轉(zhuǎn)化思想下分塊三角形矩陣的教學(xué)案例設(shè)計

何俊 時文俊

【摘要】在不占用更多課時的前提下，將以主對角線為參照的2×2塊分塊下三角形矩陣作為基本的研究對象，基于轉(zhuǎn)化思想對分塊三角形矩陣逆矩陣的求法進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計，為線性代數(shù)課堂教學(xué)提供了有益的借鑒.

【關(guān)鍵詞】轉(zhuǎn)化思想;分塊三角形矩陣;教學(xué)設(shè)計

【基金項(xiàng)目】河南省高等學(xué)校青年骨干教師項(xiàng)目（2017GGJS193），混合式課程項(xiàng)目《線性代數(shù)》（SDHHSKC-2018-A08）

真正的數(shù)學(xué)教育，是學(xué)生離開了學(xué)校多年以后還能記得的東西.那一定不是某個定理公式或解題技巧，而是數(shù)學(xué)內(nèi)涵之美給予學(xué)生的啟迪.法國數(shù)學(xué)家龐加萊指出：“數(shù)學(xué)美的內(nèi)涵可概括為：協(xié)調(diào)性、統(tǒng)一性、簡單性、對稱性和奇異性.”數(shù)學(xué)的美，雖不像動態(tài)的音樂那么悅耳，但在“轉(zhuǎn)化思想”下也能奏出美妙靈動的音符.“轉(zhuǎn)化思想”是數(shù)學(xué)解決問題的基本思想，即將未知的、陌生的、復(fù)雜的問題通過演繹歸納轉(zhuǎn)化為已知的、熟悉的、簡單的問題.在微積分、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計等大學(xué)數(shù)學(xué)理論中無不滲透著轉(zhuǎn)化思想.常見的轉(zhuǎn)化方式有：復(fù)雜到簡單的轉(zhuǎn)化，一般到特殊的轉(zhuǎn)化，特殊到一般的轉(zhuǎn)化，未知到已知的轉(zhuǎn)化，陌生到熟悉的轉(zhuǎn)化等. 教學(xué)中，教師不要直接把理論結(jié)果呈現(xiàn)給學(xué)生，要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“火熱的思考”，體驗(yàn)“轉(zhuǎn)化思想”的靈動之美，將數(shù)學(xué)解決問題的基本思想慢慢滲透給學(xué)生，將 “一堆”的數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)公式及“繁瑣”的推理證明，還原為一段段喜怒哀樂的心境，升華為一種數(shù)學(xué)素養(yǎng).本文基于“轉(zhuǎn)化思想”對分塊三角形矩陣的逆矩陣的求法進(jìn)行了教學(xué)案例設(shè)計，以期拋磚引玉.

1?主對角線分塊三角形矩陣

在吳贛昌主編的《線性代數(shù)》教材§2.4分塊矩陣中，簡明地給出了分塊三角形矩陣的概念，直接給出了s×s塊分塊對角陣的性質(zhì)，學(xué)生覺得非常突兀，常常會被那一堆的數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)公式搞得暈頭轉(zhuǎn)向.分塊矩陣用得好可以使計算簡化，但分塊矩陣的問題比較復(fù)雜，關(guān)鍵是應(yīng)該怎么分塊，大多數(shù)學(xué)生是搞不清楚的. 很多學(xué)生因?yàn)榫仃嚪謮K把本來能夠做對的題目也做錯了，有點(diǎn)事與愿違.事實(shí)上，手算的矩陣題目，矩陣的規(guī)模都不會很大，沒有必要分塊;實(shí)際應(yīng)用時，矩陣運(yùn)算都是由計算機(jī)完成的，也沒有必要分塊.所以，對分塊矩陣的逆矩陣的學(xué)習(xí)，教師在授課時，要本著“重思想輕計算，重方法輕識記”的宗旨，在不占用更多課時的前提下，合理地設(shè)計教學(xué)案例，抓住最基本的研究對象主對角線2×2塊分塊下三角形矩陣展開討論，再將基本的對象特殊化到2×2塊分塊對角陣，然后再推廣到s×s塊分塊對角陣.

1.1?主對角線分塊下三角形矩陣

案例1??對于主對角線分塊下三角形矩陣H=AOCB，其中A為t階矩陣，B為k階矩陣.

轉(zhuǎn)化分析?問題（1）【一分為二】教師要分析求|H|的突破口，考慮到H為抽象矩陣，用定義、化三角方法計算其行列式顯然不合適，但有一個子塊為O矩陣，可考慮用降階定理.但是，即使選擇零最多的列進(jìn)行展開，由于B的存在，仍然具有困難.如果將B特殊化為單位矩陣便可以采用降階定理.據(jù)此，根據(jù)分塊矩陣的乘法將H一分為二，轉(zhuǎn)化成

問題（1）解決的關(guān)鍵是將復(fù)雜的行列式轉(zhuǎn)化到簡單的行列式的計算上來.

問題（2）【追根溯源】在§2.3中學(xué)習(xí)的伴隨矩陣法求逆具有非常大的局限性，從運(yùn)算量的角度來看，只適合二、三階矩陣求逆.對于高階矩陣H并不適用，我們可以追溯逆矩陣的定義，只要能得到一個矩陣與H相乘為單位矩陣即可.據(jù)此，采用正向思維設(shè)H-1=X11X12X21X22，由HH-1=E，建立矩陣方程組

問題（2）解決的關(guān)鍵是將直接求H-1的問題轉(zhuǎn)化到間接去求一個與H相乘為單位矩陣的矩陣上來.

1.2?主對角線為參照的分塊上三角形矩陣

案例2?對于2×2塊分塊上三角形矩陣ACOB，其中A為t階矩陣，B為k階矩陣.

（1）求ACOB;

（2）當(dāng)A，B都可逆時，求ACOB-1.

轉(zhuǎn)化分析?對于案例2完全可以照搬案例1的方法，但是考慮到上三角形和下三角形從形式上就是轉(zhuǎn)置的關(guān)系，可以利用分塊矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算、行列式的性質(zhì)以及矩陣逆運(yùn)算的性質(zhì)將2×2塊分塊上三角形矩陣轉(zhuǎn)化為2×2塊分塊下三角形矩陣，借用案例1已經(jīng)得出的結(jié)論進(jìn)行計算.具體做法如下：

案例2解決問題的關(guān)鍵是抓住未知問題與已知問題的關(guān)系，將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題，套用已知問題的現(xiàn)有結(jié)論展開研究，有事半功倍之效.

2?副對角線分塊三角形矩陣

案例3?對于副對角線2×2塊分塊下三角形矩陣OABC，其中A為t階矩陣，B為k階矩陣.

（1）求OABC;

（2）當(dāng)A，B都可逆時，求OABC-1.

轉(zhuǎn)化分析?對于案例3同樣可以照搬案例1的方法，但事實(shí)上副對角線分塊下三角形矩陣OABC只需要作若干次列交換就會轉(zhuǎn)化成主對角線分塊下三角形矩陣AOCB.

問題（1）【心中有數(shù)】利用行列式交換兩行（列）變號的性質(zhì)，關(guān)鍵是計算出列交換的次數(shù)即可. 將A的第1列所在的列逐一和B所在的列進(jìn)行鄰換，需要k次交換，A有t列，故OABC→AOCB，需要做tk次交換，故

問題（2）【意猶未盡】事實(shí)上，根據(jù)§2.5矩陣的初等變換中的定理2及定理3，由OABC做tk次關(guān)于列的初等互換變換得AOCB，所以必存在可逆矩陣P，且P為tk個初等互換矩陣的乘積，即

（3）利用分塊矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算、行列式的性質(zhì)以及矩陣逆運(yùn)算的性質(zhì)將2×2塊分塊下三角形矩陣轉(zhuǎn)化為2×2塊分塊上三角形矩陣，進(jìn)而得到以下結(jié)論，即

這種基于轉(zhuǎn)化思想的講授方法，能夠迅速且巧妙地縮短新舊問題之間的距離，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的強(qiáng)烈愿望，提高課堂的教學(xué)效率，達(dá)到理想的教學(xué)效果.不僅可以保證教師輕松愉悅地完成本次課的教學(xué)任務(wù)，而且可以加深學(xué)生對前段學(xué)習(xí)的基本概念、基本方法、基本性質(zhì)的理解.其中，利用行列式定理將研究對象“一分為二”是間接計算行列式的重要方法;利用§2.3定理1的推論1“追本溯源”是求逆矩陣的基本思路;將分塊三角形矩陣特殊化，可以得到分塊對角陣的相應(yīng)結(jié)論，達(dá)到“一舉兩得”之效;將2×2 塊分塊對角陣的結(jié)論“乘勝追擊”便可以推廣到s×s塊分塊對角陣，達(dá)到“開枝散葉”之效;抓住新舊問題的關(guān)聯(lián)，巧用轉(zhuǎn)置，將2×2塊分塊下三角形矩陣轉(zhuǎn)化為2×2塊分塊上三角形矩陣，新問題“迎刃而解”，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下感知“柳暗花明”的“轉(zhuǎn)化”之美;激發(fā)學(xué)生“轉(zhuǎn)化思想”的意識，引導(dǎo)學(xué)生探索如何將“副對角線分塊三角形矩陣”轉(zhuǎn)化為“主對角線分塊三角形矩陣”，讓學(xué)生親身感受“轉(zhuǎn)化思想”的靈動之美.

教學(xué)實(shí)踐表明，對于案例3的問題（1）， 學(xué)生可以抓住問題的關(guān)鍵，就是利用行列式交換兩行變號的性質(zhì)完成轉(zhuǎn)化，計算出交換的次數(shù)，做到“心中有數(shù)”即可.對于案例3的問題（2），學(xué)生探索的熱情高漲，利用轉(zhuǎn)化解決問題的想法意猶未盡，絕大部分同學(xué)都開始了積極的思考，教師可以順?biāo)浦鄣靥嵝褜W(xué)生§2.5矩陣的初等變換可以助他們“一臂之力”.基于“轉(zhuǎn)化思想”的教學(xué)設(shè)計，不僅要起到“承上啟下”的作用，而且在課堂教學(xué)中教師要做到“三要一不要”.一要通過巧妙啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“轉(zhuǎn)化”， 激發(fā)學(xué)生的“轉(zhuǎn)化”意識.二要通過生動的表達(dá)讓學(xué)生感知“轉(zhuǎn)化”，增強(qiáng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思維.三要通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜寣W(xué)生體驗(yàn)“轉(zhuǎn)化”，提高學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力.切記不要將簡單的問題復(fù)雜化.

【參考文獻(xiàn)】

[1]吳贛昌. 線性代數(shù)[M]. 北京：中國人民大學(xué)出版社，2017.