無理數(shù)可以“畫”出來
——“畫面積2cm2的正方形”課堂實錄及評析

□陳加倉 唐慧榮

【課前思考】

無理數(shù)是初中學習的知識，但是很多小學生通過課外書或網絡閱讀已經知道“無理數(shù)”的存在，并產生濃厚的興趣。那么小學課堂能否通過趣味的素材，讓學生在動手操作中初步感悟無理數(shù)，“感性地”理解無理數(shù)產生的必然性，并在此過程中突破學生的思維定式，提升數(shù)學思維？對此，筆者進行了嘗試。

【教學內容】人教版五年級上冊“多邊形面積”拓展課

【教學目標】

1.掌握一兩種畫面積是2cm2正方形的方法，并能正確地畫出面積是2cm2的正方形。

2.經歷探索畫面積是2cm2正方形的過程，體會解題策略的多樣性，提高解決問題的能力。

3.通過畫面積是2cm2正方形的活動，滲透轉化思想，發(fā)展空間觀念，感悟無理數(shù)產生的必然性。

【教學過程】

一、找準認知，提出問題

師（呈現(xiàn)邊長是1cm的正方形）：它的面積是多少？（1cm2）

師：你會畫這個正方形嗎？（會）

師：你還會畫面積是多少的正方形？

生：4cm2、9cm2、16 cm2、25 cm2……

生：面積是小數(shù)的正方形也會畫，如0.64cm2的正方形，可以算出正方形的邊長是0.8cm。

師：你能畫一個面積是2cm2的正方形嗎？（學生陷入思考）這節(jié)課我們就來研究這個問題。

（評析：學生會畫指定邊長的正方形，但畫一個面積是2cm2的正方形，對學生來說具有挑戰(zhàn)性，這也有效激發(fā)了學生的探究興趣。）

二、畫圖研究，解決問題

1.一畫，產生障礙。師：請試著畫一個面積是2cm2的正方形。

生：我先畫一個面積是1cm2的正方形，再在它的外面畫一個大一點的正方形，它的面積就是2cm2（如圖1）。

生（反駁）：你能確定它的面積是2cm2嗎？

生：我覺得外面的大正方形的面積大約是2cm2。

生：這樣畫不對，它的面積不一定等于2cm2。

生：我計算了1.1×1.1=1.21，1.2×1.2=1.44，1.3×1.3=1.69，1.4×1.4=1.96，1.5×1.5=2.25，1.45×1.45=2.1025，找不到哪兩個數(shù)相乘的積等于2，因此，面積是2cm2的正方形是畫不出來的。

師：你們都去找（）×（）=2，結果找不到相同兩個數(shù)的乘積等于2，是嗎？（學生點頭表示同意）

生：我覺得面積是2cm2的正方形可能是不存在的。

圖1

2.二畫，調整思路。

（1）討論交流。

師：“先找正方形的邊長再畫圖”這是一般的思考方法，行不通時，我們得換個思路。

生：我覺得可以先畫一個大一點的正方形，然后從中找出2cm2的正方形。

生：我覺得可以畫面積是4cm2的正方形，然后再找2cm2的正方形。

師（追問）：為什么要畫面積是4cm2的正方形呢？

生：因為2cm2的正方形正好是它的一半，比較容易找到。

師：那同學們再試著畫畫看。

（2）畫圖反饋。

生：如圖2-①，先畫一個邊長是2cm的正方形，平均分成4個小正方形，每個小正方形的面積是1cm2，直接取兩個小正方形就變成了長方形，因此，再次平均分成8個小三角形，取當中的4個小三角形組成的正方形面積就是2cm2。

生：如圖2-②，先畫一個邊長是2cm的正方形，直接將各條邊的中點連起來，就得到一個面積是2cm2的正方形。

生：如圖2-③，先畫一個邊長是2cm的正方形，然后畫兩條對角線將它分割成四個相同的等腰直角三角形，再將其中的兩個等腰直角三角形拼成一個面積就是2cm2的正方形。

生：如圖2-④，我覺得可以直接畫2個邊長是2cm的正方形，各畫兩條對角線將它分割成8個相同的等腰直角三角形，當中的2個拼成一個面積就是2cm2的正方形。

圖2

（3）對比分析。

師：這幾種方法有什么共同的特點？

生：它們都是先畫一個或者兩個大一點的正方形，然后再找到面積是2cm2的正方形。

生：它們都是在“大面積”中找到“小面積”，得到面積是2cm2的正方形。

3.三畫，方法多樣化。

（1）討論交流。

師：除此之外，你還能想到什么研究思路？

生：是否可以從“小面積”再到“大面積”呢？

生：是否可以從面積是2cm2的長方形再到這個正方形呢？

師：很好！接下來就請同學們大膽地嘗試研究。

（2）畫圖反饋。

生：如圖3-①，先畫一個邊長是1cm的正方形，再畫兩條對角線將它分成4個一樣的等腰直角三角形，然后在這個正方形的外圍再補上4個一樣的等腰直角三角形，就得到面積是2cm2的正方形。

生：如圖3-②，先畫2個邊長是1cm的正方形，拼成一個長方形，然后再將它分成4個一樣的等腰直角三角形，最后將它們重新拼成一個面積是2cm2的正方形。

生：如圖3-③，先畫一個邊長是1cm的正方形，再畫一條對角線，并以這條對角線為邊長畫一個正方形，它的面積就是2cm2。

生：為什么它的面積是2cm2呢？

生：因為每個等腰直角三角形的面積是0.5cm2，所以，這個正方形的面積就是2cm2。（學生動手將正方形分割成4個相同的等腰直角三角形，如圖3-④）

圖3

（3）對比分析。

師：那么，這三種方法又有什么相同的地方呢？

生：都是從“小面積”到“大面積”。

師：你還能想到什么方法？

生：如圖4，直接畫兩條互相平分垂直的2cm線段，將四個端點連起來就得到了面積是2cm2的正方形。

生（追問）：為什么？

生（補充）：我們可以將它分成4個小三角形，計算面積1×1÷2×4=2cm2；也可以將它分成2個大三角形，計算面積2×1÷2×2=2cm2。

師：太棒了！你是怎么想到這種方法的？

生：這種方法是受了剛才第三種方法的啟發(fā)得到的。

圖4

（評析：“三畫”的過程是不斷反思、不斷突破思維障礙的過程。一畫發(fā)現(xiàn)固有思路無法解決問題；二畫調整思路，從“大面積”到“小面積”，感悟“換思路”的必要性；三畫嘗試從“小面積”到“大面積”，再到“畫兩條垂直線”，感悟解題策略的多樣性。）

三、基于練習，文化滲透

1.拓展練習。

如圖5，先畫出一個面積是1cm2的正方形和對角線，再用這條對角線作邊長畫第二個正方形和它的對角線，依次類推，第11個正方形的面積、邊長各是多少？你還能知道第幾個正方形的面積、邊長呢？

學生匯報，教師呈現(xiàn)下表：

?

圖5

2.滲透數(shù)學文化。

表中有幾個正方形的邊長我們還不知道，因為這些邊長的長度不是我們學習的整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)，這些數(shù)初中才會學到，它們是無理數(shù)。歷史上還有個相關的小故事，我們來看看。

公元前500多年，畢達哥拉斯學派的弟子希伯索斯（Hippasus）發(fā)現(xiàn)了一個驚人的事實，正方形的對角線與其邊長是不可公度的，它與畢氏學派的“萬物皆為數(shù)”（整數(shù)及其比）的信條沖突。于是為了極力封鎖該真理的流傳，希伯索斯被迫流亡他鄉(xiāng)。不幸的是，在一條海船上還是遇到畢氏門徒，希伯索斯被投入大海，但這一事件還是導致了第一次數(shù)學危機。

（評析：此教學將畫面積是2cm2的正方形納入一個更為宏觀的框架中，讓學生體會到這樣的正方形可以畫很多個。教學最后滲透數(shù)學文化，以激發(fā)學生對數(shù)學的興趣。）

四、全課總結，課外探究

1.全課總結：這節(jié)課學習了什么？對你最大的啟發(fā)有哪些？

2.課外探究：你能分別畫一個面積是3cm2、5cm2、6cm2、7cm2、8cm2的正方形嗎？

【總評】

本節(jié)課通過“三畫”的過程，實現(xiàn)了以下目標。

一、調整研究思路，突破思維定式

在固有認知內解決問題是一般的方法，這樣可以帶來穩(wěn)定有效的解決方案。但面對難以解決的新問題時，需要我們打破固有的思維定式。當學生初次面對畫面積是2cm2的正方形時，按已有的知識經驗，他們會從邊長入手，努力尋找乘積是2的兩個相同的數(shù)，從而產生障礙，甚至個別學生認為這樣的正方形是不存在的。教學中教師不斷引導學生調整思路，先畫面積是4cm2的正方形，再找面積是2cm2的正方形，也就是從“大面積”到“小面積”的研究思路，以及從“小面積”到“大面積”的研究思路，不斷克服思維定式。

二、呈現(xiàn)多元方法，培養(yǎng)發(fā)散思維

課中，學生通過分割、平移、旋轉面積是4cm2的正方形等方法得到面積是2cm2的正方形，滲透了轉換思想。教師繼續(xù)啟發(fā)學生嘗試從“小面積”到“大面積”的研究方案，體現(xiàn)了多元化的解題策略，培養(yǎng)了學生的發(fā)散思維。有利用面積是1cm2的正方形去畫，有利用面積是2cm2的長方形去畫，最后提煉了畫正方形的“垂線法”。這些經驗可以幫助學生今后面對新問題時，使用發(fā)散思維解決問題。

三、滲透數(shù)學文化，拓展思維

教學中教師不僅要幫助學生理解知識，掌握方法，還要滲透數(shù)學文化，讓數(shù)學學習不僅是理性的探究，還是一場愉快的心靈旅行。練習環(huán)節(jié)通過列表的形式，學生發(fā)現(xiàn)今天研究的內容并不是個例，還有很多類似的情況。學生質疑這個邊長到底是什么，此時教師通過講故事的形式進行介紹，讓學生“感性地”了解無理數(shù)，為后續(xù)學習打下良好的心理基礎。