(quán)的定價則具有重要意義。

表4 50ETF場內(nèi)期權(quán)兩種模型定價Fig. 4 Option prices of 50ETF in two models

表5 300ETF場內(nèi)期權(quán)兩種模型定價Tab. 5 Option prices of 300ETF in two models

表6 50ETF場內(nèi)期權(quán)兩種模型與市場價格比較Tab. 6 Comparisons of two models with market price of 50ETF options

接下來反演計算隱含波動率微笑曲線，KoBol模型和Black‐Scholes 模型的參數(shù)選取依然如表3，考慮到波動率與期權(quán)價格的單調(diào)關(guān)系以及期權(quán)的內(nèi)在價值，利用二分法反推虛值期權(quán)的隱含波動率。選取虛值期權(quán)，即行權(quán)價高于標的價格的看漲期權(quán)與行權(quán)價低于標的價格的看跌期權(quán)數(shù)據(jù)進行計算后，KoBol 模型和Black‐Scholes 模型下不同行權(quán)價對應(yīng)的虛值期權(quán)隱含波動率曲線即為圖5，橫軸為虛值期權(quán)行權(quán)價，縱軸為期權(quán)的隱含波動率。表11給出了虛值期權(quán)在KoBol模型和Black‐Scholes模型下隱含波動率的具體數(shù)據(jù)。

表7 300ETF場內(nèi)期權(quán)兩種模型與市場價格比較Tab. 7 Comparisons of two models with market price of 300ETF options

表8 50ETF與300ETF虛值期權(quán)的均方誤差E1Tab. 8 Error E1 of 50ETF and 300ETF OTM options

表9 50ETF與300ETF虛值期權(quán)的相對誤差E2Tab. 9 Error E2 of 50ETF and 300ETF OTM options

表10 50ETF與300ETF虛值期權(quán)的最大誤差E∞Tab. 10 Error E3 of 50ETF and 300ETF OTM options

可以從圖5 看出，無論是50ETF 還是300ETF，場內(nèi)虛值期權(quán)的隱含波動率在KoBol模型下被控制在了一個更小的范圍內(nèi)，且波動率曲線更為平穩(wěn)。由表11 也可以看出，KoBol 模型下的隱含波動率標準差更小。這都說明了KoBol模型在此參數(shù)下更好地描述了該時刻標的資產(chǎn)的隱含收益分布。

表11 2020年1月3日股指期權(quán)隱含波動率Tab. 11 Implied volatility data of index options on 2020/1/3

圖5 2020年1月3日股指期權(quán)隱含波動率圖Fig. 5 Implied volatility of index options on 2020/1/3

5 結(jié)語

本文利用帶位移的Grünwald 差分格式對一類基于列維過程的分數(shù)階期權(quán)定價模型進行了離散，分析了數(shù)值格式的穩(wěn)定性條件，采用預(yù)處理Krylov子空間方法求解對應(yīng)的線性代數(shù)方程組，數(shù)值結(jié)果驗證了模型與算法的有效性。同時，針對國內(nèi)股指期權(quán)的實際交易數(shù)據(jù)，利用KoBol 分數(shù)階模型對股指期權(quán)進行定價并反演計算波動率微笑曲線，通過實證分析說明該模型比Black‐Scholes模型有更好的效果。